余奇明+齊鵬飛

【摘 要】 本文對3D動(dòng)畫變形網(wǎng)格變形領(lǐng)域的拉普拉斯求解系統(tǒng)進(jìn)行分析，通過多目標(biāo)優(yōu)化理論分析，證明拉普拉斯求解系統(tǒng)是多目標(biāo)優(yōu)化問題。同時(shí)對Laplacian求解系統(tǒng)中影響求解精度的軟約束權(quán)值進(jìn)行分析，在matlab環(huán)境下實(shí)驗(yàn)得出合理的權(quán)值范圍，在此范圍內(nèi)選擇權(quán)值求解線性系統(tǒng)逼近滿意解，獲得平滑的變形效果。

【關(guān)鍵詞】 拉普拉斯 網(wǎng)格變形 軟約束權(quán)值 最小二乘系統(tǒng)

1 引言

在3D動(dòng)畫領(lǐng)域，拉普拉斯網(wǎng)格變形技術(shù)可以很好的表示局部曲面的幾何細(xì)節(jié)，通過求解最小二乘系統(tǒng)，在整個(gè)網(wǎng)格曲面分散誤差，在保持曲面的幾何細(xì)節(jié)變形領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

拉普拉斯網(wǎng)格變形技術(shù)通常需要添加軟約束條件，使原方程組中因增加頂點(diǎn)后，成為超定方程組，最小二乘法用來求解該方程組。在Laplacian約束條件中的軟約束權(quán)值，影響求解精度，如何借助多目標(biāo)優(yōu)化理論確定一個(gè)合理的權(quán)值范圍迅速得到優(yōu)化解是值得研究的問題。

2 多目標(biāo)優(yōu)化理論

多目標(biāo)優(yōu)化理論主要解決的是在含有多個(gè)目標(biāo)的情況下，盡可能滿足多個(gè)目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化問題。

2.1 多目標(biāo)優(yōu)化理論一般模型

（2.1）

公式2.1表示的一般模型被稱為多目標(biāo)優(yōu)化問題模型，也是基本模型。

多目標(biāo)優(yōu)化問題的求解，可以用間接和直接的解法，通常使用多目標(biāo)問題的間接解法轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題，再對單目標(biāo)問題求解。轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題的線性加權(quán)和法、理想點(diǎn)法等多種方法都可應(yīng)用，一般采用的是理想點(diǎn)法。

2.2 理想點(diǎn)法

理想點(diǎn)法的基本思想是分配給每個(gè)目標(biāo)一個(gè)目標(biāo)值，也就是對每個(gè)目標(biāo)函數(shù)，該目標(biāo)函數(shù)值，滿足

（2.2）

為理想點(diǎn)。時(shí)，為最理想的點(diǎn)。理想點(diǎn)法有多種解法，這里應(yīng)用的是平方加權(quán)和法，其但目標(biāo)優(yōu)化問題為：

（2.3）

對公式2.3進(jìn)行求解，得出在平方加權(quán)和下的最優(yōu)解。一般情況下，，。平方加權(quán)和法按照目標(biāo)的重要程度，先排出最優(yōu)值一系列最優(yōu)的目標(biāo)值，再按照各目標(biāo)重要程度，確定一系列權(quán)系數(shù)。此方法下目標(biāo)愈重要，其對應(yīng)的權(quán)系數(shù)愈大。我們可調(diào)整的權(quán)值，逐步達(dá)到最期望的目標(biāo)。應(yīng)用加權(quán)理想點(diǎn)法根據(jù)所需期望程度求解，通過調(diào)整所期望目標(biāo)的值，從而逼近目標(biāo)。

通過以上的分析，可以說明拉普拉斯網(wǎng)格變形方法的求解問題屬于多目標(biāo)優(yōu)化問題范疇。

3 軟約束權(quán)值研究

拉普拉斯網(wǎng)格變形方法的求解框架是一個(gè)線性的最小二乘系統(tǒng)，多目標(biāo)優(yōu)化理論將被用來對拉普拉斯求解系統(tǒng)進(jìn)行分析。

