謝黎明，閆 冰，靳 嵐

(蘭州理工大學 機電工程學院，蘭州 730050)

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基于有限元法的滾珠絲杠動態(tài)特性研究*

謝黎明，閆 冰，靳 嵐

(蘭州理工大學 機電工程學院，蘭州 730050)

以立式銑車復合加工中心雙驅滾珠絲杠為研究對象，建立了絲杠的有限元模型，以彈性支承約束近似模擬軸承組對絲杠的支承，考慮了軸承結合部對絲杠動態(tài)特性的影響。在此基礎上，運用有限元法對滾珠絲杠進行了計算模態(tài)分析和正弦載荷激勵下的諧響應分析。分析結果表明：絲杠的最大轉速明顯低于其一階臨界轉速，故絲杠在有效轉速范圍內不會發(fā)生共振；絲杠在頻率約為55Hz時的諧響應振幅最大。所以在實際工況中，應盡量避免此頻率下的動載荷，以免引起機床較大的振動，進而影響工件的加工質量。

滾珠絲杠；有限元法；動態(tài)特性

0 引言

滾珠絲杠是數(shù)控機床進給系統(tǒng)的主要傳動部件，直接影響到進給系統(tǒng)的工作性能及整機的可靠性[1]。隨著機床進給速度的不斷提高，對滾珠絲杠進給系統(tǒng)的動態(tài)性能提出了更高的要求。在大型數(shù)控機床中，由于工作臺行程較長，絲杠也相應變長，導致進給系統(tǒng)的剛度和抗振性能下降，特別是在強力切削過程中振動比較嚴重，一方面影響機床的加工精度和加工表面質量，另一方面容易造成刀具的快速磨損和損壞[2]。因此，深入研究滾珠絲杠的動態(tài)特性對于提高數(shù)控機床進給系統(tǒng)的工作性能具有重要意義。

目前，傅中裕[3]、寧懷明[4]等對絲杠只進行了模態(tài)分析，同時邊界條件僅定義為約束兩端X、Y、Z三個方向的平移自由度，未考慮軸承結合部對絲杠動態(tài)特性的影響；侯秉鐸[5]使用有限元法僅對絲杠受到軸向正弦力載荷時系統(tǒng)的諧響應進行了分析，未對絲杠進行模態(tài)分析，沒有驗證絲杠在實際工況中是否會發(fā)生共振等問題。

本文以動梁無滑枕立式銑車復合加工中心(如圖1所示)為研究對象，對其雙驅滾珠絲杠的動態(tài)特性進行了分析，主要研究了絲杠的計算模態(tài)和正弦載荷激勵下的動態(tài)響應，確定了絲杠的固有頻率、振型及諧響應特性，對于進一步提高高速加工中心的工作性能具有十分重要的意義。同時也為后續(xù)研究雙驅系統(tǒng)剛柔耦合動力學分析奠定了基礎。

圖1 動梁無滑枕立式銑車復合加工中心

1 有限元模型的建立

1.1 實體建模

運用SolidWorks建立絲杠的三維實體模型。同時，考慮到減小工作的計算量，故在對模型精度影響不大的前提下對模型進行適當簡化，去除了模型上的螺紋、鍵槽、倒角、螺栓孔等一些細節(jié)特征。在ANSYS Workbench中建立的簡化模型如圖2所示。

圖2 絲杠的簡化模型

1.2 材料特性

本文中研究的滾珠絲杠公稱直徑為63mm，公稱導程為12mm，螺桿最大工作長度為1600mm。絲杠材料選用GCr15SiMn(滾動軸承鋼)，采用感應加熱表面淬火處理，故可以通過查表得到所需要的各種材料屬性參數(shù)。具體的參數(shù)值如表1所示。

表1 材料常見的屬性值

1.3 單元類型

ANSYS Workbench具有自動選擇單元類型的功能。通過查看Solution Output文件，單元類型采用了Solid187單元。Solid187單元是一個高階3維10節(jié)點四面體固體結構單元，具有二次位移模式，可以更好地模擬不規(guī)則的模型。單元通過10個節(jié)點來定義，每個節(jié)點上有X、Y、Z三個方向平移的自由度。單元支持塑性，超彈性，蠕變，應力剛化，大變形和大應變能力[6]。

1.4 網格劃分

網格劃分是有限元分析很重要的環(huán)節(jié)，網格的質量直接影響分析結果的精確程度。劃分網格時要注意網格的密度，不能太密，否則會導致計算量迅速增加，嚴重的可能會導致計算不能進行；同時網格密度也不能太稀疏，否則得不到比較精確的求解[7]。本文采用自由網格劃分，設置劃分單元尺寸為7mm。最終確定網格劃分單元數(shù)目為199807個，節(jié)點為290357個。最后，用單元畸變度檢查網格劃分的質量。劃分好的網格模型如圖3所示。

