裘偉　李享元　程衍富

摘 要： 瞬變電磁信號容易受到各種噪聲的干擾，造成數(shù)據(jù)處理時分辨率較低，導致異常解釋信息，影響后續(xù)工作進程。因此，必須選取合適的方法對其進行去噪處理。本文針對瞬變電磁信號的特點利用小波去噪法的優(yōu)點在噪聲中提取有效信號，進而利用曲線擬合對提取的信號做進一步的優(yōu)化以便得出可靠的解釋結果。

關鍵詞： 瞬變電磁信號； 勘探； 去噪； 數(shù)據(jù)解釋

中圖分類號： TN911.7?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）11?0061?04

Abstract： TEM signal is easy to subject to the interference of various noises， which results in lower resolution of data processing， abnormal interpreting information and great effects on the subsequent processes. Therefore， a appropriate method must be selected for its denoising. In this paper， the advantage of wavelet denoising method is adopted to extract the effective signal from noise according to the characteristics of transient electromagnetic signals， and then the curve fitting is used to perform the further optimization for the extracted signal so as to obtain a reliable interpretation.

Keywords： TEM signal； exploration； denoising； data interpretation

0 引 言

瞬變電磁法（Transient Electromagnetic Method，TEM）是近幾年來應用較普遍的時間域電磁探測方法。它利用階躍波或其他脈沖電流場源的激勵在大地之中產(chǎn)生一個過渡過程的場，在斷電瞬間會在大地中形成一個渦旋交變電磁場，測量這種由地下介質(zhì)產(chǎn)生的二次感應電磁場隨時間變化的衰減特性，從測量得到的異常信號中可以分析出地下不均勻體的導電性能以及位置，從而推斷地下目標體的分布性態(tài)。該技術具有靈敏度高、分辨率強等諸多優(yōu)點，因而近年來發(fā)展十分迅猛，應用前景也及其廣闊。來自于人文電場噪聲和地磁場微動噪聲等會對瞬變電磁信號造成不同程度的影響。所以要選擇合適的方法進行去噪，從而增強信號強度，減少解釋誤差和異常。針對噪聲的多樣性和復雜性，根據(jù)各種去噪方法的不同應用場合，本文采用多種去噪方法相結合的方案，介紹了小波去噪法和曲線擬合相結合的方法，理論上來說小波去噪法對分析非平穩(wěn)信號處理是非常有效的，而傳統(tǒng)傅里葉變換（包括曲線擬合）具有局限性，不能提供任何局部時間段的上的頻域信息。因此，利用小波去噪法能夠改變窗口形狀及在時頻兩域具有表征信號局部能力的優(yōu)點有效提取瞬變信號，并再次運用曲線擬合對已經(jīng)去噪的信號進行進一步的優(yōu)化。

1 瞬變電磁信號的小波變換去噪實現(xiàn)

瞬變電磁信號的時間范圍寬，動態(tài)范圍大，其衰減過程呈現(xiàn)一定的規(guī)律：早期的信號幅值高而且衰變速度很快，宜將采樣時間間隔及門寬設定足夠窄，保障衰減信號分辨的精確性；晚期的信號很弱，衰變速度慢，宜將采樣時間間隔及門寬增大以適應弱信號慢衰變特性。此外，瞬便電磁信號的衰減還與地質(zhì)對象本身性質(zhì)以及觀測點有關。

1.1 小波變換去噪定義

小波變換是一種信號的時間?頻率分析方法。它具有多分辨分析的特點，是一種窗口大小固定、形狀以及時間和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。小波變換去噪是建立在小波變換多分辨分析基礎上的新興算法，其基本思想是根據(jù)不同頻帶上噪聲與信號的小波分解系數(shù)具有不同強度分布的特點，去除各頻帶上的噪聲對應的小波系數(shù)，保留原始信號的小波分解系數(shù)，然后對處理后的系數(shù)進行小波重構，得到純凈信號。它在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，高頻部分則相反，很適合于探測正常信號中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象，進而展示其成分，這正符合低頻信號變化緩慢而高頻信號變化迅速的特點，被譽為分析信號的顯微鏡。同時，適合用小波變換進行分析的信號應該具有不穩(wěn)定性。正是基于這個特點，小波變換在信號消噪、弱信號的提取以及信號奇異性分析方面效果顯著。