3.1 多目標(biāo)優(yōu)化分析

拉普拉斯網(wǎng)格變形方法：用拉普拉斯坐標(biāo)來表示其頂點(diǎn)坐標(biāo)，一部分控制頂點(diǎn)由研究者自己制定，控制頂點(diǎn)最終需要達(dá)到指定位置，重建模型。操作保留拉普拉斯坐標(biāo)在模型變形前后盡量一致，研究者指定的控制頂點(diǎn)移動(dòng)到指定位置。重建模型通過求解公式3.1中的最小二乘系統(tǒng)，求解出模型變形操作后其頂點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)：

（3.1）

公式3.1由兩部分組成，盡可能保持模型變形前后的拉普拉斯坐標(biāo)一致是第一部分，第二部分是軟約束，使研究者能夠使指定頂點(diǎn)達(dá)到其指定位置，并降低特征頂點(diǎn)處誤差。

對拉普拉斯網(wǎng)格變形方法求解系統(tǒng)用多目標(biāo)優(yōu)化理論進(jìn)行分析，公式3.1中的第一部分使頂點(diǎn)盡量維持原來的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，模型變形前的拉普拉斯坐標(biāo)為模型變形后的拉普拉斯坐標(biāo)的理想點(diǎn)。第二部分使頂點(diǎn)達(dá)到指定位置，理想點(diǎn)就是特征頂點(diǎn)。那么，公式3.1本質(zhì)是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題，只不過在這里面只有兩個(gè)目標(biāo)。

3.2 權(quán)值分析

基于以上分析，拉普拉斯網(wǎng)格變形方法的求解系統(tǒng)中的權(quán)系數(shù)是用來平衡兩個(gè)目標(biāo)的，通過調(diào)整位置約束的重要性來調(diào)整權(quán)系數(shù)。值越大，軟約束會(huì)在求解系統(tǒng)中起的作用越大，進(jìn)而特征頂點(diǎn)愈接近指定位置。在求解系統(tǒng)中，如果軟約束越強(qiáng)，特征頂點(diǎn)盡可能到達(dá)指定位置，即系統(tǒng)中第二個(gè)目標(biāo)被優(yōu)先滿足，則第一個(gè)目標(biāo)就不能很好實(shí)現(xiàn)，誤差會(huì)增大，就不能很好的保持局部幾何細(xì)節(jié)。因此如何確定權(quán)值，盡可能滿足兩個(gè)目標(biāo)，從而達(dá)到滿意變形效果，值得研究。

權(quán)值能夠影響線性最小二乘系統(tǒng)求解精度，變形結(jié)果受到影響。因此，一個(gè)合適的權(quán)值的選擇關(guān)系到兩個(gè)目標(biāo)的平衡問題，正確選擇權(quán)值，使兩個(gè)目標(biāo)都得到最大程度滿足，對獲得滿意變形效果至關(guān)重要。下面通過在matlab上的實(shí)驗(yàn)來討論的合理取值，實(shí)驗(yàn)結(jié)果將為后續(xù)研究者提供重要參考。

4 軟約束權(quán)值實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)環(huán)境：開發(fā)環(huán)境為matlab2012b，操作系統(tǒng)為win7，處理器為AMD phenom（tm）II B97 Processor 3.20GHz。

通過大量模型實(shí)驗(yàn)，對權(quán)值進(jìn)行調(diào)整，直到得出滿意的變形效果，對變形效果好的權(quán)值進(jìn)行記錄，進(jìn)而確定一個(gè)合理的權(quán)值區(qū)間。本文做了大量實(shí)驗(yàn)，這里只選取柱體、兔子和犰狳模型作為展示。圖4-1是對柱體的變形處理圖，柱體原始圖形是直立的。

