黃兆霞

(安康學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計系，陜西 安康 725000)

0 引言

概率論是從數(shù)量上研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，它在自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、社會科學(xué)和管理科學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用，因此從20世紀(jì)三十年代以來，發(fā)展非常迅速，而且不斷地有新的分支學(xué)科出現(xiàn)。概率極限理論就是其中一個主要的分支，也是概率統(tǒng)計學(xué)科中極為重要的基礎(chǔ)理論。關(guān)于經(jīng)典的獨(dú)立隨機(jī)變量的概率極限理論，在20世紀(jì)三四十年代已獲得完善的發(fā)展，其基本結(jié)果被總結(jié)在Gnedenko和Kolmogorov的專著《相互獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布》[1]及Petrov的專著《獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限定理》[2]中。事實(shí)上，非獨(dú)立的隨機(jī)變量和的極限分布也曾被若干概率統(tǒng)計學(xué)家所研究，如Hopf[3]，Hoeffding和Robbins[4]等。但由于在許多實(shí)際問題中，經(jīng)常會遇到非獨(dú)立隨機(jī)變量的情形。因此，在50年代，隨機(jī)變量的相依性概念就已在概率論和數(shù)理統(tǒng)計的某些分支中被提了出來，并引起了許多概率統(tǒng)計學(xué)家的興趣和研究，取得了不少研究成果，1997年以前的許多結(jié)果被總結(jié)在陸傳榮、林正炎的專著《混合相依變量的極限理論》[5]中。而其中的隨機(jī)變量可交換性已成為當(dāng)前概率極限理論研究的重要的方向之一。

1 可交換隨機(jī)變量的研究進(jìn)展

隨機(jī)變量可交換性的概念最早是由De Finetti[6]在1930年提出來的，可交換隨機(jī)變量無限序列著名的特性是其基本結(jié)構(gòu)定理De Finetti定理，即可交換隨機(jī)變量的無限列以其尾σ-代數(shù)為條件是獨(dú)立同分布的。但在早期隨機(jī)變量的可交換性并沒有引起概率學(xué)者們的注意，人們對可交換性了解還很片面。正如Alouds所指出的那樣：“如果你在1970年問及一概率學(xué)者，可交換性講些什么內(nèi)容？你得到的回答很可能是，除了De Finetti定理外，還有什么呢？”人們利用De Finetti定理已作出了一些結(jié)果。但是值得指出的是De Finetti定理僅對可交換隨機(jī)變量無限列成立，Chernoff和Teicher已經(jīng)給出了例子說明：存在這樣的可交換隨機(jī)變量有限列，它不能嵌入到可交換隨機(jī)變量無限列中去，因此，對于可交換的有限列，必須尋找另外的辦法解決其漸近性質(zhì)的問題，人們利用逆鞅的方法已給出了這方面的一些結(jié)果。

既然可交換隨機(jī)變量無限列是條件獨(dú)立同分布的，當(dāng)然可以期望可交換隨機(jī)變量無限列具有類似于獨(dú)立同分布列的一些性質(zhì)。許多學(xué)者已經(jīng)把獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的一些結(jié)論推廣到了可交換隨機(jī)變量。

概率論既是觀察世界的一種基本方法，也象幾何、代數(shù)和分析一樣是一門核心數(shù)學(xué)學(xué)科，最近幾年，作為科學(xué)探索的一種獨(dú)具特色的方法，概率推理的顯著功效已經(jīng)導(dǎo)致了概率理論在科學(xué)研究中的重要性的增加，并且一直在統(tǒng)計學(xué)中起中心作用。在物理學(xué)、遺傳學(xué)和信息論中所常見的概率方法，最近已經(jīng)在許多其他學(xué)科，包括金融、地球科學(xué)、神經(jīng)學(xué)、人工智能和通訊網(wǎng)絡(luò)中成為不可缺少的方法，概率論的影響越來越大。概率極限理論是概率論的主要分支之一，也是概率論的其它分支和數(shù)理統(tǒng)計的重要基礎(chǔ)。前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家科爾莫戈羅夫和格涅堅(jiān)科在評論概率論極限理論時曾說過：“概率論的認(rèn)識論的價值只有通過極限定理才能被揭示，沒有極限定理就不可能去理解概率基本概念的真正含義?！睒O限理論的基本內(nèi)容是每一個概率統(tǒng)計工作者必須掌握的知識與工具。19世紀(jì)20年代以前，中心極限定理是概率論研究的中心課題，經(jīng)典極限理論是概率論發(fā)展史上的重要成果。近代極限理論得研究方興未艾，它不僅深化了經(jīng)典理論的許多基本結(jié)果，也極大地拓展了自己的研究領(lǐng)域，極限理論仍是眾多學(xué)者研究的重要課題之一。