小波變換定義：

[CWTf（a，b）==Rx（t）ψ*a，b（t）dt] （1）

[CWTf（a，b）==Rx（t）ψa，b（t）dt=Rx（t）a12ψt-badt] （2）

可見，連續(xù)小波變換的結果可以表示為平移因子[a]和伸縮因子[b]的函數(shù)。

小波逆變換：

如果小波函數(shù)滿足“容許”條件，那么連續(xù)小波變換的逆變換是存在的：

[x（t）=1Cψ0∞-∞+∞CWTf（a，b）ψa，b（t）1a2dtda=1Cψ0∞-∞+∞CWTf（a，b）a-12ψa，bt-ba1a2dtda] （3）

1.2 小波變換去噪原理

在實際應用中，有效信號通常表現(xiàn)為低頻信號或是一些比較平穩(wěn)的信號，而噪聲信號則表現(xiàn)為高頻信號。對信號進行小波分解時，屬于Besov空間的信號在小波域內(nèi)其能量主要集中在一些大的系數(shù)中，噪聲的能量分布集中在一些小的系數(shù)中。因此，經(jīng)小波分解后，信號的小波變換系數(shù)要大于噪聲的小波變換系數(shù)。應用門限閾值等形式對小波系數(shù)進行處理，然后對信號進行重構即可以達到消噪的目的。Symlet小波是對Debauchies小波的修改，提高了對稱性，保持了近似對稱的形式，它具有緊支撐正交性，可進行正交和雙正交分析，能夠?qū)崿F(xiàn)精確重構。信號的形狀和小波的形態(tài)越相近，去噪的效果越好。結合瞬變電磁信號的特點，本文選取Sym8小波作為TEM信號去噪的基本小波函數(shù)。

1.3 小波去噪方法步驟

小波去噪步驟如下：

（1）對含噪信號[f（x）]進行幾個尺度的離散小波變換（DWT），得到各尺度小波系數(shù)[wj，k]；

（2）對各尺度小波系數(shù)[wj，k]進行閾值處理，得出估計小波系數(shù)[wj，k]，使得[wj，k-uj，k]盡量?。?/p>

（3）利用[wj，k]進行小波重構，得到信號[f（x）]的估計信號[f（k）][9]。

其中[f（x）]為含噪信號，[wj，k]為小波系數(shù)，[wj，k]為估計小波系數(shù)，[f（k）]為估計信號。

1.4 野外實測瞬變電磁數(shù)據(jù)小波去噪處理

本文實驗數(shù)據(jù)是由山西某公司YCS600?I型礦用本安型瞬變電磁儀在山西大同采用連續(xù)正負方波供電方式以及重疊回線裝置，發(fā)射和接收線框為2 m×2 m矩形回線，此裝置既可以在狹窄的巷道空間中方便的進行各種角度的旋轉(zhuǎn)、位移，也增加了發(fā)射功率，保證了探測深度。

