陳艷麗，及萬會(huì)

（銀川能源學(xué)院基礎(chǔ)部，銀川 永寧750105）

1 引 言

2 結(jié)果與證明

兩端關(guān)于z微分：

（1）式證畢。

其中

利用公式 （1）易得 （2）。

推論2 對(duì)于z∈Q＼Z 和k 式正整數(shù)，則下列級(jí)數(shù)和式成立

定理2 設(shè)z≠k，k＝0，±1，±2，…，z∈Q＼Z，則正負(fù)相間級(jí)數(shù)

證明 根據(jù)留數(shù)基本定理［11］，如果函數(shù)f（z）在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)奇點(diǎn)，那么f（z）在所有各奇點(diǎn)（包括∞點(diǎn)）的留數(shù)總和必等于零。在復(fù)平面取區(qū)域頂點(diǎn)為取矩形區(qū)域CN，頂點(diǎn)N（－1＋i），N（1＋i），N（1－i）和N（－1－i）。如圖1所示。

圖1 復(fù)平面內(nèi)的矩形區(qū)域

推論3 設(shè)αi∈Q＼Z，則

其中

推論3的證明方法同推論1。

推論4 設(shè)α∈Q＼Z z≠k，k＝0，±1，±2，… 則下列正負(fù)相間級(jí)數(shù)和式成立

推論4

推論5 對(duì)于c∈Q＼Z，級(jí)數(shù)

（14）式成立。

（15）式成立。

定理4 含奇次冪與雙曲余弦級(jí)數(shù)乘積的倒數(shù)級(jí)數(shù)封閉形和式

單極點(diǎn)z＝（n＋

12）i，n＝±1，±2，…。由級(jí)數(shù)（A）令x ＝πz，那么函數(shù)展開成羅朗級(jí)數(shù)

當(dāng)N →∞時(shí)，圍線積分

函數(shù)在z＝0是5階極點(diǎn)；單極點(diǎn)

單極點(diǎn)，…。由級(jí)數(shù)（3）令x ＝πz，那么函數(shù)展開成羅朗級(jí)數(shù)

級(jí)數(shù)式中項(xiàng)，從而

在極點(diǎn)，留數(shù)

在極點(diǎn)在

留數(shù)

當(dāng)N →∞時(shí)，圍線積分

留數(shù)

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