圖3 劃分好的網格模型

1.5 邊界條件

本文將兩端軸承組對絲杠的支承簡化為彈性支承，忽略其角剛度和軸向剛度，只考慮徑向剛度。在ANSYS Workbench中可以方便地施加彈性支承。故需要計算軸承的徑向剛度。

滾珠絲杠兩端均選用BSB040090-T(FAG)(40×90×20)推力角接觸球軸承。該軸承的徑向剛度可近似按機床滾動軸承應用手冊[8]的如下公式進行計算：

(1)

式中，Db為滾動體直徑；Fa0為軸向預緊力；z為滾動體數(shù)目；α為接觸角。

選用軸承的相關參數(shù)如下：接觸角為60°，滾動體直徑為11.509mm，軸向預緊力為25120N，滾動體數(shù)目為15個。根據公式(1)計算可得單列軸承的徑向剛度值為：kr=186.97(N/μm)。

絲杠兩端軸承組的支承用彈性約束來模擬，由于兩端均用4個推力角接觸球軸承并列支承，故兩端軸承組的徑向剛度為：

Kr1=Kr2=4×kr=747.88(N/μm)。施加彈性支承約束時，注意應將軸承的徑向剛度值(N/μm)轉化為相應的Foundation Stiffness值(N/mm3)。兩端軸承均采用固定支承方式，故再需約束其UX方向(即軸向)的平移自由度。添加約束后的有限元模型如圖4所示。

圖4 約束后的有限元模型

2 計算模態(tài)分析

2.1 模態(tài)分析理論

模態(tài)分析是動力學分析中的基礎內容，可用于確定設計結構或機器部件的振動特性，即結構的固有頻率和振型，它們是承受動態(tài)載荷結構設計中的重要參數(shù)。同時，也可以作為其他動力學分析問題的起點。

模態(tài)分析的經典定義是將線性定常系統(tǒng)振動微分方程組中的物理坐標變換為模態(tài)坐標，使方程組解耦，成為一組以模態(tài)坐標及模態(tài)參數(shù)描述的獨立方程，以便求出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。坐標變換的變換矩陣為模態(tài)矩陣，其每列為模態(tài)振型。

對于模態(tài)分析，振動頻率ωi和模態(tài)φi是由下面的方程計算求出的：

(2)

這里假設剛度矩陣[K]、質量矩陣[M]是定值，這就要求材料是線彈性的、使用小位移理論(不包括非線性)、無阻尼([C])、無激振力([F])[9]。

2.2 模態(tài)計算結果分析

本文通過計算模態(tài)分析得出絲杠的固有頻率和振型，它是諧響應分析的基礎，同時也為后續(xù)研究雙驅系統(tǒng)的剛柔耦合動力學分析奠定了基礎。絲杠結構的實際振動形態(tài)并不是一個規(guī)則的形狀，而是各階振型相疊加的結果。但是實際上并非各階模態(tài)對響應的貢獻度都是相同的。對低頻響應來說，高階模態(tài)的影響較小。對實際結構而言，一般前5～10階的貢獻度比較大，越高階的模態(tài)貢獻度越小。這樣盡管會造成一點誤差，但頻響函數(shù)的矩陣階數(shù)會大大減小，使工作量大為減小。

經ANSYS Workbench分析后，只提取前6階模態(tài)，各階固有頻率和對應振型如表2所示。絲杠的前6階振型圖如圖5所示。

表2 絲杠前6階模態(tài)的固有頻率和振型

由以上計算模態(tài)分析結果可知：

(1)第1階固有頻率近似為0Hz，視為剛體模態(tài)，可直接忽略；

(2)第2階和第3階固有頻率值非常接近，振型近似正交，因為模型結構和約束比較對稱，產生兩個大小相近的固有頻率，在數(shù)學上即為系統(tǒng)矩陣有兩個大小相近的特征值，它們對應的振型在空間上相差一個位置角度。同理，第4階和第5階情況也是如此。

(3)根據轉速和頻率之間的關系：

n=60f

(3)

式中，n為轉速，f為頻率。由(3)式可計算絲杠在各階固有頻率下的臨界轉速，如表3所示。

表3 絲杠在各階固有頻率下的臨界轉速

由表3可知，第2階固有頻率對應的臨界轉速為3409r/min，即絲杠的一階臨界轉速。而絲杠的最大轉速為3000r/min，該轉速明顯低于絲杠的一階臨界轉速。所以滾珠絲杠在有效轉速范圍內不會發(fā)生共振。

(4)模態(tài)分析是動力學分析的基礎。通過模態(tài)分析可求得后續(xù)研究雙驅系統(tǒng)剛柔耦合動力學分析時一個很重要的求解控制參數(shù)，即時間步長。在通常情況下，初始時間步長可采用如下方程確定：

(4)

