陶建明，宋愛平，易旦萍

(揚州大學(xué) 機械工程學(xué)院，江蘇 揚州 225127)

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基于插值樣條的數(shù)控運動軌跡描述及平滑處理*

陶建明，宋愛平，易旦萍

(揚州大學(xué) 機械工程學(xué)院，江蘇 揚州 225127)

為了更好地描述工程中復(fù)雜的數(shù)控加工運動軌跡，實現(xiàn)軌跡段間的平滑過渡，提出了一種基于特殊基函數(shù)的可調(diào)形三次三角插值樣條曲線。該曲線具有C1連續(xù)性，可以精確表示直線、圓弧及自由曲線等常見工程曲線。給定控制點信息，改變調(diào)形系數(shù)，可以得到不同形狀的插值樣條曲線；通過在數(shù)控運動相鄰加工段拐角處附近選擇合適的控制點及調(diào)形系數(shù)，可以實現(xiàn)拐角的平滑過渡，從而保證運動路徑的平穩(wěn)、進給速度的連續(xù)。

三次三角樣條曲線；插值；可調(diào)形；軌跡描述；平滑路徑

0 引言

高速數(shù)控加工是提高零件加工效率和加工質(zhì)量的重要途徑。機床在高速運行過程中，要盡可能保證機床運動的穩(wěn)定性，防止出現(xiàn)較大沖擊載荷而影響零件的加工質(zhì)量，同時保護機床的進給系統(tǒng)[1]。實際加工過程中，數(shù)控運動軌跡往往由多個直線段和圓弧段組成；而目前數(shù)控系統(tǒng)在相鄰加工段拐角處速度的處理，大都采用先將進給速度降為零，然后再升速到指令速度，這樣以零速通過各拐角的方式來避免對機床造成過大沖擊。但是，這種方法勢必會造成加工過程中系統(tǒng)頻繁的速度啟停，嚴重影響零件加工效率的提高[2]。為此，需研究拐角處的運動控制方法，使相鄰加工段的轉(zhuǎn)接處速度不降為零，實現(xiàn)兩段軌跡的高速平滑過渡，達到提高加工效率和限制沖擊載荷的目的。

對于相鄰加工段拐角處速度的處理，文獻[3-4]提出了轉(zhuǎn)角處加入圓弧或二次曲線進行轉(zhuǎn)接的過渡法，從而實現(xiàn)拐點處速度不降為零的目標。該方法在一定程度上提高了加工效率，降低了機床沖擊。但該方法欠缺對加速度的控制，誤差控制不嚴格，當轉(zhuǎn)角較大時，轉(zhuǎn)接速度提高幅度有限，不能很好地滿足高速加工的需求。文獻[5]提出了前瞻的速度控制方式，該方法將拐角處速度矢量變化所形成的沖擊限制在機床允許范圍內(nèi)。通過拐角處有限速度的下降，追求加工效率最大化，但該方法預(yù)先計算量大，對數(shù)控系統(tǒng)硬件要求較高。文獻[6]提出了一種矢量過渡法來實現(xiàn)軌跡段間的平滑轉(zhuǎn)接。通過對運動參數(shù)的超前分析，能夠提高轉(zhuǎn)角較大時軌跡段間的轉(zhuǎn)接速度，但在拐角較小時，速度的過渡仍不夠平滑。

本文在三次Hermite基函數(shù)的基礎(chǔ)上[7-8]，經(jīng)適當改變，得到一組新的基函數(shù)，以此構(gòu)造一種可調(diào)形的三次三角多項式插值樣條曲線，用于描述數(shù)控加工中的直線、圓弧以及自由曲線段路徑，其具有計算簡單、構(gòu)造靈活等特點。該樣條還可以用于描述數(shù)控運動軌跡在拐角處的平滑過渡曲線，從而實現(xiàn)數(shù)控加工路徑段間的高速平滑過渡，滿足現(xiàn)代數(shù)控系統(tǒng)對高速度、平穩(wěn)性和柔性的需要。

1 三次三角插值樣條曲線

1.1 樣條基函數(shù)

定義1：對任意給定的實數(shù)λ、k，參數(shù)u滿足0≤u≤1，稱

(1)