固定柱體底端的頂點(diǎn)，拉動(dòng)柱體頂部頂點(diǎn)進(jìn)行變形，變形過程當(dāng)中調(diào)整的權(quán)值。取較小權(quán)值時(shí)，軟約束作用小，第二個(gè)目標(biāo)即位置約束難以實(shí)現(xiàn)，=0.1時(shí)，底部頂點(diǎn)未被固定，=0.6時(shí)，變形效果理想，權(quán)值在1左右的效果也不錯(cuò)。增大到1.5時(shí)，作用較強(qiáng)，變形效果不平滑自然。超過1.5的時(shí)候作用更強(qiáng)，變形效果更顯得不自然。因此對于柱體，在0.6-1.4之間可以得到滿意的變形效果。

圖4-2是調(diào)整權(quán)值拖拽兔耳進(jìn)行變形，兔子原始圖耳朵沒有被拉伸。

和柱體變形類似，取值在0.6-1.4之間變形效果理想。取值大于等于1.5時(shí)，耳朵的拖動(dòng)部分出現(xiàn)的褶比較明顯，>1.5時(shí)就更加明顯。

除此之外，在matlab環(huán)境下還進(jìn)行了大量實(shí)驗(yàn)，取值在0.6-1.4之間均可獲得理想變形效果。

如圖4-3是犰狳模型在合理取值范圍內(nèi)對其右腳變形的變形效果圖。

犰狳模型在權(quán)值范圍內(nèi)可以得出比較滿意的變形效果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明權(quán)值在0.6-1.4之間，能夠很好平衡線性最小二乘系統(tǒng)中的兩個(gè)目標(biāo)，獲得滿意變形效果。

因此權(quán)值的合理區(qū)間是0.6-1.4，后續(xù)拉普拉斯網(wǎng)格變形方法研究者可以直接在此范圍內(nèi)選擇取值。

5 結(jié)語

本文對拉普拉斯求解系統(tǒng)應(yīng)用多目標(biāo)優(yōu)化理論進(jìn)行分析，證明其線性最小二乘系統(tǒng)是多目標(biāo)優(yōu)化問題，用權(quán)值來平衡兩個(gè)目標(biāo)，權(quán)值的選取直接影響到求解精度，進(jìn)而影響變形效果。因此本文通過在matlab環(huán)境下對大量模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，逐步選擇權(quán)值大小討論分析，得出合理取值區(qū)間是0.6-1.4，此范圍內(nèi)取值變形效果比較理想，為后續(xù)拉普拉斯變形方法研究者提供重要參考。

參考文獻(xiàn)：

[1]傅英定，成孝予，唐應(yīng)輝著.最優(yōu)化理論與方法.國防工業(yè)出版社，北京：2008.

[2]O.Sorkine，Differential Representations for Mesh Processing，Computer Graphics Forum，Vol.25，No.4，December， 2006，789～807.

[3]王勖成，邵敏.有限單元法基本原理和數(shù)值方法.清華大學(xué)出版社，北京：第二版，1997.

[4]李現(xiàn)民.三角網(wǎng)格簡化及等值面抽取技術(shù).博士學(xué)位論文，中國科學(xué)院計(jì)算技術(shù)研究所，2001.endprint

【摘 要】 本文對3D動(dòng)畫變形網(wǎng)格變形領(lǐng)域的拉普拉斯求解系統(tǒng)進(jìn)行分析，通過多目標(biāo)優(yōu)化理論分析，證明拉普拉斯求解系統(tǒng)是多目標(biāo)優(yōu)化問題。同時(shí)對Laplacian求解系統(tǒng)中影響求解精度的軟約束權(quán)值進(jìn)行分析，在matlab環(huán)境下實(shí)驗(yàn)得出合理的權(quán)值范圍，在此范圍內(nèi)選擇權(quán)值求解線性系統(tǒng)逼近滿意解，獲得平滑的變形效果。

【關(guān)鍵詞】 拉普拉斯 網(wǎng)格變形 軟約束權(quán)值 最小二乘系統(tǒng)

1 引言

在3D動(dòng)畫領(lǐng)域，拉普拉斯網(wǎng)格變形技術(shù)可以很好的表示局部曲面的幾何細(xì)節(jié)，通過求解最小二乘系統(tǒng)，在整個(gè)網(wǎng)格曲面分散誤差，在保持曲面的幾何細(xì)節(jié)變形領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

