安慧輝，薛 晨，康 健

（遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116023）

0 引言

Dendriform 代數(shù)、quadri-代數(shù)、octo-代數(shù)都稱為Loday 代數(shù)，這些代數(shù)都有共同“分裂結(jié)合性”的特性，即將結(jié)合代數(shù)的乘法表示成一串二元運算的和[1]。同時，Loday 代數(shù)在許多領(lǐng)域中也有廣泛的應(yīng)用，甚至某些代數(shù)還成為了一個獨立的代數(shù)體系發(fā)展起來，例如1995 年Loday 在研究代數(shù)K-理論時首先發(fā)現(xiàn)的dendriform 代數(shù)[2]，后來隨著人們對dendriform 代數(shù)的深入研究，發(fā)現(xiàn)它在許多數(shù)學(xué)、物理領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用，例如operads 理論[3]，同調(diào)[4]，Hopf 代數(shù)[5,6]，李代數(shù)和Leibniz 代數(shù)[4]，以及量子場[7]等等。本文就在octo-代數(shù)、quadri-代數(shù)基礎(chǔ)上分別給出Hom-quadri-代數(shù)和Hom-octo-代數(shù)的定義和結(jié)構(gòu)，并討論了它們之間的關(guān)系。

1 基本內(nèi)容

定義1.1(Hom-associative-代數(shù))[8]

定義1.2(Hom-pre-Lie-代數(shù))[8]

定義1.3(Hom-dendriform-代數(shù))[8]

命題1.4[8]

命題1.5[8]

定義1.6(quadri-代數(shù))[1]

假設(shè)A 為線性空間，在A 上定義代數(shù)運算

定義1.7(octo-代數(shù)) [1]

假設(shè)A 為一個線性空間，在A 上定義代數(shù)運算

其中：

2 Hom-quadri-代數(shù)

定義2.1(Hom-quadri-代數(shù))

注：

定理2.2

證明：

對于 ?x , y ,z ∈ A ，有

命題2.3

證明：

對于 ?x , y ,z ∈ A ，由Hom-dendriform-代數(shù)的定義可得：

推論2.4

證明：

利用定義1.2、命題1.5 和命題2.3 即可證明。

推論2.5

證明：

利用定義1.1、命題1.4 和命題2.3 即可證明。

3 Hom-octo-代數(shù)

定義3.1(Hom-octo-代數(shù))

其中：

注：

定理3.2

證明：

對于 ?x , y ,z ∈ A ，有

命題3.3

證明：

推論3.4

證明：

由定義1.3 和命題3.3 即可證明。

推論3.5

證明：

由定義1.2、命題1.5 和推論3.4 即可證明。

推論3.6

證明：

由定義1.1、命題1.4 和推論3.4 即可證明。

[1] Bai CM. O-operators of Loday algebrasand analogues of the classical Yang-Baxter equation[J]. Comm. in Alg., 2010, 38(11): 4277-4321.

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[6] Chapoton F, Un théorème de Cartier-Milnor-Moore-Quillen pour les bigèbres dendriforms et les algebras braces [J]. Pure and App. Alg., 2002, 168(1): 1-18.

[7] Koszul J L, Variétés localement plates et convexitè [J]. Ocaka Jour. of Math., 1965, 2(2): 285-290.

[8] Makhiouf Abdenacer. Hom-dendriform algebras and Rota- Baxter Hom-algebras [J/OL]. (2011-1-2) [2014-06-10]. http:// arxiv.org/pdf/1101.0435.pdf.