為帶變量λ、k的三次三角樣條基函數(shù)，其中S:=sin(πu/2)，C:=cos(πu/2)。

當λ、k取不同值時，可以得到不同的基函數(shù)。經(jīng)簡單計算可知，對任意實數(shù)λ和k，式(1)中基函數(shù)具有如下性質(zhì)：

(1)權(quán)性：即B0,3(u)+B1,3(u)+B2,3(u)+B3,3(u)≡1

(2)端點性：

B0,3(0)=1,B0,3(1)=0,B0,3′(0)=-1,B0,3′(1)=0

B1,3(0)=0,B1,3(1)=1,B1,3′(0)=k+1,B1,3′(1)=-1

B2,3(0)=0,B2,3(1)=0,B2,3′(0)=-k,B2,3′(1)=k+1

B3,3(0)=0,B3,3(1)=0,B3,3′(0)=0,B3,3′(1)=-k

1.2 插值樣條曲線

定義2：給定型值點組qk(k= 0，1，… ，n+2)，定義曲線段

(2)

所有曲線段Pi(u)組成的曲線P(u)稱為三次三角插值樣條曲線。

將三次三角插值樣條曲線P(u)的(2)式表示成矩陣形式，如下：

(3)

式中，T=[C3S3S2C S 1]，Q=[qiqi+1qi+2qi+3]，

M=

其中S:=sin(πu/2)，C:=cos(πu/2)，0≤u≤1。

定理1：曲線P (u)插值于型值點組qk(k=0，1，…，n)，且P(u)∈C1。

證明：由P (u)的定義可知，P (u)由n段曲線組成。根據(jù)基函數(shù)的性質(zhì)2)，對第i段曲線Pi(u)有：

Pi(0)=qi，Pi(1)=qi+1

Pi′(0)=(qi+1-qi)-k(qi+2-qi+1)，

Pi′(1)=(qi+2-qi+1)-k(qi+3-qi+2)

對于第i+1段曲線Pi+1(u)有：

Pi+1(0)=qi+1,Pi+1(1)=qi+2

Pi+1′(0)=(qi+2-qi+1)-k(qi+3-qi+2)

Pi+1′(1)=(qi+3-qi+2)-k(qi+4-qi+3)

因此，第i段曲線Pi(u)與第i+1段曲線Pi+1(u)有如下連接關(guān)系：

Pi(1)=Pi+1(0)=qi+1

故樣條曲線P (u)插值于型值點組qk(k = 0，1，…，n)，且P(u)∈C1。證畢。

顯然，改變第i個型值點qi，至多使Pi-3(u)，Pi-2(u)，Pi-1(u)，Pi(u)四段與qi有關(guān)的曲線受到影響，即曲線P (u)具有局部性；但由于含有變量λ和k，曲線P (u)的形狀可以隨λ和k的改變而改變，即曲線P (u)具有可調(diào)性。因此，上述樣條曲線可以靈活地用于插值曲線的設(shè)計。

將樣條曲線P (u)的矩陣表達式(3)展開成多項式形式，可得：

(5)

式(4)、(5)中，S:=sin(πu/2)，C:=cos(πu/2)，0≤u≤1。

由樣條曲線的定義2及定理1的證明過程可知，任意四個控制點可以確定一段可調(diào)形的三次三角插值樣條曲線，曲線插值于前兩個控制點，后兩個控制點用于計算曲線段端點的斜率。令式(4)中的qi、qi+1、qi+2、qi+3分別為確定的四點A、B、C、D，采用AutoLISP編程，在AutoCAD中繪制的可調(diào)形三次三角插值樣條曲線如圖1所示。改變系數(shù)λ和k的值可以實現(xiàn)樣條曲線的調(diào)形，圖1a中四條曲線分別對應(yīng)k=0.5，λ=0、λ=0.5、λ=1、λ=1.5時的樣條曲線段；圖1b中四條曲線分別對應(yīng)λ=1，k=0.3、k=0.5、k=0.6、k=0.7時的樣條曲線。

(a)

(b)

當控制點重復(fù)使用時，可以生成環(huán)形插值樣條曲線。如圖2所示，當控制點序列為(B、B、C、D)時，即B點重復(fù)使用，通過編程繪制的樣條線段為環(huán)形。圖2中表示了k=-1，λ=-1、λ=0、λ=1時的三條樣條曲線段，其中A、B、C三點共線。該環(huán)形樣條線段的起點矢量與AB方向一致，終點矢量與BD方向一致，這一特征可以很好的用于數(shù)控加工中軌跡段間拐角處的平滑處理。

