左占飛 黃怡民

（1.重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶萬州 404100）

（2.重慶三峽學(xué)院化學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，重慶萬州 404100）

1 前 言

高等數(shù)學(xué)是高等院校理工和經(jīng)濟(jì)類等專業(yè)的基礎(chǔ)必修課，如何讓學(xué)生盡快理解其相關(guān)的概念，并將其應(yīng)用到自己的專業(yè)中，是提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的一個(gè)重要環(huán)節(jié).現(xiàn)行的教材大多沒有經(jīng)過教學(xué)法的加工，僅從經(jīng)典教程出發(fā)，經(jīng)過改編，形成一個(gè)包含符號(hào)演算、邏輯推理、與現(xiàn)實(shí)乃至應(yīng)用毫不相干的內(nèi)容體系，如果在教學(xué)中不經(jīng)任何加工，照本宣科，就容易導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)感到枯燥，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的前因后果沒有感性認(rèn)識(shí)，更看不到數(shù)學(xué)的應(yīng)用在哪里，從而使學(xué)生失去了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.為更好地讓理工和經(jīng)濟(jì)類的學(xué)生掌握這門課程，我們應(yīng)該把握“數(shù)學(xué)為本，專業(yè)為用”的原則，盡可能地結(jié)合實(shí)例模型進(jìn)行教學(xué).本文通過高等數(shù)學(xué)中幾個(gè)概念的引入過程，來探討如何將抽象的數(shù)學(xué)概念形象化和實(shí)用化.

2 幾個(gè)數(shù)學(xué)概念的引入

2.1 極限概念的引入

極限概念是高等數(shù)學(xué)課程中一個(gè)非常重要的概念，它是研究函數(shù)性質(zhì)的重要方法，也是后面微分學(xué)和積分學(xué)的基本推理工具.因此，極限概念的學(xué)習(xí)應(yīng)該是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，也是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)榻滩闹械臉O限概念，一般都是采用形式化的語言來敘述，非常抽象，初次接觸的學(xué)生往往感覺非常吃力進(jìn)而產(chǎn)生畏難情緒，長此以往，勢必會(huì)影響整個(gè)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)效果，乃至影響到整個(gè)大學(xué)階段的學(xué)習(xí)質(zhì)量.因此，在教學(xué)過程中，如何引入極限慨念，讓抽象的概念生活化就顯得尤為重要.在長期數(shù)學(xué)公共課程的教學(xué)實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于理工和經(jīng)濟(jì)類專業(yè)開設(shè)的高等數(shù)學(xué)，運(yùn)用極限實(shí)例模型來引入極限慨念，學(xué)生反映效果不錯(cuò)，下面就用幾個(gè)實(shí)例模型來闡述極限慨念的引入.

當(dāng)把兩個(gè)學(xué)生的思路用板書展示后，全班學(xué)生都鼓掌表示證明方法很巧妙，課堂的氣氛變得很熱烈，大家都被數(shù)學(xué)中的運(yùn)算魅力所折服，但還是有部分同學(xué)對(duì)上述的結(jié)果表示難以置信，雖然9在增多，但和1還是有差距，不會(huì)相等.當(dāng)然主要的原因就是大家還沒有學(xué)習(xí)極限的定義，此時(shí)需趁熱打鐵，從上述的例子引出數(shù)列極限的問題.首先上面兩個(gè)問題的共同思路都是把循環(huán)小數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成了分?jǐn)?shù)是大家熟知的結(jié)論，然后通過乘法的性質(zhì)得到了相應(yīng)的結(jié)論.但是我們也看出循環(huán)小數(shù)稍微復(fù)雜一些，再轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)就會(huì)變得很困難，這也是為什么大家不能很快得到的原因.而且循環(huán)小數(shù)有無數(shù)個(gè)，我們能不能想到更一般的思路，把所有的循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)呢？我們換一種方法重新考慮上述例題：

提示上面是一個(gè)等比數(shù)列的和，不過有無限項(xiàng)，可以先求前n項(xiàng)，學(xué)生容易求得前n項(xiàng)和再讓n→∞，大部分學(xué)生都猜測到也可得到初看起來學(xué)生覺得這種方法不如上面的方法簡單，但是通過布置例題，例如把轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)（還可以舉一些更復(fù)雜的例子

學(xué)生很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)上面方法的普遍性，并且也體會(huì)到了極限（上面的公比是0.01，所以0.01n→0）的妙用，從而為順利引進(jìn)極限奠定了基礎(chǔ).當(dāng)然體現(xiàn)極限思想的實(shí)例還有很多[1]，如：莊子之錘、芝諾悖論、劉輝割圓術(shù)，大家可以根據(jù)自己的情況，通過軟件的繪圖功能和多媒體進(jìn)行輔助教學(xué)，把抽象的概念通俗化、實(shí)用化，中間再講一些有關(guān)數(shù)學(xué)家的趣聞軼事，往往會(huì)達(dá)到很好的效果[2][3][4].