在采集的15組正負向原始數(shù)據(jù)的基礎上作正負疊加處理，如圖1所示由于人文電場噪聲和地磁場微動噪聲等原因造成有效信號被噪聲所淹沒。

用小波去噪方法分別對實測瞬變電磁原始數(shù)據(jù)進行不同分層的消噪處理，如圖2所示。其中圖（a）為3層分解，可以看出去噪后曲線存在很大的噪聲成分，無法有效地提取出正常信號。圖（b）是5層分解，噪聲成分明顯減少，有效信號從噪聲中剝離出來，信號曲線較為平滑，同時保持了信號的原始狀態(tài)。圖（c）和圖（d）分別為7層和10層分解，隨著分解層數(shù)的增大，7層分解信號形狀發(fā)生了微小改變，而10層分解信號則改變明顯。經(jīng)過分析多尺度小波分解去噪結果，經(jīng)過多尺度小波5層分解去噪后瞬變信號信噪比得到了很大提高，不僅能將噪聲從有效信號中剝離，還能保持有信號的原始形態(tài)，因而也就保證了解釋的準確性。可以發(fā)現(xiàn)小波去噪方法雖然有效從噪聲中提取信號，使得曲線變得較為光滑，然而有效信號中依然存在有少數(shù)噪聲，因而在小波分析基礎上進行曲線擬合。綜合的信號除噪方法也將是未來進行瞬變信號除噪的一個重要方向[9]。

2 曲線擬合原理及方法

2.1 曲線擬合原理

所謂曲線擬合就是離散數(shù)據(jù)公式化。即，已知樣本點[xi， yi]（i = 1，2，…，n），求得解析函數(shù)[y≈?x，]使[?x]在原樣本點[xi]上盡可能接近[yi]的值，這一過程就叫曲線擬合。常用的曲線擬合方法是最小二乘法。最小二乘曲線擬合：有一組數(shù)據(jù)[xi，yi，i=1，2，…，N]滿足某一函數(shù)原型[y（x）=f（a，x），]其中[a]為待定系數(shù)向量，則最小二乘曲線擬合的目標：

求出這一組待定系數(shù)的值，使得目標函數(shù)為最小。

2.2 曲線擬合方法

在實際工程和科學實驗中，很難確定參數(shù)之間的關系，是線性還是非線性，如果是非線性，那是多項式函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及傅里葉函數(shù)等，有時候甚至是復合函數(shù)，因此在擬合的過程中，擬合曲線函數(shù)模型的確定是非常困難的。當擬合曲線函數(shù)模型很難通過一般的方法確定時，往往需要通過分析若干可能的函數(shù)模型后，經(jīng)過實際計算才能選到較好的模型。一般來說最小誤差平方和越小說明曲線擬合越好，也有通過相關系數(shù)[R]的值來決斷擬合的優(yōu)劣。

本文在小波去噪后再利用曲線擬合除噪，小波除噪保證了信號沒有明顯損失的情況下對信號與噪聲進行有效的區(qū)分，然而去噪信號中含有少量噪聲，因此需要利用曲線擬合方法，通過確定曲線函數(shù)模型來去除信號中的殘存噪聲作進一步的優(yōu)化。

利用Matlab的曲線擬合工具（ctool）經(jīng)試驗和嘗試后發(fā)現(xiàn)大部分的函數(shù)模型在擬合時對早期和晚期的信號有很明顯的改變，因此將信號的擬合曲線函數(shù)模型鎖定在9階多項式和8階傅里葉函數(shù)之間。兩種函數(shù)模型分別表示為：

多項式模型：

[f（x）=p1*x9 +p2*x8+p3*x7+p4*x6+p5*x5+p6*x4+p7*x3+p8*x2+p9*x+p10] （5）

傅里葉模型：

[f（x）=a0+a1*cos（x*w）+b1*sin（x*w）+a2*cos（2*x*w）+b2*sin（2*x*w）+a3*cos（3*x*w）+b3*sin（3*x*w）+a4*cos（4*x*w）+b4*sin（4*x*w）+a5*cos（5*x*w）+b5*sin（5*x*w）+a6*cos（6*x*w）+b6*sin（6*x*w）+a7*cos（7*x*w）+b7*sin（7*x*w）+a8*cos（8*x*w）+b8*sin（8*x*w）]

2.3 野外實測瞬變電磁數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)化處理

利用如上所述的兩個模型對經(jīng)過小波去噪處理過的信號進一步擬合優(yōu)化。而判斷擬合結果的優(yōu)劣主要有兩個參數(shù)來衡量，和方差（SSE）與確定系數(shù)（R?square），通過綜合比較這兩參數(shù)來選擇擬合模型。SSE公式如下：