圖2 環(huán)形插值樣條曲線

2 三次三角插值樣條曲線的運用

可調(diào)形的三次三角插值樣條曲線與傳統(tǒng)的Ferguson曲線、Bezier曲線、B樣條曲線相比，具有更好的性質(zhì)。它不僅具有插值性、形狀可調(diào)性；而且由于表達式中含有三角多項式，通過選擇合適的控制點和調(diào)形系數(shù)，這種樣條曲線既能方便地表示自由曲線，也能精確的表示直線、圓弧以及自由曲線等常見工程曲線。因此，可以使用該樣條曲線來描述復(fù)雜的數(shù)控運動軌跡；同時，通過在相鄰加工段拐角處附近選擇合適的控制點和調(diào)形系數(shù)以生成環(huán)形或圓弧樣條曲線，實現(xiàn)對拐角的平滑過渡。

2.1 數(shù)控運動軌跡的描述

2.1.1 直線段的描述

(6)

式中，C:=cos(πu/2)，0≤u≤1。

圖3 直線插值樣條曲線

2.1.2 圓弧段的描述

只要取特殊的4個控制點和調(diào)形系數(shù)，使用三次三角插值樣條曲線可以精確表示圓弧。設(shè)圓弧段的兩個端點為A、B，取4個控制點分別為A(0，a)、B(a，0)、C(πa/2，a)、D(a,﹣πa/2)，控制點序列為(A、B、C、D)，調(diào)形系數(shù)λ=1、k=-1，即可構(gòu)造一條從A到B的圓弧。將以上4點坐標及調(diào)形系數(shù)代入(5)式，便可得到圓弧的參數(shù)方程：

(7)

式中，S=sin(πu/2)，C=cos(πu/2)，0≤u≤1。

圖4 三次三角樣條表示圓弧

圖4所示為參變量u∈[0 1]對應(yīng)的從A到B的90°圓弧段。當使用三次三角插值樣條曲線描述圓心角小于90°的圓弧段時，可以通過控制參變量u的取值來實現(xiàn)；當使用三次三角插值樣條曲線描述圓心角大于90°的圓弧段時，可以通過多段圓弧拼接來實現(xiàn)。

2.1.4 自由曲線段的描述

給定控制點，使用該樣條可以方便地描述自由曲線段。如圖5所示，由(A、B、C、D、E、F、G、H、I、J)10個控制點構(gòu)成的7段樣條曲線。由定理1可知，整條曲線具有C1連續(xù)特性，從而保證曲線的光順。

圖5 三次三角樣條表示自由曲線

2.2 數(shù)控運動路徑的規(guī)劃

圖6 平滑處理前的數(shù)控運動路徑

目前數(shù)控加工中常用的運動軌跡路徑如圖6所示，刀具中心從A→B→C→D移動，該運動路徑中，B點、C點都是急拐點。當相鄰加工段形成的拐角轉(zhuǎn)角較大時，會造成運動速度矢量變化過大，容易對機床產(chǎn)生較大沖擊，尤其在高速加工情況下，這種現(xiàn)象表現(xiàn)更為明顯。根據(jù)上述三次三角可調(diào)形插值樣條曲線的構(gòu)造特性，在相鄰加工段拐角處插入樣條曲線，可以生成拐角過渡時的軌跡，實現(xiàn)加工段間的平滑轉(zhuǎn)接，進而平滑拐角過渡時的速度。

圖7 平滑處理后的數(shù)控運動路徑

圖7所示為基于可調(diào)形三次三角插值樣條曲線描述的數(shù)控加工刀具運動路徑。其中，C1、C2分別為刀具圓心在拐點C處時與BC段、CD段的交點。AB段為直線，在B點外拐角處插入環(huán)形樣條過渡曲線；B到C1之間為直線，在C點內(nèi)拐角處插入圓弧樣條過渡曲線。如此規(guī)劃的數(shù)控加工路徑運動平穩(wěn)，拐角過渡中沒有降速再升速的過程，保證了加工路徑在拐角處的平滑過渡，便于實現(xiàn)數(shù)控軌跡段間的高速平滑加工。

