沈 霞

(九江學(xué)院理學(xué)院 江西九江 332005)

1 引言

文獻(xiàn)［1］中給出了一元凸函數(shù)的定義，并給出了它的相關(guān)結(jié)論．對(duì)于二階可微函數(shù)f(x)給出了以下判定定理．

定理A［2］設(shè)f(x)為區(qū)間I上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則f(x)在I上為凸函數(shù)的充要條件是

文獻(xiàn) ［1］中給出了二元凸函數(shù)的定義，對(duì)于二次可微函數(shù)Φ(x，y)給出了以下判定定理．

定理B［1］若 Φ(x，y)連續(xù)，且為凸的，則 Φ

定理C［1］若Φ(x，y)在一開域D內(nèi)為二次可微的，則其在D內(nèi)是一個(gè)凸函數(shù)的充要條件是二次型Q=Φxxu2+2Φxyuv+2Φyyv2對(duì)于所有的u，v及D中所有的 (x，y)都為正．

若Q嚴(yán)格為正，則 (1.2)變?yōu)棣?(∑qx，∑qy)＜∑qΦ(x，y)，除非所有的x和所有的y都相等．

本文在文獻(xiàn) ［2］的基礎(chǔ)上定義了三元凸函數(shù)，并給出了相應(yīng)于定理B和定理C的結(jié)論．

2 主要結(jié)果

定義1設(shè)V為空間(x，y，z)中的一個(gè)凸域，即包含了連接其中任何兩點(diǎn)的整個(gè)直線段的一域，若函數(shù)Φ(x，y，z)在V內(nèi)處處有定義，且對(duì)于V中所有的 (x1，y1，z1)和(x2，y2，z2)有

則稱Φ(x，y，z)在V中為凸的．

定義 2 若對(duì)每一組 x，y，z，u，v，w，函數(shù) ψ (t)= Φx+ut，y+vt，z+wt在所給的 t區(qū)間內(nèi)為 t的凸函數(shù)，則稱Φ (x，y，z)在V內(nèi)為凸的．

定義2與定義1是等價(jià)的．因?yàn)槿魓+ut1=x1，y+vt1=y1，z+wt1=z1，x+ut2=x2，y+vt2=y2，z+wt2=z2，則 (2.1)式變?yōu)?/p>

若Φ為凸的，則稱－Φ為凹的．

定理1若 Φ (x，y，z)連續(xù)，且為凸的，則Φ (∑qx，∑qy，∑qz)≤ ∑qΦ(x，y，z)(2.2)

證明 若Φ(x，y，z)為凸的，則

所以，

依此類推，對(duì)于n=2m，有

要使 (2．3)式普遍成立，只需證明若它對(duì)n成立，則它對(duì)n－1也成立．假設(shè) (2．3)式對(duì)n個(gè)數(shù)已得證，并設(shè)給定了三組n－1個(gè)數(shù)x1，…，xn－1;y1，…，yn－1;z1，…，zn－1取 xn為 x1，…，xn－1的算術(shù)平均 u1，yn為 y1，…，yn－1的算術(shù)平均 u2，zn，zn為z1，…，zn－1的算術(shù)平均 u3，由 (2.3)式得

其次，若假定在 (2.3)式中集 (x)，(y)，(z)分別組成一些適當(dāng)?shù)慕M，各組分別具有相同的x，y，z，則對(duì)于任何可通約的q即得 (2.2)式．

最后，若 Φ (x，y，z)連續(xù)，則可以在集(q)上不加任何限制而證明 (2.2)式，只要將集 (q)代以可通約的近似值然后取極限即可．

定理2若Φ (x，y，z)在一開域V內(nèi)二次可微，則其在V內(nèi)是一個(gè)凸函數(shù)的充要條件是二次型Q=Φxxu2+Φyyv2+Φz(mì)zw2+2Φxyuv+2Φxzuw+2Φyzvw對(duì)于所有的u，v，w及V中所有的x，y，z)都有Q≥0．

若Q嚴(yán)格為正，則(2.2)式變?yōu)棣?∑qx，∑qy，∑qz)＜ ∑qΦx，y，z，除非所有的x，y，z均相等．

證明 (必要性)若 x，y，z∈ V則由定義 2，ψ(t)在t=0的某一領(lǐng)域內(nèi)為凸的，因而由定理A知ψ″(0)≥0，即Q≥0．

(充分性)若∑q=1，X=∑qx，Y=∑qy，Z=∑qz，則:

其中，指標(biāo)0表示點(diǎn) (X，Y，Z)，指標(biāo)1表示連接此點(diǎn)與(xv，yv，zv)的直線上的某一點(diǎn)．由此即得:

若Q嚴(yán)格為正，且等號(hào)成立，則對(duì)所有的v，xv=X，yv=Y，zz=Z ．

［1］Hardy，Littlewood，Polya．不等式 (第2版)［M］．北京:人民郵電出版社，2008．15．

［2］華東師大數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析 (第4版)［M］．北京:高等教育出版社，2010．22．