引入數(shù)列極限概念后，對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，重點(diǎn)應(yīng)該是如何計(jì)算常見函數(shù)的極限，其中兩個(gè)重要極限（離散和連續(xù)的情形）的計(jì)算應(yīng)該是一個(gè)重點(diǎn).不過現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)教材，對(duì)于兩個(gè)重要極限的處理，往往都是運(yùn)用夾逼準(zhǔn)則推導(dǎo)出極限，然后就直接開始用重要極限來做題，學(xué)生雖然能照著葫蘆畫瓢進(jìn)行機(jī)械的計(jì)算，但總覺得這些例題只是一些技巧，并沒有很大的實(shí)際用途，因此我們?cè)谝脒@部分內(nèi)容時(shí)，還是要用生活化的例子來闡述，才能讓學(xué)生覺得我們的數(shù)學(xué)概念不是無源之水.

運(yùn)用劉輝割圓術(shù)的思想，不妨假設(shè)上面圓的半徑是R，三角形OAB是內(nèi)接正n邊形的一個(gè)三角形，所以因?yàn)橛玫降亩际浅醯葞缀蔚闹R(shí)，所以大部分同學(xué)運(yùn)用三角形求積公式很快得到則正n邊形的面積為要想得到圓的面積，必須讓內(nèi)接正n邊形的邊數(shù)逐漸增多，即n→∞，所以同學(xué)們很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)要想求出面積，他們不得不面對(duì)一個(gè)新所以的極限而且這個(gè)極限屬于待定式型，用前面學(xué)習(xí)的方法求不出來，但可猜測到(因?yàn)閳A的面積是πR2)，這樣讓學(xué)生帶著問題再來看類型的重要極限就會(huì)變得非常有趣和自然.

2.2 導(dǎo)數(shù)概念的引入

關(guān)于導(dǎo)數(shù)的引進(jìn)方法，現(xiàn)行的教材一般采取了變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題和曲線切線的斜率的求法，這兩個(gè)例子雖然在歷史上和導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生關(guān)系非常密切，但是對(duì)于剛剛接觸微積分的新生來看，理論背景顯得很重要.為了容易理解概念，我們還是用實(shí)際的例子，利用學(xué)生的好奇心，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣.例如，可以在網(wǎng)上找一些簡短的視頻，內(nèi)容是跳水夢之隊(duì)比賽的精彩瞬間，引發(fā)學(xué)生討論，數(shù)學(xué)課上為什么會(huì)出現(xiàn)體育的場景？場景創(chuàng)設(shè)完畢后，就要在這個(gè)場景中找出數(shù)學(xué)的問題，提示如果不考慮空氣的阻力，運(yùn)動(dòng)員的跳水運(yùn)動(dòng)符合高中物理中的哪個(gè)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，大部分同學(xué)都會(huì)想到物體的自由落體運(yùn)動(dòng)，然后老師就馬上讓同學(xué)把這個(gè)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式寫出來其中s，g，t分別表示位移，加速度和時(shí)間.然后老師又繼續(xù)提問，那么運(yùn)動(dòng)員的速度隨著時(shí)間又有什么變化呢？比如運(yùn)動(dòng)員在入水的一瞬間，速度是多少？有少數(shù)同學(xué)（物理基礎(chǔ)不錯(cuò)的）會(huì)說v=gt，老師又繼續(xù)追問這個(gè)公式是怎么推導(dǎo)出來的呢？能否用公式v=s/t來計(jì)算呢？（學(xué)生說不能）此時(shí)學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)平時(shí)的計(jì)算公式只是一個(gè)平均速度，但現(xiàn)實(shí)生活中還有很多瞬時(shí)速度的問題，還沒有解決，老師再讓學(xué)生多舉一些例子，然后就把這些瞬時(shí)的變化率問題歸結(jié)成我們今天要講的導(dǎo)數(shù).這樣的一個(gè)講解過程在理工專業(yè)學(xué)生中效果比較好，既通俗又實(shí)用.

但是上述方法對(duì)于經(jīng)濟(jì)類專業(yè)的學(xué)生可能效果就沒這么明顯，因?yàn)樗麄儗?duì)一些物理學(xué)的知識(shí)并不是很擅長，所以應(yīng)盡可能地結(jié)合經(jīng)濟(jì)實(shí)例進(jìn)行教學(xué)，因此可以選取下面的例子來引入[7].給同學(xué)們?cè)O(shè)定角色，是某輛長途汽車的售票員，制定的票價(jià)為60元.現(xiàn)在車上已經(jīng)有38位乘客，突然在開車之前趕來一名乘客，可能是由于倉促，這名乘客帶的錢不夠，他想以40元的價(jià)格上車，作為售票員的你答應(yīng)嗎？這里只是從盈利的角度來考慮問題，不涉及到其它情況.假設(shè)車輛單程所需的固定成本為1 000元，而且會(huì)給每位乘客食物和飲料，成本為每人10元.