拉普拉斯網(wǎng)格變形技術(shù)通常需要添加軟約束條件，使原方程組中因增加頂點(diǎn)后，成為超定方程組，最小二乘法用來求解該方程組。在Laplacian約束條件中的軟約束權(quán)值，影響求解精度，如何借助多目標(biāo)優(yōu)化理論確定一個(gè)合理的權(quán)值范圍迅速得到優(yōu)化解是值得研究的問題。

2 多目標(biāo)優(yōu)化理論

多目標(biāo)優(yōu)化理論主要解決的是在含有多個(gè)目標(biāo)的情況下，盡可能滿足多個(gè)目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化問題。

2.1 多目標(biāo)優(yōu)化理論一般模型

（2.1）

公式2.1表示的一般模型被稱為多目標(biāo)優(yōu)化問題模型，也是基本模型。

多目標(biāo)優(yōu)化問題的求解，可以用間接和直接的解法，通常使用多目標(biāo)問題的間接解法轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題，再對單目標(biāo)問題求解。轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題的線性加權(quán)和法、理想點(diǎn)法等多種方法都可應(yīng)用，一般采用的是理想點(diǎn)法。

2.2 理想點(diǎn)法

理想點(diǎn)法的基本思想是分配給每個(gè)目標(biāo)一個(gè)目標(biāo)值，也就是對每個(gè)目標(biāo)函數(shù)，該目標(biāo)函數(shù)值，滿足

（2.2）

為理想點(diǎn)。時(shí)，為最理想的點(diǎn)。理想點(diǎn)法有多種解法，這里應(yīng)用的是平方加權(quán)和法，其但目標(biāo)優(yōu)化問題為：

（2.3）

對公式2.3進(jìn)行求解，得出在平方加權(quán)和下的最優(yōu)解。一般情況下，，。平方加權(quán)和法按照目標(biāo)的重要程度，先排出最優(yōu)值一系列最優(yōu)的目標(biāo)值，再按照各目標(biāo)重要程度，確定一系列權(quán)系數(shù)。此方法下目標(biāo)愈重要，其對應(yīng)的權(quán)系數(shù)愈大。我們可調(diào)整的權(quán)值，逐步達(dá)到最期望的目標(biāo)。應(yīng)用加權(quán)理想點(diǎn)法根據(jù)所需期望程度求解，通過調(diào)整所期望目標(biāo)的值，從而逼近目標(biāo)。

通過以上的分析，可以說明拉普拉斯網(wǎng)格變形方法的求解問題屬于多目標(biāo)優(yōu)化問題范疇。

3 軟約束權(quán)值研究

拉普拉斯網(wǎng)格變形方法的求解框架是一個(gè)線性的最小二乘系統(tǒng)，多目標(biāo)優(yōu)化理論將被用來對拉普拉斯求解系統(tǒng)進(jìn)行分析。

3.1 多目標(biāo)優(yōu)化分析

拉普拉斯網(wǎng)格變形方法：用拉普拉斯坐標(biāo)來表示其頂點(diǎn)坐標(biāo)，一部分控制頂點(diǎn)由研究者自己制定，控制頂點(diǎn)最終需要達(dá)到指定位置，重建模型。操作保留拉普拉斯坐標(biāo)在模型變形前后盡量一致，研究者指定的控制頂點(diǎn)移動(dòng)到指定位置。重建模型通過求解公式3.1中的最小二乘系統(tǒng)，求解出模型變形操作后其頂點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)：

（3.1）

公式3.1由兩部分組成，盡可能保持模型變形前后的拉普拉斯坐標(biāo)一致是第一部分，第二部分是軟約束，使研究者能夠使指定頂點(diǎn)達(dá)到其指定位置，并降低特征頂點(diǎn)處誤差。

