葛曉莉,邵翠,徐龍封,

（安徽工業(yè)大學(xué)a.數(shù)理學(xué)院;b.工商學(xué)院安徽馬鞍山243032）

一類(lèi)總量依賴(lài)型竹林發(fā)展系統(tǒng)的古典解

葛曉莉a,邵翠b,徐龍封a,b

（安徽工業(yè)大學(xué)a.數(shù)理學(xué)院;b.工商學(xué)院安徽馬鞍山243032）

針對(duì)竹林發(fā)展系統(tǒng)邊界不滿足通常的三類(lèi)條件的問(wèn)題，采用在“竹齡-直徑”存在區(qū)域內(nèi)引進(jìn)一類(lèi)特殊的曲線族的方法，以避開(kāi)邊界條件問(wèn)題；通過(guò)對(duì)竹子直徑尺度量綱的適當(dāng)選擇，提出了一類(lèi)總量依賴(lài)型二維竹林發(fā)展系統(tǒng)模型，并綜合作特征線、先驗(yàn)估計(jì)、構(gòu)造初始狀態(tài)積分方程、迭代等手段證明了該系統(tǒng)整體古典解的存在唯一性。

二維竹林發(fā)展系統(tǒng)；特征線；古典解；積分方程

對(duì)普通的森林純林發(fā)展系統(tǒng)，已經(jīng)有不少研究結(jié)果。如文獻(xiàn)[1]討論了多個(gè)一維純林系統(tǒng)模型。文獻(xiàn)[2]討論了一個(gè)二維純林系統(tǒng)模型。文獻(xiàn)[3]提出了一般多維純林系統(tǒng)模型概念。文獻(xiàn)[4]對(duì)一般多維純林系統(tǒng)模型進(jìn)行了初步分析。文獻(xiàn)[5]研究了一類(lèi)典型的一維純林系統(tǒng)解的存在唯一性。竹林是一種特殊的森林，普通的森林主要靠人工造林更新，而竹林基本上靠自主發(fā)筍更新。因此描述竹林發(fā)展系統(tǒng)的模型與普通的森林發(fā)展系統(tǒng)模型的邊界條件是不同的。吳漢兵等提出了一類(lèi)非線性竹林發(fā)展系統(tǒng)的古典解[6]，曹倩等[7]研究了一維竹林系統(tǒng)解的存在唯一性。但對(duì)二維竹林系統(tǒng)的研究少見(jiàn)報(bào)道。

1 總量依賴(lài)型二維竹林系統(tǒng)模型

總量依賴(lài)型二維竹林純林系統(tǒng)：設(shè)p(x,y,t)稱(chēng)為純林面積的竹齡分布密度函數(shù)；定義相對(duì)采消率為μ(x,y,t,N(t)), p0(x,y,0)表示初始狀態(tài)；β(t)表示在時(shí)刻t保留的竹筍面積與采消的面積之比(1≥β(t)≥β0＞0); g(x,y,t)表示在時(shí)刻t林齡為x直徑為y的竹子發(fā)筍率。總量依賴(lài)型純林的林齡和直徑密度結(jié)構(gòu)發(fā)展過(guò)程可用下列模型描述。

φ1(x,y),φ2(x,y)分別表示竹齡和直徑的生長(zhǎng)速度。因此且為敘述簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不妨設(shè)適當(dāng)選擇y的計(jì)量單位，使d=k2(l)=l。設(shè)常數(shù)0≤ε＜l,記?2(x,y)=?(x,y), y=k1(x),y=k2(x),x=l-ε圍成的曲邊三角形區(qū)域?yàn)椋ㄒ?jiàn)圖1）。

圖1系統(tǒng)的二維存在區(qū)域Fig.1 Two-dimension presence region of system

從而式(1)可化為：

同時(shí)要求滿足邊界相容條件

參考圖1對(duì)系統(tǒng)再作如下合理假設(shè)。

H1：記待定。x充分大接近l時(shí)，存在常數(shù)a0,a1,a2＞0,以及充分小的正數(shù)ε0和函數(shù)且對(duì)任意t∈[0,T],l-x＜ε0時(shí)，μ(x,y,t,N(t))=a(x,y,t)/