[SSE=i=1nwi（yi-yi）2] （7）

其中SSE越小，說明模型選擇和擬合更好，數(shù)據(jù)預測也越成功。

確定系數(shù)（R?square）公式如下：

[R?square=1-i=1nwi（yi-yi）2i=1nwi（yi-yi）2] （8）

R?square是通過數(shù)據(jù)的變化來表征一個擬合的好壞。由上面的表達式可以知道R?square（確定系數(shù)）的正常取值范圍為[0 1]，所以越接近1，表明方程的變量對[y]的解釋能力越強，這個模型對數(shù)據(jù)擬合的也較好。

根據(jù)表1的參數(shù)對兩組信號之間的不同擬合函數(shù)的對比，可以看出傅里葉函數(shù)模型和方差小于多項式函數(shù)模型，而確定系數(shù)相對于多項式函數(shù)模型更接近1。因此說明傅里葉擬合更加有效。也可以從圖3定性對比看出，圖3（b）是多項式擬合，改變了信號晚期的曲線形狀，圖3（a）是傅里葉擬合，在去除噪聲的同時較好的保存了曲線的原始形狀。

3 結 論

瞬變電磁信號具有非平穩(wěn)特征，小波變換作為一種時頻分析方法，非常適合瞬變電磁信號中通常夾帶瞬變反常干擾信號的消噪處理。經(jīng)過小波去噪后，信號依舊帶有尖峰，需要對信號做進一步處理，以便使信號更加的光滑。通過小波消噪及曲線擬合處理， 為TEM的解釋工作提供了更加可靠的數(shù)據(jù)資料。在去噪過程中之所以沒有直接使用擬合方法是因為原始信號中噪聲復雜，因此直接擬合會將噪聲納入模型中，引起更大的誤差。所以利用高分辨率的小波去噪方法將有效信號提取出來反而也能提高擬合的效果。瞬變信號的除噪，深入研究改善單一去噪法是必要的，將多種去噪方法有效結合也是行之有效的，其實際效果也是非常明顯的。

注：本文通訊作者為李享元。

參考文獻

[1] NABIGHIAN N M.Electromagnetic methods in applied geophysics theory volume I [M].[S.l.]： Society of Sounding Geophysicsts， 1988： 313?503.

[2] 嵇艷鞠.淺層高分辨率瞬變電磁系統(tǒng)中全程二次場提取技術研究[D].長春：吉林大學，2004.

[3] 牛之鏈.時間域電磁法原理[M].長沙：中南工業(yè)大學出版社，2007.

[4] 薛國強，李貅，底青云.瞬變電磁法理論與應用研究進展[J].地球物理學進展，2007，22（4）：1195?1200.

[5] 王華軍.時間域瞬變電磁法全區(qū)視電阻率的平移算法[J].地球物理學報，2008，51（6）：1936?1942.

[6] 王華軍，羅延鐘.中心回線瞬變電磁法2.5維有限單元算法[J].地球物理學報，2003，46（6）：855?862.

[7] 蘇朱劉，胡文寶.中心回線方式瞬變電磁測深虛擬全區(qū)視電阻率和一維反演方法[J].石油物探，2002，41（2）：216?220.

[8] 張翠芳.小波閾值降噪效果影響因素的研究[J].西安郵電學院學報，2008，13（5）：13?15.

[9] 時圣利.瞬變電磁信號的幾種去噪方法研究[D].長春：吉林大學，2008.