2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀及分析

概率極限理論一直以來就是眾多學(xué)者研究的課題，得到了許多深刻而有實(shí)際意義的結(jié)果。由于獨(dú)立隨機(jī)變量有著優(yōu)良的極限性質(zhì)，因此人們對這類隨機(jī)變量已獲得許多經(jīng)典的結(jié)果，象Talor，Katz和Baum，Robbins和Hsu等，另外Petrov的專著《獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限理論》，Gnedenko，Kolmogorov的專著 《相互獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布》也都介紹了有關(guān)獨(dú)立隨機(jī)變量極限理論方面的豐富內(nèi)容。隨著概率極限理論方面的不斷完善和發(fā)展，概率測度收斂和強(qiáng)逼近理論等現(xiàn)代極限理論也被許多學(xué)者研究；源于實(shí)際問題的需要，相依隨機(jī)變量引起了人們廣泛的關(guān)注， 如 Bernstein，Hopf，Blum，Chernoff，Teicher，Weber，Peligrad，Joag-Dev和Lai等學(xué)者對此做過系統(tǒng)而深入的研究。與此同時，國內(nèi)許多學(xué)者像林正炎，邵啟滿，張立新，蘇中根，蘇淳等也做了大量深入地研究，并獲得了一系列完美的結(jié)果。

De Finetti在1930年最早提出了可交換性的概念，并且給出了可交換隨機(jī)變量無限序列的基本結(jié)構(gòu)定理De Finetti定理，它指出可交換隨機(jī)變量無限序列以代數(shù)為條件是獨(dú)立同分布的。之后許多學(xué)者對可交換做了一系列研究，Blum等得到了可交換隨機(jī)變量序列滿足中心極限定理的充要條件，Taylor給出了按行可交換 (即對固定的每一行，都是一列可交換隨機(jī)變量序列)隨機(jī)變量組列的大數(shù)定律，以及配重和的極限定理，Taylor和Hu也給出了可交換隨機(jī)變量的強(qiáng)大數(shù)定律成立的充要條件，利用Berry-Esseen方法討論了可交換隨機(jī)變量序列部分和的中心極限問題，得到了可交換隨機(jī)變量序列部分和的分布收斂到正態(tài)分布的最優(yōu)收斂速度。鞅方法和逆鞅方法在概率極限理論中是很重要的，自從Weber首先利用鞅方法研究可交換隨機(jī)變量列的中心極限定理以來，人們普遍注意到了鞅方法的重要性，Partterson和Taylor利用逆鞅方法討論了實(shí)值和B-值可交換列的大數(shù)定律，Eagleson利用鞅方法討論了可交換列的弱收斂性，李應(yīng)富和王向忱利用了逆鞅和截尾方法在較弱的矩條件下討論了行－列可交換隨機(jī)變量組列的大數(shù)定律，由此也得出了類似于Mcginley和Sibsoh的結(jié)果。

［1］B.V.Gnedenko,A.M.Kolmogorov.LimitDistributionsforSumsof Independent Random Variables.Nauka,Moscow(Russion),1949,English Edition:Reading,Mass:Addision-wesley,1954[M].

［2］A.Gut.Precise Asympototics for Record Times and the Associated Counding Process[J].Stoch Proc Appl,2002(101):233-239.

［3］E.Hopf,Ergodentheorie,Ergebnisse der Math[M].Springer-Verlag,Berlin,1937,5.