張明會(huì)

(隴南師范高等專(zhuān)科學(xué)校 數(shù)學(xué)系，甘肅 成縣 742500)

1 問(wèn)題的提出和復(fù)述

建筑物(尤其是古代建筑物和高層建筑物)，由于長(zhǎng)時(shí)間承受自重壓力、氣溫變化、風(fēng)力影響、雨水侵蝕等作用，偶然還要受地震、颶風(fēng)等自然因素和爆炸、火災(zāi)等非自然因素的影響，都會(huì)產(chǎn)生各種變形，諸如傾斜、彎曲、扭曲等。為保護(hù)古代建筑——古塔，文物部門(mén)需適時(shí)對(duì)古塔進(jìn)行觀測(cè)，了解各種變形量，以制定必要的保護(hù)措施。

若某古塔已有上千年歷史，是我國(guó)重點(diǎn)保護(hù)文物。管理部門(mén)委托測(cè)繪公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月對(duì)該塔進(jìn)行了4次觀測(cè)。據(jù)附件1提供了這4次觀測(cè)的數(shù)據(jù)。請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型討論以下問(wèn)題。

1.1給出確定古塔各層中心位置的通用方法，并列表給出各次測(cè)量的古塔各層中心坐標(biāo)。

1.2分析該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。

1.3分析該塔的變形趨勢(shì)。

2 模型的假設(shè)

為了簡(jiǎn)化模型，便于討論和計(jì)算，現(xiàn)對(duì)模型做一些合理的假設(shè)。

2.1古塔在修建時(shí)沒(méi)有任何方向的傾斜，即古塔的中心曲線與地面垂直；

2.2 古塔的任何一個(gè)平行于地面的橫截面都是正多邊形(或圓形)；

2.3 古塔的每一層都接近于一個(gè)正棱柱(或圓柱)；

2.4 在四次測(cè)量時(shí)，每層塔的相同序號(hào)的點(diǎn)是相同的，即同序同點(diǎn)；

2.4 每次測(cè)量時(shí)都在每層塔的下底面和上底面相對(duì)應(yīng)的地方上選點(diǎn)。

3 符號(hào)說(shuō)明與名詞的定義

為方便敘述和討論，現(xiàn)對(duì)文中所用的符號(hào)、變量和名詞做如下的說(shuō)明與定義。

3.1 重要符號(hào)的名稱(chēng)和意義。

Kα表示曲線的傾斜度，α表示曲線的傾斜角；

Kβ表示曲線的彎曲度，β表示曲線的彎曲角；

Kγ表示曲線的扭轉(zhuǎn)度，γ表示曲線的扭轉(zhuǎn)角；

|v|表示向量v的模；

∑Y表示對(duì)向量Y求和，即∑Y=Y1+Y2+…+Yn.

3.2相關(guān)概念及其定義。

為了便于使用矩陣表示和計(jì)算曲線、平面圖形、空間圖形的相關(guān)問(wèn)題，現(xiàn)引入系列定義。

3.2.1 曲線和圖形的矩陣表示。

定義1 設(shè)曲線C上有n個(gè)點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為A1(x1,y1,z1),A2(x2,y2,z2),…,An(xn,yn,zn),則矩陣

下文中如無(wú)特殊說(shuō)明，曲線和它的坐標(biāo)將不再區(qū)分，即曲線C也稱(chēng)為曲線M。

定義2 設(shè)多邊形AB…K的頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),…,K(xk,yk,zk),則矩陣

有了以上的定義，曲線和多邊形就可以用矩陣表示了，為數(shù)據(jù)的處理帶來(lái)了方便。

3.2.2 正多邊形中心的定義、性質(zhì)和計(jì)算。

定義3 設(shè)有正多邊形AB…N，其外接圓的圓心P稱(chēng)為正多邊形AB…N的中心。

需要注意的是，非正多邊形不能這樣定義中心，但可以定義中心曲線，這個(gè)問(wèn)題見(jiàn)后面討論。

對(duì)于正多邊形的中心，有如下的性質(zhì)

性質(zhì)1 設(shè)P是正多邊形AB…N的中心，則必有

(1)

性質(zhì)2 設(shè)正多邊形A1A2…A2n是一個(gè)正2n邊形，P是它的中心，則有

(2)

根據(jù)定義和性質(zhì)1，性質(zhì)2對(duì)于正多邊形的中心坐標(biāo)就有如下的計(jì)算方法。

定理1 設(shè)正多邊形AB…N的坐標(biāo)為

(3)

公式3 稱(chēng)為正多邊形中心坐標(biāo)公式。

定理2 設(shè)正多邊形AB…N的坐標(biāo)為

(4)

利用公式4，當(dāng)已知正多邊形的n-1個(gè)坐標(biāo)和中心坐標(biāo)時(shí)就可以求出另外任意一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，因此公式4稱(chēng)為余點(diǎn)坐標(biāo)公式。