H2：對(duì)任意點(diǎn)(x0,y0)∈Ωˉ,存在唯一的光滑曲線且滿足另外，易算出沿著此曲線

H3：存在一個(gè)很小的正數(shù)δ,當(dāng)x∈[0,δ]時(shí)，k1(x)=k2(x)=kx,其中k是正的常數(shù)。對(duì)任意是常數(shù)。

2 定理及其證明

本文致力于討論問(wèn)題(2)解的存在唯一性，主要結(jié)論如下：

定理設(shè)且存在常數(shù)M使得則

2.1 存在性證明

引理1對(duì)任意(x,y,t)∈QT∩{x≥t},記動(dòng)點(diǎn)對(duì)任意取定的N?(t)∈Σ,設(shè)則存在常數(shù)C0,使得μ(x,y,t,N(t))Φ(x,y,t)≤C0以及μ(x,y,t,N(t)

證明由假設(shè)H1-H3，若x≤l-ε0,結(jié)論顯然成立；考慮x＞l-ε0,且不妨設(shè)α＞1,有

其中μ1(P(s),N(s)),μ2(P(s),N(s))分別表示μ(P(s),N(s))對(duì)點(diǎn)P(s)第一、第二坐標(biāo)求導(dǎo)，

引理20＜T＜l-ε0，對(duì)任意給定的N?(t)∈Σ,下列的式(2a')和式(2b)-(2c)有唯一非負(fù)解且存在僅依賴(lài)于的常數(shù)M1，使得

證明對(duì)任意點(diǎn)B(x,y,t)∈QˉT，當(dāng)t≥x時(shí)，由假設(shè)H2，存在過(guò)點(diǎn)B沿t軸反方向引的特征線與t軸交于點(diǎn)A(0, 0,t-x)，在式(2a’)兩邊同乘以并沿此特征線從A到B積分，得到非負(fù)函數(shù)同樣，當(dāng)t≤x時(shí)，有首先，由引理1和假設(shè)H2，易知式(4)確定的是式(2a’),(2b),(2c)在上的唯一非負(fù)解。且僅依賴(lài)于再將式(3)和式(4)代入式(2b),并記得積分方程

注意到式(5)是一個(gè)第二型Volterra積分方程，t-τ＜l-ε0。由假設(shè)存在常數(shù)C1使得再由引理1可以看出讓C1適當(dāng)?shù)拇?，還有由文獻(xiàn)[9]中定理4.1.1，方程(5)有唯一非負(fù)連續(xù)解u(t),且由式(6)和H1-H3不難推得僅依賴(lài)于從而，式(3)能確定唯一的作為(2a’)和(2b)-(2c)的非負(fù)解，且僅依賴(lài)于和a2,C0。由邊界相容性條件，不難推出：當(dāng)t=x時(shí)，式(3)和式(4)確定的都相等。引理2得證。

現(xiàn)在開(kāi)始證明定理的存在性，取Banach空間B=C([0,T])，Σ是B的緊凸集。定義Σ→Σ的映射E: N?(t)=N(t)，由Σ是緊的，再注意到系統(tǒng)(2a’)和式(2b)-(2c)對(duì)給定N(t)解是唯一的，于是映射E是連續(xù)的，同時(shí)也是緊的。由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，E必有不動(dòng)點(diǎn)。因此對(duì)應(yīng)地有為系統(tǒng)(2)的解。當(dāng)T＜l-ε0時(shí)，存在性證畢。

在引理2 中記T=T0，則系統(tǒng)(2)有非負(fù)解且存在一個(gè)僅依賴(lài)于的常數(shù)M2，使得類(lèi)似的，系統(tǒng)(2)有非負(fù)解且存在一個(gè)僅依賴(lài)于的常數(shù)M3，使得設(shè)有自然數(shù)n滿足0＜T≤nT0，則系統(tǒng)(2)有非負(fù)解且存在一個(gè)僅依賴(lài)于的常數(shù)Mn，使得并注意到t=T0,t=2T0,…,t=(n-1)T0時(shí)，p(x,y,t)也都滿足式(2a)，從而p(x,y,t)∈O1(QˉT)。至此，定理的存在性得證。

