姚元金

(吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南吉首 416000)

在(F，α，ρ，d)－凸性條件下，研究了一類非光滑多目標分式規(guī)劃問題的對偶問題，給出并證明了該對偶問題的弱對偶定理，強對偶定理和嚴格逆對偶定理.所得結(jié)論改進和推廣了相關(guān)的結(jié)果.

(F，α，ρ，d)－凸;非光滑多目標分式規(guī)劃;弱對偶定理;強對偶定理;嚴格逆對偶定理

本文考慮如下多目標分式規(guī)劃:

其中 X0?Rn，fi:X0→R，gi:X0→R，i=1，2，…，p 和 hj:X0→R，j=1，2，…，m，是局部 Lipschitz函數(shù).假定對所有x∈X0，gi(x)＞0，i=1，2，…，p.并記可行集為 X={x∈X0|hj(x)≤0，j=1，2，…，m}.

對于多目標分式規(guī)劃的對偶問題，已有很多文獻進行了研究.文獻［1］和文獻［2］對具有偽不變凸的多目標分式規(guī)劃問題和(F，ρ)－凸函數(shù)的多目標分式規(guī)劃問題分別給出了相應(yīng)的對偶定理.文獻［3］對(F，ρ)－凸函數(shù)的同分母多目標分式規(guī)劃問題給出了相應(yīng)的對偶定理.文獻［4］和文獻［5］對可微的函數(shù)引入了(F ，α，ρ，d)－凸和廣義 ( F ，α，ρ，d )－凸的概念，并在 ( F ，α，ρ，d )－凸和廣義 ( F ，α，ρ，d)－凸性下，獲得了一類多目標分式規(guī)劃的對偶問題的弱對偶定理.

文獻［6］建立了(MFP)的一個如下對偶模型:

其中?f(y)為Clarke廣義梯度.并對局部Lipschitz函數(shù)引入了一類非光滑廣義不變凸的概念，并在此條件下，給出并證明了該對偶(D)的弱對偶定理，強對偶定理和嚴格逆對偶定理.

本文對文獻［6］定義的非光滑廣義不變凸概念進行推廣，定義了一類新的(F，α，ρ，d)－凸性概念，然后在此凸性條件下給出并證明了該對偶(D)的弱對偶定理，強對偶定理和嚴格逆對偶定理.改進和推廣了文獻［6］的相應(yīng)結(jié)果.

1 預(yù)備知識

設(shè) X0?Rn.對 x=(x1，x2，…，xn)∈X0和 y=(y1，y2，…，yn)∈X0，約定:

定義1［7］設(shè)有實值函數(shù)f:Rn→R，若對正常數(shù)k和z的一個鄰域N使得對任何x，y∈N有:|f(x)－f(y)|≤k||x－y||，則稱函數(shù) f:Rn→R 是局部 Lipschitz的，其中||·||為 Rn中的范數(shù).對于局部Lipschitz函數(shù)f(x)，Clarke［7］曾經(jīng)給出如下廣義方向?qū)?shù)和廣義梯度概念:

引理1［7］(1)?f(x)是非空凸緊集;(2)?(－f(x))= －?f(x);(3)?(f+g)(x)??f(x)+?g(x).

定義 2［8］稱函數(shù) F:X0×X0×Rn→R 為次線性的，若對任何 x，y∈X0，有:

以下均設(shè) X0?Rn，函數(shù) F:X0×X0×Rn→R 為次線性的.

定義3 稱局部 Lipschitz函數(shù) f(x):X0→R 為在∈X0處是(F，α，ρ，d)－凸的，若存在函數(shù) α:X0×X0→R+{0}和 d:X0×X0→R 以及 ρ∈R，使得?x∈X0和?ξ∈?f(x－)，有:

為了給出對偶(D)的強對偶定理，需要先考慮如下規(guī)劃(EFPk):

引理 2［6］設(shè)是(MFP)的有效解且對每個 k∈{1，2，…，p}，(EFP)的約束在處滿足約束規(guī)格 B，則

2 對偶定理

定理1(弱對偶定理)設(shè)x是(MFP)的任一可行解，(y，u，v)是(D)的任一可行解，且?x∈X0、?i∈{1，2，…，p}、?j∈{1，2，…，m}，若下面條件之一成立:

［1］Liu J C.Optimality and duality for multiobjective fractional programming involving nonsmooth pseudoinvex functions［J］.Optimization，1996，37:27－39.

［2］Liu J C.Optimality and duality for multiobjective fractional programming involving nonsmooth(F，ρ)convex functions［J］.Optimization，1996，36:333－346.

［3］Chen X H.Optimization and duality theorem for multiobjective fractional programming with the generalized(F，ρ)convexity［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2002，273:190－205.

［4］曾德勝，吳澤忠.(F，α，ρ，d)－凸和廣義(F，α，ρ，d)－凸性下一類多目標規(guī)劃問題的對偶［J］.四川師范大學學報，2006，29(1):63－66.

［5］吳澤忠.廣義(F，α，ρ，d)－凸性下一類多目標規(guī)劃問題的對偶［J］.經(jīng)濟數(shù)學，2006，23(3):320－324.

［6］姚元金.一類非凸非光滑多目標分式規(guī)劃問題的對偶［J］.西南大學學報，2010，32(3):10－14.

［7］Clarke F H.Optimization and nonsmooth analysis［M］.New York:Wiley－Interscience，1983.

［8］Preta V.On efficiency and duality for multiobjective programs［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1992，166(2):356－377.