王莉，羅海

1.四川農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與工程技術(shù)學(xué)院，四川雅安 625014

2.成都工業(yè)學(xué)院通信工程系，成都 611730

一種相干分布式信號(hào)二維DOA快速估計(jì)方法

王莉1，羅海2

1.四川農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與工程技術(shù)學(xué)院，四川雅安 625014

2.成都工業(yè)學(xué)院通信工程系，成都 611730

基于L型線陣，提出了一種估計(jì)相干分布源二維波達(dá)方向（DOA）的快速算法。通過(guò)對(duì)兩組平移子陣的廣義方向矢量做泰勒近似獲得關(guān)于分布源中心DOA的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)不變矩陣，利用傳播算子法求解旋轉(zhuǎn)不變矩陣從而估計(jì)出分布源的中心DOA。該算法避免了常規(guī)子空間算法中的譜峰搜索和對(duì)高維樣本協(xié)方差矩陣做特征分解，顯著降低了計(jì)算量。算法在小角度擴(kuò)展情形下有優(yōu)異的估計(jì)性能，且低信噪比時(shí)的估計(jì)性能優(yōu)于一維交替搜索算法。此外，算法無(wú)需知道分布源的角分布形式，是一種盲估計(jì)。仿真結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性。

相干分布源；二維波達(dá)方向估計(jì)；L型線陣；旋轉(zhuǎn)不變矩陣；傳播算子法

1 引言

波達(dá)方向（DOA）估計(jì)是陣列信號(hào)處理中一個(gè)重要的研究方向。傳統(tǒng)的DOA估計(jì)方法全都假定目標(biāo)信號(hào)為點(diǎn)源，即信號(hào)的能量集中于某一離散的角度[1-2]。但在陣列成像、聲源定位、對(duì)流層及電離層無(wú)線電傳播和移動(dòng)通信等領(lǐng)域中目標(biāo)信號(hào)常具有空間分布特性[2]，即信號(hào)的能量在某一空間區(qū)域內(nèi)連續(xù)擴(kuò)散。此時(shí)基于點(diǎn)源假設(shè)的估計(jì)方法由于忽略了信號(hào)的分布特性其性能將嚴(yán)重惡化，甚至得到錯(cuò)誤的估計(jì)結(jié)果。

對(duì)于分布信號(hào)源，一般是先給出參數(shù)化模型，然后利用最大似然[1]、DSPE[2]和DISPARE[3]等方法估計(jì)其DOA參數(shù)，這些方法均假設(shè)信號(hào)的角分布函數(shù)形式已知，且均需進(jìn)行多維搜索，計(jì)算負(fù)擔(dān)較重。對(duì)于二維分布源，由于有四個(gè)待估參數(shù)：中心方位角、方位角擴(kuò)展、中心俯仰角和俯仰角擴(kuò)展，采用類似的搜索類算法將會(huì)導(dǎo)致異常巨大的計(jì)算量。因此，二維分布源DOA估計(jì)的首要問(wèn)題是如何有效降低算法的計(jì)算復(fù)雜度。迄今為止，針對(duì)二維相干分布源，人們已給出了一些低復(fù)雜度參數(shù)估計(jì)算法。文獻(xiàn)[4-8]給出了幾種相干分布源的二維DOA估計(jì)方法。這些方法的統(tǒng)一思路是把多維參數(shù)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為低維參數(shù)估計(jì)問(wèn)題處理，一定程度上降低了計(jì)算量，但仍需一維或二維搜索，計(jì)算復(fù)雜度很高。文獻(xiàn)[9-12]雖提出了幾種無(wú)需搜索的算法，但它們都需要對(duì)高維樣本協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，計(jì)算復(fù)雜度依然較高。

為了進(jìn)一步降低算法的復(fù)雜度而獲得快速的DOA估計(jì)，本文研究傳播算子法[13]在分布源參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用。利用L型線陣，本文提出了一種相干分布源二維DOA快速估計(jì)算法。該算法通過(guò)分別對(duì)x軸和y軸上平移子陣的廣義方向矢量做泰勒近似獲得了兩個(gè)旋轉(zhuǎn)不變矩陣，并構(gòu)建傳播算子估計(jì)這兩個(gè)矩陣。最終，利用兩個(gè)旋轉(zhuǎn)不變矩陣的主對(duì)角元素估計(jì)出二維中心DOA參數(shù)。本文算法無(wú)需譜搜索，也不需要對(duì)高維樣本協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，計(jì)算復(fù)雜度很低。此外，算法無(wú)需預(yù)先知道分布源的角分布形式，對(duì)模型誤差穩(wěn)健。