2.2 唯一性證明

設(shè)式(2)有另一個(gè)解p?(x,y,t),p, p?≤C1,且N,N?分別與p,p?對(duì)應(yīng)，記w=p-p?，有

由式(4)，當(dāng)t≤x時(shí)，均有w(x,y,t)≡0。

引理3設(shè)w(x,y,t)是式(7)的解，p, p?≤M1,任取點(diǎn)B(ρ,θ,τ)∈QˉT∩{t≥x}。過(guò)此點(diǎn)沿t軸相反方向引特征線與t軸交于點(diǎn)A(0, 0,τ-ρ)。則存在不依賴(lài)于ρ,θ和τ的正數(shù)-M，使得 w2(ρ,θ,τ)≤-M w2(0,0,τ-ρ)。

證明用w(x,y,t)乘式(7a)兩邊，并沿特征線Γ積分，不妨設(shè)T＜l-ε0,由假設(shè)H1,0≤μ(x,y,t,N(t))≤a2,且存在常數(shù)C?使得

任取點(diǎn)由引理3，有

注意到0＜β(τ-ρ)≤1,0≤g(x,y,τ-ρ)≤1,x≥τ-ρ時(shí)，w(x,y,t)=0并利用H?lder不等式，有

取將式(12)兩邊關(guān)于ρ,θ,τ在QT1上積分，則得到

由于在Ω上均有p0(x,y)＞0,由式(4)可見(jiàn)，對(duì)任意0≤t≤T,當(dāng)t≤x＜l,y＜l時(shí)，均有p(x,y,t)＞0。由式(6)可見(jiàn)，對(duì)任意t∈[0,T],h(t)＞0,從而式(5)中u(t)=p(0,0,t)＞0。再由式(3)，對(duì)任意x∈[0,l),p(x,y,t)＞0。由p(x,y,t)在上的連續(xù)性，存在常數(shù)δ0＞0,在[0,l-ε0]×[0,T]上，p(x,y,t)≥δ0,使得對(duì)任意定理證畢。

[1]陸征一，周義倉(cāng).數(shù)學(xué)生物學(xué)進(jìn)展[M].北京：科學(xué)出版社,2006:251-264.

[2]吳漢兵，徐龍封.一個(gè)環(huán)境依賴(lài)型二維純林發(fā)展系統(tǒng)的古典解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2010,23(4):751-757.

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[4]李留瑜，付秀山，鄭治剛.論森林的數(shù)量分布結(jié)構(gòu)[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，1996(4):82-89.

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責(zé)任編輯：丁吉海

ClassicalSolution to a Two-dimensionalDynam ics System of Pure ForestDepending on TotalQuantity

GE Xiaolia,SHAO Cuib,XUE Longfenga,b
(a.SchoolofMathematics&Physics;b.Industrial&CommercialCollege,AnhuiUniversity of Technology,Ma'anshan 243032,China)

For the problems of bamboo developmentsystems,ofwhich boundary cannotsatisfy 3 kinds common conditions,theboundary conditions isavoided by introducing classof specialcurve family into thepresent region of“stand age-diameter”.With the techniqueof selectingmeasure dimension of lumberdiameterproperly,awell-posed two-dimensionalbamboo forestdynam icssystem model isproposed,and theexistenceand uniquenessof theglobal classicalsolution are proved by colligating the technique of pulling characteristic curve,a priorestimate,structuring integralequation of initialstate,iteration.

two-dimensionalbamboo developmentsystems;characteristic line;classicalsolution;integralequation

O175.12；O175.1

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2014.02.021

1671-7872(2014)02-0203-06

2013-10-21

國(guó)家天元基金項(xiàng)目（2012SQRL039ZD）；安徽省教育廳質(zhì)量工程項(xiàng)目(2012gxk189)

葛曉莉（1987-），女，安徽亳州市人，碩士生，研究方向?yàn)槠⒎址匠獭?/p>

徐龍封（1952-），男，安徽安慶市人，教授，研究方向?yàn)槠⒎址匠獭?/p>