對拉普拉斯網(wǎng)格變形方法求解系統(tǒng)用多目標(biāo)優(yōu)化理論進(jìn)行分析，公式3.1中的第一部分使頂點(diǎn)盡量維持原來的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，模型變形前的拉普拉斯坐標(biāo)為模型變形后的拉普拉斯坐標(biāo)的理想點(diǎn)。第二部分使頂點(diǎn)達(dá)到指定位置，理想點(diǎn)就是特征頂點(diǎn)。那么，公式3.1本質(zhì)是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題，只不過在這里面只有兩個(gè)目標(biāo)。

3.2 權(quán)值分析

基于以上分析，拉普拉斯網(wǎng)格變形方法的求解系統(tǒng)中的權(quán)系數(shù)是用來平衡兩個(gè)目標(biāo)的，通過調(diào)整位置約束的重要性來調(diào)整權(quán)系數(shù)。值越大，軟約束會(huì)在求解系統(tǒng)中起的作用越大，進(jìn)而特征頂點(diǎn)愈接近指定位置。在求解系統(tǒng)中，如果軟約束越強(qiáng)，特征頂點(diǎn)盡可能到達(dá)指定位置，即系統(tǒng)中第二個(gè)目標(biāo)被優(yōu)先滿足，則第一個(gè)目標(biāo)就不能很好實(shí)現(xiàn)，誤差會(huì)增大，就不能很好的保持局部幾何細(xì)節(jié)。因此如何確定權(quán)值，盡可能滿足兩個(gè)目標(biāo)，從而達(dá)到滿意變形效果，值得研究。

權(quán)值能夠影響線性最小二乘系統(tǒng)求解精度，變形結(jié)果受到影響。因此，一個(gè)合適的權(quán)值的選擇關(guān)系到兩個(gè)目標(biāo)的平衡問題，正確選擇權(quán)值，使兩個(gè)目標(biāo)都得到最大程度滿足，對獲得滿意變形效果至關(guān)重要。下面通過在matlab上的實(shí)驗(yàn)來討論的合理取值，實(shí)驗(yàn)結(jié)果將為后續(xù)研究者提供重要參考。

4 軟約束權(quán)值實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)環(huán)境：開發(fā)環(huán)境為matlab2012b，操作系統(tǒng)為win7，處理器為AMD phenom（tm）II B97 Processor 3.20GHz。

通過大量模型實(shí)驗(yàn)，對權(quán)值進(jìn)行調(diào)整，直到得出滿意的變形效果，對變形效果好的權(quán)值進(jìn)行記錄，進(jìn)而確定一個(gè)合理的權(quán)值區(qū)間。本文做了大量實(shí)驗(yàn)，這里只選取柱體、兔子和犰狳模型作為展示。圖4-1是對柱體的變形處理圖，柱體原始圖形是直立的。

固定柱體底端的頂點(diǎn)，拉動(dòng)柱體頂部頂點(diǎn)進(jìn)行變形，變形過程當(dāng)中調(diào)整的權(quán)值。取較小權(quán)值時(shí)，軟約束作用小，第二個(gè)目標(biāo)即位置約束難以實(shí)現(xiàn)，=0.1時(shí)，底部頂點(diǎn)未被固定，=0.6時(shí)，變形效果理想，權(quán)值在1左右的效果也不錯(cuò)。增大到1.5時(shí)，作用較強(qiáng)，變形效果不平滑自然。超過1.5的時(shí)候作用更強(qiáng)，變形效果更顯得不自然。因此對于柱體，在0.6-1.4之間可以得到滿意的變形效果。

圖4-2是調(diào)整權(quán)值拖拽兔耳進(jìn)行變形，兔子原始圖耳朵沒有被拉伸。

和柱體變形類似，取值在0.6-1.4之間變形效果理想。取值大于等于1.5時(shí)，耳朵的拖動(dòng)部分出現(xiàn)的褶比較明顯，>1.5時(shí)就更加明顯。

除此之外，在matlab環(huán)境下還進(jìn)行了大量實(shí)驗(yàn)，取值在0.6-1.4之間均可獲得理想變形效果。

如圖4-3是犰狳模型在合理取值范圍內(nèi)對其右腳變形的變形效果圖。

犰狳模型在權(quán)值范圍內(nèi)可以得出比較滿意的變形效果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明權(quán)值在0.6-1.4之間，能夠很好平衡線性最小二乘系統(tǒng)中的兩個(gè)目標(biāo)，獲得滿意變形效果。

