王莉，羅海

1.四川農業(yè)大學信息與工程技術學院，四川雅安 625014

2.成都工業(yè)學院通信工程系，成都 611730

一種相干分布式信號二維DOA快速估計方法

王莉1，羅海2

1.四川農業(yè)大學信息與工程技術學院，四川雅安 625014

2.成都工業(yè)學院通信工程系，成都 611730

基于L型線陣，提出了一種估計相干分布源二維波達方向（DOA）的快速算法。通過對兩組平移子陣的廣義方向矢量做泰勒近似獲得關于分布源中心DOA的兩個旋轉不變矩陣，利用傳播算子法求解旋轉不變矩陣從而估計出分布源的中心DOA。該算法避免了常規(guī)子空間算法中的譜峰搜索和對高維樣本協(xié)方差矩陣做特征分解，顯著降低了計算量。算法在小角度擴展情形下有優(yōu)異的估計性能，且低信噪比時的估計性能優(yōu)于一維交替搜索算法。此外，算法無需知道分布源的角分布形式，是一種盲估計。仿真結果驗證了算法的有效性。

相干分布源；二維波達方向估計；L型線陣；旋轉不變矩陣；傳播算子法

1 引言

波達方向（DOA）估計是陣列信號處理中一個重要的研究方向。傳統(tǒng)的DOA估計方法全都假定目標信號為點源，即信號的能量集中于某一離散的角度[1-2]。但在陣列成像、聲源定位、對流層及電離層無線電傳播和移動通信等領域中目標信號常具有空間分布特性[2]，即信號的能量在某一空間區(qū)域內連續(xù)擴散。此時基于點源假設的估計方法由于忽略了信號的分布特性其性能將嚴重惡化，甚至得到錯誤的估計結果。

對于分布信號源，一般是先給出參數(shù)化模型，然后利用最大似然[1]、DSPE[2]和DISPARE[3]等方法估計其DOA參數(shù)，這些方法均假設信號的角分布函數(shù)形式已知，且均需進行多維搜索，計算負擔較重。對于二維分布源，由于有四個待估參數(shù)：中心方位角、方位角擴展、中心俯仰角和俯仰角擴展，采用類似的搜索類算法將會導致異常巨大的計算量。因此，二維分布源DOA估計的首要問題是如何有效降低算法的計算復雜度。迄今為止，針對二維相干分布源，人們已給出了一些低復雜度參數(shù)估計算法。文獻[4-8]給出了幾種相干分布源的二維DOA估計方法。這些方法的統(tǒng)一思路是把多維參數(shù)估計問題轉化為低維參數(shù)估計問題處理，一定程度上降低了計算量，但仍需一維或二維搜索，計算復雜度很高。文獻[9-12]雖提出了幾種無需搜索的算法，但它們都需要對高維樣本協(xié)方差矩陣進行特征分解，計算復雜度依然較高。

為了進一步降低算法的復雜度而獲得快速的DOA估計，本文研究傳播算子法[13]在分布源參數(shù)估計中的應用。利用L型線陣，本文提出了一種相干分布源二維DOA快速估計算法。該算法通過分別對x軸和y軸上平移子陣的廣義方向矢量做泰勒近似獲得了兩個旋轉不變矩陣，并構建傳播算子估計這兩個矩陣。最終，利用兩個旋轉不變矩陣的主對角元素估計出二維中心DOA參數(shù)。本文算法無需譜搜索，也不需要對高維樣本協(xié)方差矩陣進行特征分解，計算復雜度很低。此外，算法無需預先知道分布源的角分布形式，對模型誤差穩(wěn)健。

2 數(shù)據模型

考慮圖1所示的陣列結構，此陣列由x軸上的均勻線陣X和y軸上的均勻線陣Y組成。每個陣列均含M個陣元，陣元間距均為d。假設遠場空間中有D個窄帶相干分布源入射到陣列，其中θi和φi(i=1，2，…，D)分別表示第i個分布源的中心方位角和中心俯仰角(θi∈[-π/2，π/2]，φi∈[0，π/2])，σθi和σφi分別為θi和φi的角度擴展參數(shù)。假設各陣元上的噪聲為加性高斯白噪聲，并且與信號不相關。