1.3 小波去噪方法步驟

小波去噪步驟如下：

（1）對含噪信號[f（x）]進行幾個尺度的離散小波變換（DWT），得到各尺度小波系數(shù)[wj，k]；

（2）對各尺度小波系數(shù)[wj，k]進行閾值處理，得出估計小波系數(shù)[wj，k]，使得[wj，k-uj，k]盡量小；

（3）利用[wj，k]進行小波重構，得到信號[f（x）]的估計信號[f（k）][9]。

其中[f（x）]為含噪信號，[wj，k]為小波系數(shù)，[wj，k]為估計小波系數(shù)，[f（k）]為估計信號。

1.4 野外實測瞬變電磁數(shù)據(jù)小波去噪處理

本文實驗數(shù)據(jù)是由山西某公司YCS600?I型礦用本安型瞬變電磁儀在山西大同采用連續(xù)正負方波供電方式以及重疊回線裝置，發(fā)射和接收線框為2 m×2 m矩形回線，此裝置既可以在狹窄的巷道空間中方便的進行各種角度的旋轉(zhuǎn)、位移，也增加了發(fā)射功率，保證了探測深度。

在采集的15組正負向原始數(shù)據(jù)的基礎上作正負疊加處理，如圖1所示由于人文電場噪聲和地磁場微動噪聲等原因造成有效信號被噪聲所淹沒。

用小波去噪方法分別對實測瞬變電磁原始數(shù)據(jù)進行不同分層的消噪處理，如圖2所示。其中圖（a）為3層分解，可以看出去噪后曲線存在很大的噪聲成分，無法有效地提取出正常信號。圖（b）是5層分解，噪聲成分明顯減少，有效信號從噪聲中剝離出來，信號曲線較為平滑，同時保持了信號的原始狀態(tài)。圖（c）和圖（d）分別為7層和10層分解，隨著分解層數(shù)的增大，7層分解信號形狀發(fā)生了微小改變，而10層分解信號則改變明顯。經(jīng)過分析多尺度小波分解去噪結果，經(jīng)過多尺度小波5層分解去噪后瞬變信號信噪比得到了很大提高，不僅能將噪聲從有效信號中剝離，還能保持有信號的原始形態(tài)，因而也就保證了解釋的準確性?？梢园l(fā)現(xiàn)小波去噪方法雖然有效從噪聲中提取信號，使得曲線變得較為光滑，然而有效信號中依然存在有少數(shù)噪聲，因而在小波分析基礎上進行曲線擬合。綜合的信號除噪方法也將是未來進行瞬變信號除噪的一個重要方向[9]。

2 曲線擬合原理及方法

2.1 曲線擬合原理

所謂曲線擬合就是離散數(shù)據(jù)公式化。即，已知樣本點[xi， yi]（i = 1，2，…，n），求得解析函數(shù)[y≈?x，]使[?x]在原樣本點[xi]上盡可能接近[yi]的值，這一過程就叫曲線擬合。常用的曲線擬合方法是最小二乘法。最小二乘曲線擬合：有一組數(shù)據(jù)[xi，yi，i=1，2，…，N]滿足某一函數(shù)原型[y（x）=f（a，x），]其中[a]為待定系數(shù)向量，則最小二乘曲線擬合的目標：

求出這一組待定系數(shù)的值，使得目標函數(shù)為最小。

2.2 曲線擬合方法

在實際工程和科學實驗中，很難確定參數(shù)之間的關系，是線性還是非線性，如果是非線性，那是多項式函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及傅里葉函數(shù)等，有時候甚至是復合函數(shù)，因此在擬合的過程中，擬合曲線函數(shù)模型的確定是非常困難的。當擬合曲線函數(shù)模型很難通過一般的方法確定時，往往需要通過分析若干可能的函數(shù)模型后，經(jīng)過實際計算才能選到較好的模型。一般來說最小誤差平方和越小說明曲線擬合越好，也有通過相關系數(shù)[R]的值來決斷擬合的優(yōu)劣。

本文在小波去噪后再利用曲線擬合除噪，小波除噪保證了信號沒有明顯損失的情況下對信號與噪聲進行有效的區(qū)分，然而去噪信號中含有少量噪聲，因此需要利用曲線擬合方法，通過確定曲線函數(shù)模型來去除信號中的殘存噪聲作進一步的優(yōu)化。

利用Matlab的曲線擬合工具（ctool）經(jīng)試驗和嘗試后發(fā)現(xiàn)大部分的函數(shù)模型在擬合時對早期和晚期的信號有很明顯的改變，因此將信號的擬合曲線函數(shù)模型鎖定在9階多項式和8階傅里葉函數(shù)之間。兩種函數(shù)模型分別表示為：