2.2.1 拐角平滑處理實例

采用模擬實驗的方法，取運動參數(shù)為：進給速度v=50mm/s，刀具直徑d=6mm。如圖8所示，在B點外角拐處插入環(huán)形樣條過渡曲線，該段樣條曲線的4個控制點為(B、B、B1、B2)，調(diào)形系數(shù)k=-1、λ=0.5。其中,B1在加工段lm的延長線上，B2在加工段ln上，且BB1=BB2=6mm。圖9所示為在C點內(nèi)拐角處插入圓弧樣條過渡曲線，該段樣條曲線的4個控制點為(C1、C2、C3、C4)，調(diào)形系數(shù)k=-1、λ=1。其中，C1、C2為刀具圓心在拐點C處時與相鄰加工段ln、lo的交點，C3在加工段ln的延長線上，C4在加工段lo上，且CC1=CC2=d/2=3mm。如此選擇控制點，可保證插入的過渡樣條曲線起點矢量與前一段運動軌跡的方向一致，終點矢量與下一段運動軌跡的方向一致，從而能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)控運動路徑拐角處的平滑過渡。

圖8 外拐角過渡

圖9 內(nèi)拐角過渡

刀具沿圖8所示的加工段lm運動到外拐角B處時，速度保持不變，仍以v=50mm/s沿插入的環(huán)形樣條曲線平滑過渡到加工段ln上；當沿直線段ln加工到圖9所示的C1點時，刀具中心沿插入的圓弧樣條曲線恒速轉(zhuǎn)接到加工段lo上，從而實現(xiàn)外拐角C的平滑過渡。整個加工過程中，沒有降速再升速的環(huán)節(jié)，避免了系統(tǒng)在拐角加工過程中頻繁的速度啟停，降低了對機床的沖擊；同時，該方法通過實現(xiàn)對零件的連續(xù)、高速加工，進而提高零件的加工效率。

3 結(jié)論

本文給出了一組特殊的基函數(shù)，由此生成的曲線稱之為可調(diào)形的三次三角插值樣條曲線，且具有整體C1連續(xù)性。該樣條曲線具有以下幾個優(yōu)點：①當改變一個控制點坐標位置，只對4段與之相關(guān)的曲線產(chǎn)生影響，對整條曲線的其他部分沒有影響，故該樣條曲線局部性能好。②每一段插值樣條都有兩個調(diào)形系數(shù)λ、k，曲線的形狀可以通過改變λ和k的值而方便的進行調(diào)控，故該樣條曲線具有形狀可調(diào)性。③選擇合適的控制點和調(diào)形系數(shù)，該樣條可以精確表示直線、圓弧以及自由曲線等常見工程曲線，故該樣條曲線具有靈活的構(gòu)形特性。④曲線使用三次三角多項式表達形式，避免了有理形式，故該樣條曲線表達式較為簡潔，計算量較少，所需存儲空間小。

因此，使用該樣條曲線來描述復(fù)雜的數(shù)控加工刀具運動軌跡具有明顯的優(yōu)勢；同時還可以用于數(shù)控加工相鄰軌跡段間拐角處的平滑處理。通過插入可調(diào)形的三次三角插值樣條轉(zhuǎn)接曲線可以方便地實現(xiàn)數(shù)控軌跡段間的高速平滑過渡，從而滿足現(xiàn)代數(shù)控系統(tǒng)對高速度、平穩(wěn)性和柔性的需要。

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(編輯 李秀敏)

Description and Smoothing of NC Motion Path Based on the Interpolation Spline

TAO Jian-ming, SONG Ai-ping , YI Dan-ping

(College of Mechanical Engineering , Yangzhou University , Yangzhou Jiangsu 225127 , China)

In order to better describe the complex motion path of NC processing and realize the smooth transition between path segments, a kind of cubic trigonometric interpolation spline curve was put forward based on a set of special basis function. The spline curve which with adjustable shape satisfies theC1continuity, and it can accurately represent some common engineering curves such as straight line, circular arc and free curve. According to the given information of control points, different shapes of interpolation spline curve can be gotten by changing the adjustment coefficients. By selecting the proper control points and adjustment coefficients near the corner of adjacent NC processing path segments, insert the spline curve at the corner can realize the smooth transition around the corner, ensure the stability of motion path and the continuous of feed speed.

cubic trigonometric spline curve; interpolation; adjustable shape; trajectory description; smooth path

1001-2265(2014)01-0049-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.01.014

2013-04-26

江蘇省產(chǎn)學(xué)研聯(lián)合創(chuàng)新項目(BY2012162)；江蘇省研究生科研創(chuàng)新計劃項目(CXLX12_0912)

陶建明(1988—)，男，江蘇蘇州人，揚州大學(xué)碩士研究生，研究方向為數(shù)控技術(shù)、CAD/CAM技術(shù)，(E-mail)taojianming6@126.com。

TH162；TP391

A