圖1 L型線陣

在t時刻，陣列X和Y的觀測數(shù)據可表示為：

式中，X(t)和Y(t)是數(shù)據矢量，nX(t)和nY(t)是噪聲矢量。aX(θ，φ)=[1，ej?sinφcosθ，…，ej?(M-1)sinφcosθ]T和aY(θ，φ)= [1，ej?sinφsinθ，…，ej?(M-1)sinφsinθ]T為點源的方向矢量，且?=2πd/λ（λ為信號波長）。si(θ，φ，t)為第i個分布源的角信號密度函數(shù)。

對于相干分布源，有：

其中，si(t)是一個隨機信號，它刻畫了角信號密度函數(shù)的時間特征。gi(θ，φ;μi)為歸一化確定性角信號分布函數(shù)，μi=(θi，σθi，φi，σφi)為對應的角度參數(shù)矢量。

定義子陣X和Y的廣義方向矢量分別為：

則式（1）可重寫為：

其中，BX(μ)=[bX(μ1)，bX(μ2)，…，bX(μD)]和BY(μ)= [bY(μ1)，bY(μ2)，…，bY(μD)]都是M×D維的廣義方向矩陣。

如圖1所示，將X分割成子陣X1和X2，則X1和X2的廣義方向矢量可定義為：

同樣，將Y分割成子陣Y1和Y2，可定義Y1和Y2的廣義方向矢量：

3 算法描述

3.1 平移子陣間的近似旋轉不變關系

首先將積分形式的廣義方向矢量化為分布源二維中心波達方向的解耦形式。

以x軸上的子陣X1和X2為例，定義θ=θi+?和φ=φi+φ?。在小角度擴展條件下，將aX(θ，φ)的第k個元素在中心波達方向(θi，φi)處做如下一階泰勒近似（忽略了高次項）：

將式（10）代入式（6），可得：

3.2 相干分布源二維波達方向快速估計算法

本節(jié)闡述了對陣列X上觀測數(shù)據處理的方法，陣列Y上的觀測數(shù)據處理與此類同。

若陣列X的廣義方向矩陣BX是列滿秩的，則BX中有D行是線性獨立的，其他行可由這D行線性表示。假設BX的前D行線性獨立，則BX可分塊為：

式中，B1和B2分別為D×D維和(M-D)×D維矩陣。

定義傳播算子P為從M-D維復空間CM-D到D維復空間CD的唯一線性算子，則P滿足：

其中，PH表示對P求共軛轉置。將PH按行劃分成兩個矩陣，其中第1到第M-1-D行記為P1，第2到第M-D行記為P2，則由式（20），可得：

同理，對陣列Y上的觀測數(shù)據做類似處理，可以求得主對角線元素為ξyi的旋轉矩陣ΦY。當只有一個分布源時，可直接由式（30）和（31）計算分布源的中心方位角和中心俯仰角。對于多個分布源的情形，可先用文獻[13]中的方法完成參數(shù)配對，再估計中心DOA參數(shù)。

式中，angle(·)表示取相位運算。

從式（23）～（25）可以看出，本文算法在應用傳播算子法估計分布源的DOA時用到了M-D（陣元數(shù)與信號數(shù)之差）個陣元的數(shù)據，而文獻[14]中的算法只用到了D（信號數(shù)）個陣元的數(shù)據。顯然，相比于文獻[14]，本文算法大大減少了陣列孔徑損失，因而提高了參數(shù)估計的精度。

圖2 方位角估計的均方根誤差隨信噪比變化情況

圖3 俯仰角估計的均方根誤差隨信噪比變化情況

3.3 計算復雜度比較

比較本文算法、文獻[8]中的一維交替搜索（SOS）算法，以及文獻[11]中算法的計算復雜度。本文算法的計算花費（以陣列X上的觀測數(shù)據處理為例，陣列Y類同）主要集中在估計樣本協(xié)方差矩陣RXX和對矩陣P2進行特征分解上。其中，估計RXX所需的計算量為O(M2N)，對P2做特征分解所需計算量為O(D3)。因此，總的計算花費約為O(2M2N+2D3)。SOS算法屬于一維搜索算法，它需要構造一個譜搜索函數(shù)并完成兩次搜索。在構造譜函數(shù)時，需要計算一個2M階的樣本協(xié)方差矩陣并對其做特征分解，所需的計算量為O(4M2N+8M3)，而完成一次精細的一維搜索所需的計算量至少在O(M6)以上。因此，SOS算法總的計算花費約為O(4M2N+8M3)+O(2M6)。文獻[11]中算法無需搜索，它在估計俯仰角時需要計算一個2M階的樣本協(xié)方差矩陣并對其做特征分解（計算量為O(4M2N+8M3)），估計方位角時需要計算一個M階的樣本協(xié)方差矩并對其做特征分解（計算量為O(M2N+M3)），總的計算量約為O(5M2N+9M3)。顯然，本文算法的計算復雜度比其他兩種算法都低。