多項式模型：

[f（x）=p1*x9 +p2*x8+p3*x7+p4*x6+p5*x5+p6*x4+p7*x3+p8*x2+p9*x+p10] （5）

傅里葉模型：

[f（x）=a0+a1*cos（x*w）+b1*sin（x*w）+a2*cos（2*x*w）+b2*sin（2*x*w）+a3*cos（3*x*w）+b3*sin（3*x*w）+a4*cos（4*x*w）+b4*sin（4*x*w）+a5*cos（5*x*w）+b5*sin（5*x*w）+a6*cos（6*x*w）+b6*sin（6*x*w）+a7*cos（7*x*w）+b7*sin（7*x*w）+a8*cos（8*x*w）+b8*sin（8*x*w）]

2.3 野外實測瞬變電磁數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)化處理

利用如上所述的兩個模型對經(jīng)過小波去噪處理過的信號進一步擬合優(yōu)化。而判斷擬合結果的優(yōu)劣主要有兩個參數(shù)來衡量，和方差（SSE）與確定系數(shù)（R?square），通過綜合比較這兩參數(shù)來選擇擬合模型。SSE公式如下：

[SSE=i=1nwi（yi-yi）2] （7）

其中SSE越小，說明模型選擇和擬合更好，數(shù)據(jù)預測也越成功。

確定系數(shù)（R?square）公式如下：

[R?square=1-i=1nwi（yi-yi）2i=1nwi（yi-yi）2] （8）

R?square是通過數(shù)據(jù)的變化來表征一個擬合的好壞。由上面的表達式可以知道R?square（確定系數(shù)）的正常取值范圍為[0 1]，所以越接近1，表明方程的變量對[y]的解釋能力越強，這個模型對數(shù)據(jù)擬合的也較好。

根據(jù)表1的參數(shù)對兩組信號之間的不同擬合函數(shù)的對比，可以看出傅里葉函數(shù)模型和方差小于多項式函數(shù)模型，而確定系數(shù)相對于多項式函數(shù)模型更接近1。因此說明傅里葉擬合更加有效。也可以從圖3定性對比看出，圖3（b）是多項式擬合，改變了信號晚期的曲線形狀，圖3（a）是傅里葉擬合，在去除噪聲的同時較好的保存了曲線的原始形狀。

3 結 論

瞬變電磁信號具有非平穩(wěn)特征，小波變換作為一種時頻分析方法，非常適合瞬變電磁信號中通常夾帶瞬變反常干擾信號的消噪處理。經(jīng)過小波去噪后，信號依舊帶有尖峰，需要對信號做進一步處理，以便使信號更加的光滑。通過小波消噪及曲線擬合處理， 為TEM的解釋工作提供了更加可靠的數(shù)據(jù)資料。在去噪過程中之所以沒有直接使用擬合方法是因為原始信號中噪聲復雜，因此直接擬合會將噪聲納入模型中，引起更大的誤差。所以利用高分辨率的小波去噪方法將有效信號提取出來反而也能提高擬合的效果。瞬變信號的除噪，深入研究改善單一去噪法是必要的，將多種去噪方法有效結合也是行之有效的，其實際效果也是非常明顯的。

注：本文通訊作者為李享元。

參考文獻

[1] NABIGHIAN N M.Electromagnetic methods in applied geophysics theory volume I [M].[S.l.]： Society of Sounding Geophysicsts， 1988： 313?503.

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[7] 蘇朱劉，胡文寶.中心回線方式瞬變電磁測深虛擬全區(qū)視電阻率和一維反演方法[J].石油物探，2002，41（2）：216?220.

[8] 張翠芳.小波閾值降噪效果影響因素的研究[J].西安郵電學院學報，2008，13（5）：13?15.

[9] 時圣利.瞬變電磁信號的幾種去噪方法研究[D].長春：吉林大學，2008.