因此權(quán)值的合理區(qū)間是0.6-1.4，后續(xù)拉普拉斯網(wǎng)格變形方法研究者可以直接在此范圍內(nèi)選擇取值。

5 結(jié)語

本文對拉普拉斯求解系統(tǒng)應(yīng)用多目標(biāo)優(yōu)化理論進(jìn)行分析，證明其線性最小二乘系統(tǒng)是多目標(biāo)優(yōu)化問題，用權(quán)值來平衡兩個(gè)目標(biāo)，權(quán)值的選取直接影響到求解精度，進(jìn)而影響變形效果。因此本文通過在matlab環(huán)境下對大量模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，逐步選擇權(quán)值大小討論分析，得出合理取值區(qū)間是0.6-1.4，此范圍內(nèi)取值變形效果比較理想，為后續(xù)拉普拉斯變形方法研究者提供重要參考。

參考文獻(xiàn)：

[1]傅英定，成孝予，唐應(yīng)輝著.最優(yōu)化理論與方法.國防工業(yè)出版社，北京：2008.

[2]O.Sorkine，Differential Representations for Mesh Processing，Computer Graphics Forum，Vol.25，No.4，December， 2006，789～807.

[3]王勖成，邵敏.有限單元法基本原理和數(shù)值方法.清華大學(xué)出版社，北京：第二版，1997.

[4]李現(xiàn)民.三角網(wǎng)格簡化及等值面抽取技術(shù).博士學(xué)位論文，中國科學(xué)院計(jì)算技術(shù)研究所，2001.endprint

【摘 要】 本文對3D動(dòng)畫變形網(wǎng)格變形領(lǐng)域的拉普拉斯求解系統(tǒng)進(jìn)行分析，通過多目標(biāo)優(yōu)化理論分析，證明拉普拉斯求解系統(tǒng)是多目標(biāo)優(yōu)化問題。同時(shí)對Laplacian求解系統(tǒng)中影響求解精度的軟約束權(quán)值進(jìn)行分析，在matlab環(huán)境下實(shí)驗(yàn)得出合理的權(quán)值范圍，在此范圍內(nèi)選擇權(quán)值求解線性系統(tǒng)逼近滿意解，獲得平滑的變形效果。

【關(guān)鍵詞】 拉普拉斯 網(wǎng)格變形 軟約束權(quán)值 最小二乘系統(tǒng)

1 引言

在3D動(dòng)畫領(lǐng)域，拉普拉斯網(wǎng)格變形技術(shù)可以很好的表示局部曲面的幾何細(xì)節(jié)，通過求解最小二乘系統(tǒng)，在整個(gè)網(wǎng)格曲面分散誤差，在保持曲面的幾何細(xì)節(jié)變形領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

拉普拉斯網(wǎng)格變形技術(shù)通常需要添加軟約束條件，使原方程組中因增加頂點(diǎn)后，成為超定方程組，最小二乘法用來求解該方程組。在Laplacian約束條件中的軟約束權(quán)值，影響求解精度，如何借助多目標(biāo)優(yōu)化理論確定一個(gè)合理的權(quán)值范圍迅速得到優(yōu)化解是值得研究的問題。

2 多目標(biāo)優(yōu)化理論

多目標(biāo)優(yōu)化理論主要解決的是在含有多個(gè)目標(biāo)的情況下，盡可能滿足多個(gè)目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化問題。

2.1 多目標(biāo)優(yōu)化理論一般模型

（2.1）

公式2.1表示的一般模型被稱為多目標(biāo)優(yōu)化問題模型，也是基本模型。

多目標(biāo)優(yōu)化問題的求解，可以用間接和直接的解法，通常使用多目標(biāo)問題的間接解法轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題，再對單目標(biāo)問題求解。轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題的線性加權(quán)和法、理想點(diǎn)法等多種方法都可應(yīng)用，一般采用的是理想點(diǎn)法。