4 仿真實驗與討論

本章通過幾個Monte-Carlo仿真實驗驗證所提算法的性能。所有實驗均基于圖1所示的陣列結構。其中，陣列X和Y的陣元數(shù)為M=10，陣元間距均為d=0.5λ (λ=c/(0.8×106))。

實驗1假設一窄帶相干分布源入射到陣列，其角分布為高斯形式，且μi=(-50°，2°，30°，2°)?？炫臄?shù)為400，實驗結果由500次Monte-Carlo仿真得到。圖2表示方位角估計的均方根誤差隨信噪比變化的曲線，而圖3表示俯仰角估計的均方根誤差隨信噪比變化的曲線。由圖2和圖3可知，本文算法在低信噪比時的估計精度比SOS及文獻[11]中的算法更高。而且隨著信噪比的增大，方位角和俯仰角估計的均方根誤差越來越接近于克拉美-羅界（CRB）。

實驗2分布源的角分布形式及參數(shù)矢量與實驗1相同。圖4表示在信噪比為10 dB的實驗條件下，以不同的快拍數(shù)分別做500次Monte-Carlo仿真得到的方位角和俯仰角估計的均方根誤差隨快拍數(shù)變化的情況。從圖4中可以看出，隨著快拍數(shù)的增加，方位角和俯仰角估計的均方根誤差均越來越小，即算法的性能得到改善。而且，即使在快拍數(shù)很少時（例如100），算法的估計精度仍能維持在一個較高的水平（均方根誤差大約為角度擴展的十分之一），能滿足工程應用的基本要求。

圖4 方位角和俯仰角估計的均方根誤差隨快拍數(shù)變化情況

圖5 方位角估計的均方根誤差隨方位角擴展變化情況

圖6 俯仰角估計的均方根誤差隨俯仰角擴展變化情況

實驗3分布源的角分布為高斯分布，二維中心DOA參數(shù)為(-50°，30°)。實驗的信噪比為10 dB，快拍數(shù)為200，實驗結果由500次Monte-Carlo仿真得到。圖5表示當σφi=2°時，方位角估計的均方根誤差隨方位角擴展變化的曲線；圖6表示當σθi=2°時，俯仰角估計的均方根誤差隨俯仰角擴展變化的曲線。由圖5和圖6可知，在小角度擴展情形下，例如在5°以內，方位角和俯仰角估計的均方根誤差變化均相當小，而當它們超過5°時，兩者的均方根誤差都急劇上升。這說明本文算法主要適合于小角度擴展的分布源。

實驗4考慮兩個窄帶分布源同時入射到陣列的情形。其中一個是角度服從均勻分布的相干分布（UCD）源，角度參數(shù)為μ1=(-25°，2°，60°，2°)。另一個是角度服從高斯分布的相干分布（GCD）源，角度參數(shù)為μ2= (45°，2°，20°，2°)。在快拍數(shù)為500的實驗條件下，以不同的信噪比分別進行500次Monte-Carlo仿真，得到圖7所示分布源二維中心DOA估計的均方根誤差隨信噪比變化的兩條曲線。由兩條曲線可知，本文算法能夠有效估計多個角分布形式不同的相干分布源。

圖7 二維中心DOA估計的均方根誤差隨信噪比變化情況

5 結束語

本文研究了相干分布源的二維波達方向估計問題?；谝环N特殊的L型陣列，提出了一種相干分布源二維DOA快速估計算法。由計算復雜度分析可知，該算法避免了譜峰搜索和對高維樣本協(xié)方差矩陣的特征分解運算，和傳統(tǒng)方法相比，顯著降低了計算量。仿真結果表明：在低信噪比時，本文算法的估計性能優(yōu)于SOS算法。而且，算法無需知道分布源角分布形式的先驗信息，是一種對模型誤差穩(wěn)健的算法。

[1]Meng Y，Wong K M，Wu Q.Estimation of the direction of arrival of spread source in sensor array processing[C]//Proc ICSP，1993：430-434.

