馬大柱，龍志超，胡鳳蓮

(湖北民族學院 理學院，湖北 恩施 445000)

兩種流形改正近似方案的時間效率比較

馬大柱，龍志超，胡鳳蓮

(湖北民族學院 理學院，湖北 恩施 445000)

以平面圓形限制性三體問題為基本研究模型，對比研究速度近似改正方法和速度坐標近似改正方法關于最大李雅普諾夫指數和快速李雅普諾夫指數的計算時間問題. 結果表明: 加入改正項后，速度近似改正方法的時間效率要明顯優(yōu)于速度坐標均近似改正方法.該研究對太陽系多體問題具有重要的應用價值.

流形改正；李雅普諾夫指數；三體問題

流形改正方案在傳統(tǒng)低階數值算法的基礎上加入與積分常數相關的控制項抑制可以舍入誤差的逐漸積累，為復雜動力系統(tǒng)的研究提供較高精度的數值解，可以避免因數值誤差而產生的假混沌現象，是目前天體力學[1]和宇宙學[2-3]中常用的數值研究工具.文獻中有兩種常用的近似流形改正方案，一種是速度近似改正方法[4]，另外一種是速度坐標均近似改正方法[5].混沌指標的正確使用是非線性研究工作的重要基礎，實踐表明，最大李亞普諾夫指標[6]計算量少，可以直觀反應相空間軌道動力學性質，在混沌動力學中經常使用.快速李亞普諾夫指標[7]相對最大李亞普諾夫指標而言具有無需重整化的優(yōu)勢，在相對論混沌動力學中應用更廣.本文首先介紹兩種數值工具，然后以平面圓形限制性三體問題為例，討論兩種近似改正方案關于混沌指標的時間效率問題.

1 數值基礎

1.1 速度坐標改正方案

該方案是Nacozy[4]提出的一種流形改正方法，是最小二乘法原理[2-3]的直接應用.對于含微分動力系統(tǒng)，其態(tài)矢量為態(tài)矢量x，系統(tǒng)的p個積分滿足ej(x)=0，j=1,2,…,p，p個積分對坐標和速度的偏導數可組成一含有6n列p行的矩陣E′.Nacozy改正矢量Δη與態(tài)矢量x之間滿足關系：x=η+Δη，其中Δη應使得ΔηTWΔη最小化，即滿足：

Δη=-W-1E′T(E→′W-1E′T)-1ε

(1)

這里W是權重矩陣，T代表轉置，矩陣(E′W-1E′T)是一p×p型對稱矩陣.在數值積分的每一步，數值解后都加入上述穩(wěn)定項并校正，用校正后的數值解作為下一步的初始條件.

1.2 速度改正方案

Wu等[5]在上述思想的基礎上，提出只對速度項的三個分量改正，即：

(2)

由于上述兩種積分方案都不滿足嚴格的不變積分關系，所以都是近似方法.

2 研究模型

本文研究模型為平面圓形限制性三體問題[8]，是天體力學中的基本模型之一，假設三體中的某一體的質量相對其它兩體無限小.第三體在兩主天體引力作用下作平面圓形限制性運動，在旋轉坐標系中，第三體的運動微分方程表達式為：

(3)

(4)

表1 兩種近似改進方法關于最大李亞普諾夫指標的時間效率比較

表2 兩種近似改進方法關于快速李亞普諾夫指標的時間效率比較

3 混沌指標

3.1 最大李亞普諾夫指標

N維動力系統(tǒng)具N個李亞普諾夫指數，最大李亞普諾夫指標[6]不用計算正交化的過程且更容易反映系統(tǒng)的相空間動力性質.其計算表示為：

(6)

其中ξ(0)和ξ(t)代表初始時刻和t時刻相空間切矢量.

3.2 快速李亞普諾夫指標

快速李亞普諾夫指標[7]是計算兩臨近軌道平均指數分離比的指標，有變分法和兩粒子法兩種方式計算該指標.變分法中需對運動方程和變分方程同時積分，計算量較大.兩粒子法只須在第一條軌道的初值上加上一個很小的常數，重新積分運動方程即可.實際計算過程中其表達式為：

(7)

其中：d(0)是初始軌道分離值；d(t)代表任意是時刻的軌道分離值；κ為序列號.

4 結果分析

數值計算過程中首先用四階龍格庫塔方法(RK4)給出運動微分方程的基本解，然后將兩種改正方案(1)和(2)分別加到基本解后作為改正項，最后以改正后的數值解計算兩種混沌指標(6)和(7).最大李亞普諾夫指標的時間效率對比見表1，快速李亞普諾夫指標的時間效率對比見表2.從表中容易看出：速度近似改正方法的計算時間要少于速度坐標均近似改正方法，而且隨著步長的減小，時間區(qū)別越明顯，更重要的是兩種方法均不會改變軌道的周期與混沌特征.一方面說明兩種近似改進方法確實能準確的表現軌道運動的特點，另一方面說明只對速度部分改正并不影響系統(tǒng)總體運動行為，而且節(jié)省了計算時間.雖然對圓形限制性三體問題只有幾秒的差別，但是對于復雜的多體系統(tǒng)積分，如太陽系多體問題，兩者的積分效率會體現的更為明顯.

[1]Ma D Z,Wu X,Zhu J F.Velocity scaling method to correct individual Kepler energies[J].New Astronomy,2008,13:216-223.

[2]Ma D Z,Wu X,Zhong S Y.Effects of the cosmological constant on chaos in an FRW scalar field universe[J].Research in Astronomy and Astrophysics,2009,9:1185-1191.

[3]Ma D Z,Wu J P,Zhang J F.Chaos from the ring string in a Gauss-Bonnet black hole in AdS5space[J].Physical Review D,2014,89:086011.

[4]Nacozy P E.The use of integrals in numerical integrations of the N-body problem[J].Astrophysics and Space Science,1971,14:40-51.

[5]Wu X,Huang T Y,Wan X S,et al.Comparison among correction methods of individual kepler energies in n-body simulations [J].AJ,2007,133:2643-2653.

[6]Froeschle C,Lega E.On the Structure of Symplectic Mappings. The fast Lyapunov indicator: a very sensitive tool[J].Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy,2000,78:167-195.

[7]Wu X,Huang T Y.Computation of Lyapunov exponents in general relativity[J].Physics Letters A,2003,313:77-81.

[8]Simo C,Stuchi T J.Central stable/unstable manifolds and the destruction of KAM tori in the planar hill problem[J].Physica D,2000,140:1-32.

責任編輯：時凌

ComparisonofTimeEfficiencyProblemofTwoKindsofApproximateManifoldCorrectionSchemes

MA Dazhu,LONG Zhichao,HU Fenglian

(School of Science,Hubei University for Nationalities,Enshi 445000,China)

The paper discusses the time efficiency problem on the Maximum Lyapunov indicator and the fast Lyapunov indicator for two kinds of approximate manifold schemes,namely,velocity method and velocity and position method. The Planar circular restricting three-body problem is adopted as the basic model.The results show that the velocity approximate method has more priority than the velocity and position method. The research has great application value in multi-body problems in Solar system.

Manifold correction；Lyapunov indicator；three-body problem

2014-05-23.

國家自然科學基金項目(11263003).

馬大柱(1983- )，男，碩士，講師，主要從事數值計算方法和非線性動力學研究.

O317+.2

A

1008-8423(2014)02-0153-03