2.2 理想點(diǎn)法

理想點(diǎn)法的基本思想是分配給每個(gè)目標(biāo)一個(gè)目標(biāo)值，也就是對每個(gè)目標(biāo)函數(shù)，該目標(biāo)函數(shù)值，滿足

（2.2）

為理想點(diǎn)。時(shí)，為最理想的點(diǎn)。理想點(diǎn)法有多種解法，這里應(yīng)用的是平方加權(quán)和法，其但目標(biāo)優(yōu)化問題為：

（2.3）

對公式2.3進(jìn)行求解，得出在平方加權(quán)和下的最優(yōu)解。一般情況下，，。平方加權(quán)和法按照目標(biāo)的重要程度，先排出最優(yōu)值一系列最優(yōu)的目標(biāo)值，再按照各目標(biāo)重要程度，確定一系列權(quán)系數(shù)。此方法下目標(biāo)愈重要，其對應(yīng)的權(quán)系數(shù)愈大。我們可調(diào)整的權(quán)值，逐步達(dá)到最期望的目標(biāo)。應(yīng)用加權(quán)理想點(diǎn)法根據(jù)所需期望程度求解，通過調(diào)整所期望目標(biāo)的值，從而逼近目標(biāo)。

通過以上的分析，可以說明拉普拉斯網(wǎng)格變形方法的求解問題屬于多目標(biāo)優(yōu)化問題范疇。

3 軟約束權(quán)值研究

拉普拉斯網(wǎng)格變形方法的求解框架是一個(gè)線性的最小二乘系統(tǒng)，多目標(biāo)優(yōu)化理論將被用來對拉普拉斯求解系統(tǒng)進(jìn)行分析。

3.1 多目標(biāo)優(yōu)化分析

拉普拉斯網(wǎng)格變形方法：用拉普拉斯坐標(biāo)來表示其頂點(diǎn)坐標(biāo)，一部分控制頂點(diǎn)由研究者自己制定，控制頂點(diǎn)最終需要達(dá)到指定位置，重建模型。操作保留拉普拉斯坐標(biāo)在模型變形前后盡量一致，研究者指定的控制頂點(diǎn)移動(dòng)到指定位置。重建模型通過求解公式3.1中的最小二乘系統(tǒng)，求解出模型變形操作后其頂點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)：

（3.1）

公式3.1由兩部分組成，盡可能保持模型變形前后的拉普拉斯坐標(biāo)一致是第一部分，第二部分是軟約束，使研究者能夠使指定頂點(diǎn)達(dá)到其指定位置，并降低特征頂點(diǎn)處誤差。

對拉普拉斯網(wǎng)格變形方法求解系統(tǒng)用多目標(biāo)優(yōu)化理論進(jìn)行分析，公式3.1中的第一部分使頂點(diǎn)盡量維持原來的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，模型變形前的拉普拉斯坐標(biāo)為模型變形后的拉普拉斯坐標(biāo)的理想點(diǎn)。第二部分使頂點(diǎn)達(dá)到指定位置，理想點(diǎn)就是特征頂點(diǎn)。那么，公式3.1本質(zhì)是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題，只不過在這里面只有兩個(gè)目標(biāo)。

3.2 權(quán)值分析

基于以上分析，拉普拉斯網(wǎng)格變形方法的求解系統(tǒng)中的權(quán)系數(shù)是用來平衡兩個(gè)目標(biāo)的，通過調(diào)整位置約束的重要性來調(diào)整權(quán)系數(shù)。值越大，軟約束會(huì)在求解系統(tǒng)中起的作用越大，進(jìn)而特征頂點(diǎn)愈接近指定位置。在求解系統(tǒng)中，如果軟約束越強(qiáng)，特征頂點(diǎn)盡可能到達(dá)指定位置，即系統(tǒng)中第二個(gè)目標(biāo)被優(yōu)先滿足，則第一個(gè)目標(biāo)就不能很好實(shí)現(xiàn)，誤差會(huì)增大，就不能很好的保持局部幾何細(xì)節(jié)。因此如何確定權(quán)值，盡可能滿足兩個(gè)目標(biāo)，從而達(dá)到滿意變形效果，值得研究。