2 數(shù)據(jù)模型

考慮圖1所示的陣列結(jié)構(gòu)，此陣列由x軸上的均勻線陣X和y軸上的均勻線陣Y組成。每個(gè)陣列均含M個(gè)陣元，陣元間距均為d。假設(shè)遠(yuǎn)場(chǎng)空間中有D個(gè)窄帶相干分布源入射到陣列，其中θi和φi(i=1，2，…，D)分別表示第i個(gè)分布源的中心方位角和中心俯仰角(θi∈[-π/2，π/2]，φi∈[0，π/2])，σθi和σφi分別為θi和φi的角度擴(kuò)展參數(shù)。假設(shè)各陣元上的噪聲為加性高斯白噪聲，并且與信號(hào)不相關(guān)。

圖1 L型線陣

在t時(shí)刻，陣列X和Y的觀測(cè)數(shù)據(jù)可表示為：

式中，X(t)和Y(t)是數(shù)據(jù)矢量，nX(t)和nY(t)是噪聲矢量。aX(θ，φ)=[1，ej?sinφcosθ，…，ej?(M-1)sinφcosθ]T和aY(θ，φ)= [1，ej?sinφsinθ，…，ej?(M-1)sinφsinθ]T為點(diǎn)源的方向矢量，且?=2πd/λ（λ為信號(hào)波長(zhǎng)）。si(θ，φ，t)為第i個(gè)分布源的角信號(hào)密度函數(shù)。

對(duì)于相干分布源，有：

其中，si(t)是一個(gè)隨機(jī)信號(hào)，它刻畫了角信號(hào)密度函數(shù)的時(shí)間特征。gi(θ，φ;μi)為歸一化確定性角信號(hào)分布函數(shù)，μi=(θi，σθi，φi，σφi)為對(duì)應(yīng)的角度參數(shù)矢量。

定義子陣X和Y的廣義方向矢量分別為：

則式（1）可重寫為：

其中，BX(μ)=[bX(μ1)，bX(μ2)，…，bX(μD)]和BY(μ)= [bY(μ1)，bY(μ2)，…，bY(μD)]都是M×D維的廣義方向矩陣。

如圖1所示，將X分割成子陣X1和X2，則X1和X2的廣義方向矢量可定義為：

同樣，將Y分割成子陣Y1和Y2，可定義Y1和Y2的廣義方向矢量：

3 算法描述

3.1 平移子陣間的近似旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系

首先將積分形式的廣義方向矢量化為分布源二維中心波達(dá)方向的解耦形式。

以x軸上的子陣X1和X2為例，定義θ=θi+?和φ=φi+φ?。在小角度擴(kuò)展條件下，將aX(θ，φ)的第k個(gè)元素在中心波達(dá)方向(θi，φi)處做如下一階泰勒近似（忽略了高次項(xiàng)）：

將式（10）代入式（6），可得：

3.2 相干分布源二維波達(dá)方向快速估計(jì)算法

本節(jié)闡述了對(duì)陣列X上觀測(cè)數(shù)據(jù)處理的方法，陣列Y上的觀測(cè)數(shù)據(jù)處理與此類同。

若陣列X的廣義方向矩陣BX是列滿秩的，則BX中有D行是線性獨(dú)立的，其他行可由這D行線性表示。假設(shè)BX的前D行線性獨(dú)立，則BX可分塊為：

式中，B1和B2分別為D×D維和(M-D)×D維矩陣。

定義傳播算子P為從M-D維復(fù)空間CM-D到D維復(fù)空間CD的唯一線性算子，則P滿足：

其中，PH表示對(duì)P求共軛轉(zhuǎn)置。將PH按行劃分成兩個(gè)矩陣，其中第1到第M-1-D行記為P1，第2到第M-D行記為P2，則由式（20），可得：

同理，對(duì)陣列Y上的觀測(cè)數(shù)據(jù)做類似處理，可以求得主對(duì)角線元素為ξyi的旋轉(zhuǎn)矩陣ΦY。當(dāng)只有一個(gè)分布源時(shí)，可直接由式（30）和（31）計(jì)算分布源的中心方位角和中心俯仰角。對(duì)于多個(gè)分布源的情形，可先用文獻(xiàn)[13]中的方法完成參數(shù)配對(duì)，再估計(jì)中心DOA參數(shù)。