1.3 小波去噪方法步驟

小波去噪步驟如下：

（1）對含噪信號[f（x）]進行幾個尺度的離散小波變換（DWT），得到各尺度小波系數(shù)[wj，k]；

（2）對各尺度小波系數(shù)[wj，k]進行閾值處理，得出估計小波系數(shù)[wj，k]，使得[wj，k-uj，k]盡量??；

（3）利用[wj，k]進行小波重構，得到信號[f（x）]的估計信號[f（k）][9]。

其中[f（x）]為含噪信號，[wj，k]為小波系數(shù)，[wj，k]為估計小波系數(shù)，[f（k）]為估計信號。

1.4 野外實測瞬變電磁數(shù)據(jù)小波去噪處理

本文實驗數(shù)據(jù)是由山西某公司YCS600?I型礦用本安型瞬變電磁儀在山西大同采用連續(xù)正負方波供電方式以及重疊回線裝置，發(fā)射和接收線框為2 m×2 m矩形回線，此裝置既可以在狹窄的巷道空間中方便的進行各種角度的旋轉(zhuǎn)、位移，也增加了發(fā)射功率，保證了探測深度。

在采集的15組正負向原始數(shù)據(jù)的基礎上作正負疊加處理，如圖1所示由于人文電場噪聲和地磁場微動噪聲等原因造成有效信號被噪聲所淹沒。

用小波去噪方法分別對實測瞬變電磁原始數(shù)據(jù)進行不同分層的消噪處理，如圖2所示。其中圖（a）為3層分解，可以看出去噪后曲線存在很大的噪聲成分，無法有效地提取出正常信號。圖（b）是5層分解，噪聲成分明顯減少，有效信號從噪聲中剝離出來，信號曲線較為平滑，同時保持了信號的原始狀態(tài)。圖（c）和圖（d）分別為7層和10層分解，隨著分解層數(shù)的增大，7層分解信號形狀發(fā)生了微小改變，而10層分解信號則改變明顯。經(jīng)過分析多尺度小波分解去噪結果，經(jīng)過多尺度小波5層分解去噪后瞬變信號信噪比得到了很大提高，不僅能將噪聲從有效信號中剝離，還能保持有信號的原始形態(tài)，因而也就保證了解釋的準確性。可以發(fā)現(xiàn)小波去噪方法雖然有效從噪聲中提取信號，使得曲線變得較為光滑，然而有效信號中依然存在有少數(shù)噪聲，因而在小波分析基礎上進行曲線擬合。綜合的信號除噪方法也將是未來進行瞬變信號除噪的一個重要方向[9]。

2 曲線擬合原理及方法

2.1 曲線擬合原理

所謂曲線擬合就是離散數(shù)據(jù)公式化。即，已知樣本點[xi， yi]（i = 1，2，…，n），求得解析函數(shù)[y≈?x，]使[?x]在原樣本點[xi]上盡可能接近[yi]的值，這一過程就叫曲線擬合。常用的曲線擬合方法是最小二乘法。最小二乘曲線擬合：有一組數(shù)據(jù)[xi，yi，i=1，2，…，N]滿足某一函數(shù)原型[y（x）=f（a，x），]其中[a]為待定系數(shù)向量，則最小二乘曲線擬合的目標：

求出這一組待定系數(shù)的值，使得目標函數(shù)為最小。

2.2 曲線擬合方法

在實際工程和科學實驗中，很難確定參數(shù)之間的關系，是線性還是非線性，如果是非線性，那是多項式函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及傅里葉函數(shù)等，有時候甚至是復合函數(shù)，因此在擬合的過程中，擬合曲線函數(shù)模型的確定是非常困難的。當擬合曲線函數(shù)模型很難通過一般的方法確定時，往往需要通過分析若干可能的函數(shù)模型后，經(jīng)過實際計算才能選到較好的模型。一般來說最小誤差平方和越小說明曲線擬合越好，也有通過相關系數(shù)[R]的值來決斷擬合的優(yōu)劣。