權(quán)值能夠影響線性最小二乘系統(tǒng)求解精度，變形結(jié)果受到影響。因此，一個(gè)合適的權(quán)值的選擇關(guān)系到兩個(gè)目標(biāo)的平衡問題，正確選擇權(quán)值，使兩個(gè)目標(biāo)都得到最大程度滿足，對獲得滿意變形效果至關(guān)重要。下面通過在matlab上的實(shí)驗(yàn)來討論的合理取值，實(shí)驗(yàn)結(jié)果將為后續(xù)研究者提供重要參考。

4 軟約束權(quán)值實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)環(huán)境：開發(fā)環(huán)境為matlab2012b，操作系統(tǒng)為win7，處理器為AMD phenom（tm）II B97 Processor 3.20GHz。

通過大量模型實(shí)驗(yàn)，對權(quán)值進(jìn)行調(diào)整，直到得出滿意的變形效果，對變形效果好的權(quán)值進(jìn)行記錄，進(jìn)而確定一個(gè)合理的權(quán)值區(qū)間。本文做了大量實(shí)驗(yàn)，這里只選取柱體、兔子和犰狳模型作為展示。圖4-1是對柱體的變形處理圖，柱體原始圖形是直立的。

固定柱體底端的頂點(diǎn)，拉動(dòng)柱體頂部頂點(diǎn)進(jìn)行變形，變形過程當(dāng)中調(diào)整的權(quán)值。取較小權(quán)值時(shí)，軟約束作用小，第二個(gè)目標(biāo)即位置約束難以實(shí)現(xiàn)，=0.1時(shí)，底部頂點(diǎn)未被固定，=0.6時(shí)，變形效果理想，權(quán)值在1左右的效果也不錯(cuò)。增大到1.5時(shí)，作用較強(qiáng)，變形效果不平滑自然。超過1.5的時(shí)候作用更強(qiáng)，變形效果更顯得不自然。因此對于柱體，在0.6-1.4之間可以得到滿意的變形效果。

圖4-2是調(diào)整權(quán)值拖拽兔耳進(jìn)行變形，兔子原始圖耳朵沒有被拉伸。

和柱體變形類似，取值在0.6-1.4之間變形效果理想。取值大于等于1.5時(shí)，耳朵的拖動(dòng)部分出現(xiàn)的褶比較明顯，>1.5時(shí)就更加明顯。

除此之外，在matlab環(huán)境下還進(jìn)行了大量實(shí)驗(yàn)，取值在0.6-1.4之間均可獲得理想變形效果。

如圖4-3是犰狳模型在合理取值范圍內(nèi)對其右腳變形的變形效果圖。

犰狳模型在權(quán)值范圍內(nèi)可以得出比較滿意的變形效果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明權(quán)值在0.6-1.4之間，能夠很好平衡線性最小二乘系統(tǒng)中的兩個(gè)目標(biāo)，獲得滿意變形效果。

因此權(quán)值的合理區(qū)間是0.6-1.4，后續(xù)拉普拉斯網(wǎng)格變形方法研究者可以直接在此范圍內(nèi)選擇取值。

5 結(jié)語

本文對拉普拉斯求解系統(tǒng)應(yīng)用多目標(biāo)優(yōu)化理論進(jìn)行分析，證明其線性最小二乘系統(tǒng)是多目標(biāo)優(yōu)化問題，用權(quán)值來平衡兩個(gè)目標(biāo)，權(quán)值的選取直接影響到求解精度，進(jìn)而影響變形效果。因此本文通過在matlab環(huán)境下對大量模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，逐步選擇權(quán)值大小討論分析，得出合理取值區(qū)間是0.6-1.4，此范圍內(nèi)取值變形效果比較理想，為后續(xù)拉普拉斯變形方法研究者提供重要參考。

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