式中，angle(·)表示取相位運(yùn)算。

從式（23）～（25）可以看出，本文算法在應(yīng)用傳播算子法估計(jì)分布源的DOA時(shí)用到了M-D（陣元數(shù)與信號(hào)數(shù)之差）個(gè)陣元的數(shù)據(jù)，而文獻(xiàn)[14]中的算法只用到了D（信號(hào)數(shù)）個(gè)陣元的數(shù)據(jù)。顯然，相比于文獻(xiàn)[14]，本文算法大大減少了陣列孔徑損失，因而提高了參數(shù)估計(jì)的精度。

圖2 方位角估計(jì)的均方根誤差隨信噪比變化情況

圖3 俯仰角估計(jì)的均方根誤差隨信噪比變化情況

3.3 計(jì)算復(fù)雜度比較

比較本文算法、文獻(xiàn)[8]中的一維交替搜索（SOS）算法，以及文獻(xiàn)[11]中算法的計(jì)算復(fù)雜度。本文算法的計(jì)算花費(fèi)（以陣列X上的觀測(cè)數(shù)據(jù)處理為例，陣列Y類同）主要集中在估計(jì)樣本協(xié)方差矩陣RXX和對(duì)矩陣P2進(jìn)行特征分解上。其中，估計(jì)RXX所需的計(jì)算量為O(M2N)，對(duì)P2做特征分解所需計(jì)算量為O(D3)。因此，總的計(jì)算花費(fèi)約為O(2M2N+2D3)。SOS算法屬于一維搜索算法，它需要構(gòu)造一個(gè)譜搜索函數(shù)并完成兩次搜索。在構(gòu)造譜函數(shù)時(shí)，需要計(jì)算一個(gè)2M階的樣本協(xié)方差矩陣并對(duì)其做特征分解，所需的計(jì)算量為O(4M2N+8M3)，而完成一次精細(xì)的一維搜索所需的計(jì)算量至少在O(M6)以上。因此，SOS算法總的計(jì)算花費(fèi)約為O(4M2N+8M3)+O(2M6)。文獻(xiàn)[11]中算法無(wú)需搜索，它在估計(jì)俯仰角時(shí)需要計(jì)算一個(gè)2M階的樣本協(xié)方差矩陣并對(duì)其做特征分解（計(jì)算量為O(4M2N+8M3)），估計(jì)方位角時(shí)需要計(jì)算一個(gè)M階的樣本協(xié)方差矩并對(duì)其做特征分解（計(jì)算量為O(M2N+M3)），總的計(jì)算量約為O(5M2N+9M3)。顯然，本文算法的計(jì)算復(fù)雜度比其他兩種算法都低。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與討論

本章通過(guò)幾個(gè)Monte-Carlo仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提算法的性能。所有實(shí)驗(yàn)均基于圖1所示的陣列結(jié)構(gòu)。其中，陣列X和Y的陣元數(shù)為M=10，陣元間距均為d=0.5λ (λ=c/(0.8×106))。

實(shí)驗(yàn)1假設(shè)一窄帶相干分布源入射到陣列，其角分布為高斯形式，且μi=(-50°，2°，30°，2°)?？炫臄?shù)為400，實(shí)驗(yàn)結(jié)果由500次Monte-Carlo仿真得到。圖2表示方位角估計(jì)的均方根誤差隨信噪比變化的曲線，而圖3表示俯仰角估計(jì)的均方根誤差隨信噪比變化的曲線。由圖2和圖3可知，本文算法在低信噪比時(shí)的估計(jì)精度比SOS及文獻(xiàn)[11]中的算法更高。而且隨著信噪比的增大，方位角和俯仰角估計(jì)的均方根誤差越來(lái)越接近于克拉美-羅界（CRB）。

實(shí)驗(yàn)2分布源的角分布形式及參數(shù)矢量與實(shí)驗(yàn)1相同。圖4表示在信噪比為10 dB的實(shí)驗(yàn)條件下，以不同的快拍數(shù)分別做500次Monte-Carlo仿真得到的方位角和俯仰角估計(jì)的均方根誤差隨快拍數(shù)變化的情況。從圖4中可以看出，隨著快拍數(shù)的增加，方位角和俯仰角估計(jì)的均方根誤差均越來(lái)越小，即算法的性能得到改善。而且，即使在快拍數(shù)很少時(shí)（例如100），算法的估計(jì)精度仍能維持在一個(gè)較高的水平（均方根誤差大約為角度擴(kuò)展的十分之一），能滿足工程應(yīng)用的基本要求。