式中，Δtinitial為初始時間步長，fresponse為所關心的最高階模態(tài)響應頻率。

這里選取fresponse=254.64Hz，則據式(4)可求得初始時間步長為Δtinitial=2×10-4s。

(a)第1階振型

(b)第2階振型

(c)第3階振型

(d)第4階振型

(e)第5階振型

(f)第6階振型圖5 絲杠前6階振型圖

3 諧響應分析

絲杠的模態(tài)分析結果只反映了進給系統(tǒng)本身的屬性，要得到系統(tǒng)實際工作狀況時的動態(tài)響應，還需要在模態(tài)分析的基礎上進一步做諧響應分析。

3.1 諧響應分析理論

諧響應分析是用于確定線性結構在承受一個或多個隨時間按正弦(簡諧)規(guī)律變化的載荷時穩(wěn)態(tài)響應的一種技術。分析的目的是計算出結構在幾種頻率下的響應并得到一些響應值(通常是位移)對頻率的曲線。從這些曲線上可以找到“峰值”響應，并進一步考查頻率對應的應力。

對于諧響應分析，其運動方程為：

(-ω2[M]+iω[C]+[K])({φ1}+i{φ2}) =({F1}+i{F2})

(5)

這里假設剛度矩陣[K]、質量矩陣[M]是定值，要求材料是線彈性的、使用小位移理論(不包括非線性)、阻尼為[C]、激振力(簡諧載荷)為[F][9]。

3.2 諧響應計算結果分析

絲杠的諧響應分析是研究其動態(tài)特性的重要手段，可得到在激振力下的振幅及動力響應與系統(tǒng)振動頻率的關系曲線，從而可驗證絲杠能否避免共振等不利因素帶來的影響[10]。本文采用ANSYS Workbench軟件中的諧響應模塊對絲杠進行諧響應分析，圖6是在絲杠軸向(即X向)施加幅值100N正弦載荷時的諧響應曲線。由圖6可以看出，滾珠絲杠在頻率約為55Hz時的諧響應振幅最大，此時動柔度為5.89×10-9mm/N，對應于絲杠的第2階和第3階模態(tài)，因為這兩階模態(tài)的振型都表現(xiàn)為絲杠的徑向振動。所以在實際工況中，應盡量避免此頻率下的動載荷，以免引起機床較大的振動，進而影響工件的加工質量。

圖6 絲杠的諧響應曲線

4 結束語

(1)本文通過合理簡化建立了絲杠的有限元模型。其中以彈性支承約束近似模擬軸承組對絲杠的支承，基礎剛度用軸承的徑向剛度來表示，考慮了軸承結合部對絲杠動態(tài)特性的影響。通過絲杠的計算模態(tài)分析，得到其固有頻率和振動特性。分析結果表明，絲杠的最大轉速明顯低于其一階臨界轉速，故絲杠在有效轉速范圍內不會發(fā)生共振。同時，求得了雙驅系統(tǒng)剛柔耦合動力學分析時的初始時間步長值，為后續(xù)的研究提供了可靠依據。

(2)通過對絲杠進行正弦載荷激勵下的諧響應分析，得到了絲杠在實際工況中的動態(tài)響應。分析結果表明，絲杠在頻率約為55Hz時的諧響應振幅最大。所以在實際工況中，應盡量避免此頻率下的動載荷，以免引起機床較大的振動，進而影響工件的加工質量。這為提高工件的加工精度以及加工中心的合理使用提供了一定的理論依據。

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(編輯 李秀敏)

Study on Dynamic Characteristic of Ball Screw Based on Finite Element Method

XIE Li-ming，YAN Bing，JIN Lan

(School of Mechanical and Electrical Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

Taking a synchronous dual ball screw of vertical mill-turning centers as the research object, this article builds the finite element model of screw and simulates bearings' support in elastic support. This is taken into account the effects on dynamic characteristics of screw bearing area. Then the modal analysis and harmonic response analysis under the sinusoidal loading to ball screw are done by the finite element method. The results show that the screw's maximum speed is lower than its first-order critical speed obviously. So it can avoid the happening of resonance under the screw's efficient speed range. And the amplitude of harmonic response is the biggest when the screw's frequency is 55Hz. So the dynamic load causing the machine's more obvious vibration under this frequency should be avoided as far as possible in actual working conditions.

ball screw; FEM; dynamic characteristic

1001-2265(2014)01-0010-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.01.003

2013-05-03

“高檔數(shù)控機床與基礎制造裝備”國家科技重大專項(2010ZX04001-032)

謝黎明 (1962—)，男，安徽黃山人，蘭州理工大學機電工程學院教授，主要從事先進造技術及數(shù)字化網絡制造等方面的研究，(E-mail)rommel1068@163.com；通訊作者：閆冰(1987—)，男，河北石家莊人，蘭州理工大學碩士研究生，(E-mail)715758785@qq.com。

TH16;TG65

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