本文在小波去噪后再利用曲線擬合除噪，小波除噪保證了信號沒有明顯損失的情況下對信號與噪聲進行有效的區(qū)分，然而去噪信號中含有少量噪聲，因此需要利用曲線擬合方法，通過確定曲線函數(shù)模型來去除信號中的殘存噪聲作進一步的優(yōu)化。

利用Matlab的曲線擬合工具（ctool）經(jīng)試驗和嘗試后發(fā)現(xiàn)大部分的函數(shù)模型在擬合時對早期和晚期的信號有很明顯的改變，因此將信號的擬合曲線函數(shù)模型鎖定在9階多項式和8階傅里葉函數(shù)之間。兩種函數(shù)模型分別表示為：

多項式模型：

[f（x）=p1*x9 +p2*x8+p3*x7+p4*x6+p5*x5+p6*x4+p7*x3+p8*x2+p9*x+p10] （5）

傅里葉模型：

[f（x）=a0+a1*cos（x*w）+b1*sin（x*w）+a2*cos（2*x*w）+b2*sin（2*x*w）+a3*cos（3*x*w）+b3*sin（3*x*w）+a4*cos（4*x*w）+b4*sin（4*x*w）+a5*cos（5*x*w）+b5*sin（5*x*w）+a6*cos（6*x*w）+b6*sin（6*x*w）+a7*cos（7*x*w）+b7*sin（7*x*w）+a8*cos（8*x*w）+b8*sin（8*x*w）]

2.3 野外實測瞬變電磁數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)化處理

利用如上所述的兩個模型對經(jīng)過小波去噪處理過的信號進一步擬合優(yōu)化。而判斷擬合結果的優(yōu)劣主要有兩個參數(shù)來衡量，和方差（SSE）與確定系數(shù)（R?square），通過綜合比較這兩參數(shù)來選擇擬合模型。SSE公式如下：

[SSE=i=1nwi（yi-yi）2] （7）

其中SSE越小，說明模型選擇和擬合更好，數(shù)據(jù)預測也越成功。

確定系數(shù)（R?square）公式如下：

[R?square=1-i=1nwi（yi-yi）2i=1nwi（yi-yi）2] （8）

R?square是通過數(shù)據(jù)的變化來表征一個擬合的好壞。由上面的表達式可以知道R?square（確定系數(shù)）的正常取值范圍為[0 1]，所以越接近1，表明方程的變量對[y]的解釋能力越強，這個模型對數(shù)據(jù)擬合的也較好。

根據(jù)表1的參數(shù)對兩組信號之間的不同擬合函數(shù)的對比，可以看出傅里葉函數(shù)模型和方差小于多項式函數(shù)模型，而確定系數(shù)相對于多項式函數(shù)模型更接近1。因此說明傅里葉擬合更加有效。也可以從圖3定性對比看出，圖3（b）是多項式擬合，改變了信號晚期的曲線形狀，圖3（a）是傅里葉擬合，在去除噪聲的同時較好的保存了曲線的原始形狀。

3 結 論

瞬變電磁信號具有非平穩(wěn)特征，小波變換作為一種時頻分析方法，非常適合瞬變電磁信號中通常夾帶瞬變反常干擾信號的消噪處理。經(jīng)過小波去噪后，信號依舊帶有尖峰，需要對信號做進一步處理，以便使信號更加的光滑。通過小波消噪及曲線擬合處理， 為TEM的解釋工作提供了更加可靠的數(shù)據(jù)資料。在去噪過程中之所以沒有直接使用擬合方法是因為原始信號中噪聲復雜，因此直接擬合會將噪聲納入模型中，引起更大的誤差。所以利用高分辨率的小波去噪方法將有效信號提取出來反而也能提高擬合的效果。瞬變信號的除噪，深入研究改善單一去噪法是必要的，將多種去噪方法有效結合也是行之有效的，其實際效果也是非常明顯的。

注：本文通訊作者為李享元。

參考文獻

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