解決這個(gè)問題，需要讓學(xué)生充分發(fā)揮獨(dú)立解決問題的能力，給出答案.學(xué)生的答案肯定會(huì)有所不同，有的認(rèn)為60元票價(jià)他只給40元，會(huì)虧20元，所以不能讓他上車；有的還會(huì)去計(jì)算到目前為止每位乘客的平均成本，然后來衡量40元是否夠這個(gè)平均成本……梳理完學(xué)生的答案后，教師就要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入更為準(zhǔn)確的思路：這次交易中增加最后一位乘客，使得營運(yùn)的總成本只是增加10元，但卻使得營運(yùn)的總收益增加40元，因此增加的收益大于增加的成本，所以應(yīng)該讓這位乘客上車.許多同學(xué)會(huì)有一種頓悟的感覺，也再一次讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用其實(shí)就在我們身邊，需要大家多去思考和觀察.然后教師再趁熱打鐵，提出上述問題其實(shí)就是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析過程，指經(jīng)濟(jì)函數(shù)自變量在某個(gè)值的基礎(chǔ)上再改變一個(gè)單位時(shí)，因變量的變化率，從而引出導(dǎo)數(shù)的概念.

2.3 定積分概念的引入

定積分是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，也是絕大多數(shù)理工類和經(jīng)濟(jì)類學(xué)生覺得最難理解的概念之一.現(xiàn)行的教材，不管是高等數(shù)學(xué)還是經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)在講解定積分時(shí)，都采用了求曲邊梯形的面積或物理學(xué)中變速直線運(yùn)動(dòng)物體在一段時(shí)間走過的距離兩個(gè)例子，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中經(jīng)典的方法：分割、近似代替、做和、求極限四個(gè)步驟給出定積分的精確定義.這樣的教學(xué)過程不僅給出了定積分直觀的幾何、物理模型，也從理論層面歸納出了定積分的精確定義，體現(xiàn)了從實(shí)踐上升到理論的科學(xué)發(fā)展過程，對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生是很好的引入方法.但這種方法對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué)來說，理論性太強(qiáng)，比較抽象.在公共基礎(chǔ)課的教學(xué)中，我們應(yīng)根據(jù)不同的授課對(duì)象，采取不同的引入方式.

對(duì)于理工類的學(xué)生，物理學(xué)的基礎(chǔ)還是可以，所以完全可以采取物體的自由落體運(yùn)動(dòng)問題，不過要把問題反過來設(shè)計(jì)，首先知道了瞬時(shí)速度v=gt，怎么算出在一段時(shí)間內(nèi)走過的距離，能否直接采用s=vt？如果不行，應(yīng)該怎么計(jì)算？

對(duì)于經(jīng)濟(jì)類的學(xué)生，應(yīng)結(jié)合經(jīng)濟(jì)實(shí)例進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，將定積分的知識(shí)、方法應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)問題中，而不是只進(jìn)行一些抽象公式的推導(dǎo).因此可選取一些經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)，比如設(shè)某種商品的價(jià)格函數(shù)為P=18-Q/6（問學(xué)生為什么是減函數(shù)），其中p為價(jià)格，Q為銷售量，求銷售量從16個(gè)單位增加到20個(gè)單位時(shí)的收益為多少？問學(xué)生能否用銷售量直接乘以價(jià)格來算收益？如果不行，應(yīng)該怎么辦？

上面例題講解的過程盡量采取開放式的教學(xué)[8]，通過不斷地提出問題、分析問題、解決問題，使學(xué)生帶著問題學(xué)習(xí)，在分析和解決問題的過程中學(xué)習(xí)新知識(shí)，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，順利的引入我們的新概念.

3 結(jié) 語

通過實(shí)例模型來引入數(shù)學(xué)中的抽象概念[1]，既摘掉了數(shù)學(xué)概念抽象冰冷的面紗，又增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生從實(shí)例中學(xué)到了新知識(shí)，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在日常生活中的應(yīng)用，從而為非數(shù)學(xué)專業(yè)后續(xù)內(nèi)容的教學(xué)實(shí)施提供了很好的借鑒.

[1]吳明海.極限實(shí)例模型與未定式極限[J].理科考試研究，2013（4）：6-7.

[2]左占飛.大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)史的教育[J].三峽高教研究，2010（6）.

[3]左占飛.數(shù)學(xué)軟件在高等數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用中的一些體會(huì)[J].電腦知識(shí)與技術(shù)，2012（8）：7311-7313.

[4]左占飛.Mathematica軟件在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].考試周刊，2012（62）：75-76.

[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[6]吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—微積分[M].北京：高等教育出版社，2003.

[7]高婷婷，張明會(huì).數(shù)學(xué)分析中幾類基本概念及其否定概念的邏輯結(jié)構(gòu)[J].重慶三峽學(xué)院學(xué)報(bào)，2013（3）：23-28.

[8]鄭飛，李逢玲.開放教育中《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程的教學(xué)探討[J].教育教學(xué)論壇，2012（38）：111-112.