[2]Valaee S，Champagne B，Kabal P.Parametric localization of distributed sources[J].IEEE Trans on Signal Process，1995，43（9）：2144-2153.

[3]Meng Y，Stoica P，Wong K M.Estimation of the direction of arrival of spatially dispersed signals in array processing[J].IEE Proc Radar，Sonar and Navig，1996，143（1）：1-9.

[4]Lee S R，Song I，Chang T，et al.Distributed source location estimation using a circular array[C]//ISSPA，1996：341-344.

[5]Lee S R，Song I，Lee Y U，et al.Estimation of distributed elevation and azimuth angles using linear arrays[C]//MILCOM，1996：868-872.

[6]Wan Q，Peng Y N.Low-complexity estimator for fourdimensional parameters under a reparameterised distributed source model[J].IEE Proc Radar，Sonar Navigation，2001，148（6）：313-317.

[7]Wan Q，Yang W L.Low-complexity estimator for twodimensional DOA under a distributed source model[C]//CIE Radar，2001：814-818.

[8]Lee J，Song I，Kwon H，et al.Low-complexity estimation of 2D DOA for coherently distributed sources[J].Signal Processing，2003，83（8）：1789-1802.

[9]韓英華，汪晉寬，宋昕.基于L陣的分布式信源二維波達估計算法[J].東北大學學報，2008，29（5）：677-680.

[10]Zhang Gaoyi，Tang Bin.Decoupled estimation of 2D DOA for coherently distributed sources using 3D matrix pencil method[J].EURASIP Journal on Advances in Signal Processing，2008：1-7.

[11]Guo X S，Wan Q，Yang W L，et al.Low-com plexity 2D coherently distributed sources decoupled DOAs estimation method[J].Sci China Ser F：Inf Sci，2009，52（5）：835-842.

[12]鄭植，李廣軍，滕云龍.低復雜度相干分布源二維DOA解耦估計方法[J].電波科學學報，2010，25（3）：527-533.

[13]Marcos S，M arsal A，Benidir M.The propagator method for source bearing estimation[J].Signal Processing，1995，42（2）：121-138.

[14]Marsal A，Marcos S.A reduced com plexity ESPRIT method and its generalization to an antenna of partially unknown shape[C]//ICASSP，1994，4：29-32.

[15]吳仁彪.快速二維高分辨率測向方法研究[J].電子科學學刊，1993，15（5）：458-465.

WANG Li1,LUO Hai2

1.School of Information and Engineering Technology, Sichuan Agricultural University, Ya’an, Sichuan 625014, China
2.Department of Communication Engineering, Chengdu Technological University, Chengdu 611730, China

Based on L-shaped linear array,this paper presents a fast method for the two-dimensional（2D）Direction-Of-A rrival（DOA）estimation of Coherently Distributed（CD）source.The presented method obtains two rotational invariance matrixes about the central DOAs of CD sources by one order Taylor approximation to the generalized steering vectors of two pairs of shifted subarrays.The central DOAs of 2D CD sources are estimated using a new propagator method to solve the rotational invariance matrixes.The method avoids spectrum-peak searching and the eigen decom position of the high-dimensional sample covariance matrix in classical subspace methods.As a result,the com putational cost is significantly reduced.Under small angular spread,the proposed method provides a good estimation performance and outperform s Sequential One-dimensional Searching（SOS）algorithm at low SNR.As the new method is a blind estimator,the prior information of the specific angular distribution shapes of distributed sources is not necessary.Simulation results demonstrate the effectiveness of the method.

coherently distributed sources; 2-dimensional Direction-Of-Arrival（DOA）estimation; L-shaped linear array;rotational invariance matrix; propagator method

WANG Li, LUO Hai. Fast method for 2D DOA estimation of coherently distributed signals. Computer Engineering and Applications, 2014, 50（17）：200-204.

A

TN911.7

10.3778/j.issn.1002-8331.1309-0315

王莉（1976—），女，講師，主要研究方向為信號處理技術、計算機仿真技術等；羅海（1977—），男，講師，主要研究方向為通信信號與信息處理等。E-mail：mail_wangli@163.com

2013-09-22

2014-02-10

1002-8331（2014）17-0200-05

CNKI網絡優(yōu)先出版：2014-03-03,http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1309-0315.htm l