3.2.3 非正多邊形中心曲線的定義和坐標(biāo)計(jì)算。

定義4 設(shè)多邊形A1A2…An由兩個(gè)正多邊形

圖1 中心曲線

對(duì)于由多個(gè)正多邊形連接成的非多邊形同樣可以定義中心曲線。

仿照多邊形中心的處理，我們可以定義空間多面體的中心和中心曲線。

3.2.4 正面體中心的定義、性質(zhì)和計(jì)算。

定義5 設(shè)有空間正多面體AB…N，其外接球的球心P稱(chēng)為正多面體AB…N的中心。

對(duì)于正多面體中心的性質(zhì)和計(jì)算方法與正多邊形相似，公式1, 公式2, 公式3, 公式4也成立，不再贅述。

對(duì)于非正多面體中心曲線的定義與非正多邊形相似。

3.2.5 曲線傾斜度、彎曲度的定義及計(jì)算。

定義6 設(shè)曲線C的起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B，則直線AB的傾斜角α稱(chēng)為曲線C的傾斜角，直線AB的斜率k稱(chēng)為曲線C的斜率。為了避免與直線的斜率相混淆，這里將曲線的斜率稱(chēng)為曲線的傾斜度，記為Kα．

如圖2，若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)是曲線C的起點(diǎn)和終點(diǎn)，則由傾斜度的定義就有

(5)

圖2 曲線的傾斜度和彎曲度

根據(jù)以上的定義，彎曲度有如下的計(jì)算公式，如圖2

設(shè)A1(x1,y1z1),A2(x2,y2,z2),A(n-1)(x(n-1),y(n-1),z(n-1)),An(xn,yn,zn),則

(6)

3.2.6 圖形扭轉(zhuǎn)度的定義及計(jì)算。

圖形的扭轉(zhuǎn)度是一個(gè)圖形或具有對(duì)應(yīng)性質(zhì)的兩個(gè)圖形的旋轉(zhuǎn)程度的指標(biāo)，旋轉(zhuǎn)的角度越大扭轉(zhuǎn)度就越大。

圖3 扭轉(zhuǎn)度

根據(jù)扭轉(zhuǎn)度的定義，扭轉(zhuǎn)度有如下的計(jì)算公式

如圖3，設(shè)A(x1,y1,z1),P(x,y,z),A'(x1',y1',z1'),P'(x',y',z'),則

(7)

4 模型的建立

在以上討論的基礎(chǔ)上，現(xiàn)對(duì)古塔的中心位置、傾斜度、彎曲度和扭轉(zhuǎn)度及其夾角的問(wèn)題進(jìn)行處理。

4.1 古塔各層中心位置的確定。

由假設(shè)2，即古塔的截面是正多邊形，現(xiàn)將1986年對(duì)第一層觀測(cè)的數(shù)據(jù)利用MathCAD軟件做出圖形，如圖4，可以看出其截面確實(shí)接近正八邊形，就是說(shuō)假設(shè)是合理的和可以利用的。

圖4 古塔截面圖

從而就有

上式表明該層古塔的中心就是它的上下底面對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的代數(shù)平均數(shù)，也就是說(shuō)對(duì)于一層古塔，只要知道它的上下底面的坐標(biāo)就可以完全確定它的中心的坐標(biāo)

(8)

下面利用中心曲線討論古塔的傾斜、彎曲和扭轉(zhuǎn)等變形問(wèn)題。

4.2 古塔傾斜度和傾斜角的確定。

(9)

4.3 古塔彎曲度和彎曲角的確定。

(10)

4.4 古塔扭轉(zhuǎn)度和扭轉(zhuǎn)角的確定。

由定義8，于古塔的扭轉(zhuǎn)度和扭轉(zhuǎn)角就是其最下層和最上層多邊形的扭轉(zhuǎn)度和扭轉(zhuǎn)角，因此由公式7，就有

(11)

5 模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)

該模型通過(guò)定義中心曲線和傾斜度、彎曲度、扭轉(zhuǎn)度等概念，結(jié)合四次觀測(cè)數(shù)據(jù)，利用MathCAD軟件計(jì)算，給出了確定古塔中心曲線的通用方法，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算了該古塔的中心曲線、傾斜度、彎曲度、扭轉(zhuǎn)度等衡量變形的指標(biāo)。

模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，計(jì)算方便，易于理解和應(yīng)用，模型的結(jié)果不僅對(duì)于古代建筑安全性的評(píng)價(jià)有指導(dǎo)意義，而且對(duì)于現(xiàn)代建筑(尤其是高層建筑)的安全評(píng)估也有一定的參考價(jià)值。是一個(gè)簡(jiǎn)單而實(shí)用的模型。

然而模型中也存在一些不足：

5.1沒(méi)有考慮每層觀測(cè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)的情況；

5.2將各層塔體看成柱體；

5.3舍棄了部分殘缺數(shù)據(jù)等。

這些因素對(duì)模型的精確度都有一定的影響，在實(shí)際使用時(shí)要加以考慮，以提高模型的精確度。

以上不足之處將在以后的研究中繼續(xù)探討和完善。

[1]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析[M]. 北京：高等教育出版社，2001.

[2]張禾瑞.高等代數(shù)[M]. 北京：高等教育出版社，1997.

[3]袁長(zhǎng)迎.掌握和精通Mathcad2000[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2001.

[4]馮杰，王勤，等.數(shù)學(xué)建模原理與案例[M].北京：科學(xué)出版社，2007.