圖4 方位角和俯仰角估計(jì)的均方根誤差隨快拍數(shù)變化情況

圖5 方位角估計(jì)的均方根誤差隨方位角擴(kuò)展變化情況

圖6 俯仰角估計(jì)的均方根誤差隨俯仰角擴(kuò)展變化情況

實(shí)驗(yàn)3分布源的角分布為高斯分布，二維中心DOA參數(shù)為(-50°，30°)。實(shí)驗(yàn)的信噪比為10 dB，快拍數(shù)為200，實(shí)驗(yàn)結(jié)果由500次Monte-Carlo仿真得到。圖5表示當(dāng)σφi=2°時(shí)，方位角估計(jì)的均方根誤差隨方位角擴(kuò)展變化的曲線；圖6表示當(dāng)σθi=2°時(shí)，俯仰角估計(jì)的均方根誤差隨俯仰角擴(kuò)展變化的曲線。由圖5和圖6可知，在小角度擴(kuò)展情形下，例如在5°以內(nèi)，方位角和俯仰角估計(jì)的均方根誤差變化均相當(dāng)小，而當(dāng)它們超過(guò)5°時(shí)，兩者的均方根誤差都急劇上升。這說(shuō)明本文算法主要適合于小角度擴(kuò)展的分布源。

實(shí)驗(yàn)4考慮兩個(gè)窄帶分布源同時(shí)入射到陣列的情形。其中一個(gè)是角度服從均勻分布的相干分布（UCD）源，角度參數(shù)為μ1=(-25°，2°，60°，2°)。另一個(gè)是角度服從高斯分布的相干分布（GCD）源，角度參數(shù)為μ2= (45°，2°，20°，2°)。在快拍數(shù)為500的實(shí)驗(yàn)條件下，以不同的信噪比分別進(jìn)行500次Monte-Carlo仿真，得到圖7所示分布源二維中心DOA估計(jì)的均方根誤差隨信噪比變化的兩條曲線。由兩條曲線可知，本文算法能夠有效估計(jì)多個(gè)角分布形式不同的相干分布源。

圖7 二維中心DOA估計(jì)的均方根誤差隨信噪比變化情況

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了相干分布源的二維波達(dá)方向估計(jì)問(wèn)題。基于一種特殊的L型陣列，提出了一種相干分布源二維DOA快速估計(jì)算法。由計(jì)算復(fù)雜度分析可知，該算法避免了譜峰搜索和對(duì)高維樣本協(xié)方差矩陣的特征分解運(yùn)算，和傳統(tǒng)方法相比，顯著降低了計(jì)算量。仿真結(jié)果表明：在低信噪比時(shí)，本文算法的估計(jì)性能優(yōu)于SOS算法。而且，算法無(wú)需知道分布源角分布形式的先驗(yàn)信息，是一種對(duì)模型誤差穩(wěn)健的算法。

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WANG Li1,LUO Hai2

1.School of Information and Engineering Technology, Sichuan Agricultural University, Ya’an, Sichuan 625014, China
2.Department of Communication Engineering, Chengdu Technological University, Chengdu 611730, China

Based on L-shaped linear array,this paper presents a fast method for the two-dimensional（2D）Direction-Of-A rrival（DOA）estimation of Coherently Distributed（CD）source.The presented method obtains two rotational invariance matrixes about the central DOAs of CD sources by one order Taylor approximation to the generalized steering vectors of two pairs of shifted subarrays.The central DOAs of 2D CD sources are estimated using a new propagator method to solve the rotational invariance matrixes.The method avoids spectrum-peak searching and the eigen decom position of the high-dimensional sample covariance matrix in classical subspace methods.As a result,the com putational cost is significantly reduced.Under small angular spread,the proposed method provides a good estimation performance and outperform s Sequential One-dimensional Searching（SOS）algorithm at low SNR.As the new method is a blind estimator,the prior information of the specific angular distribution shapes of distributed sources is not necessary.Simulation results demonstrate the effectiveness of the method.

coherently distributed sources; 2-dimensional Direction-Of-Arrival（DOA）estimation; L-shaped linear array;rotational invariance matrix; propagator method

WANG Li, LUO Hai. Fast method for 2D DOA estimation of coherently distributed signals. Computer Engineering and Applications, 2014, 50（17）：200-204.

A

TN911.7

10.3778/j.issn.1002-8331.1309-0315

王莉（1976—），女，講師，主要研究方向?yàn)樾盘?hào)處理技術(shù)、計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)等；羅海（1977—），男，講師，主要研究方向?yàn)橥ㄐ判盘?hào)與信息處理等。E-mail：mail_wangli@163.com

2013-09-22

2014-02-10

1002-8331（2014）17-0200-05

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2014-03-03,http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1309-0315.htm l