顧春燕，林意

江南大學(xué)數(shù)字媒體學(xué)院，江蘇無錫 214122

三次可展Bezier曲面的構(gòu)造

顧春燕，林意

江南大學(xué)數(shù)字媒體學(xué)院，江蘇無錫 214122

可展曲面在很多的工程領(lǐng)域里，尤其在機(jī)械工程設(shè)計(jì)中有著重要的作用，例如飛機(jī)機(jī)翼、汽車車身、船體、鞋和服裝等的設(shè)計(jì)與制造等。在空間的一平面上分別生成2條3次Bezier曲線，該平面繞一固定軸旋轉(zhuǎn)不同角度，生成兩個(gè)相交的平面，這2條3次Bezier曲線跟隨旋轉(zhuǎn)，分別位于兩相交平面上，并由這兩條曲線生成直紋面。根據(jù)直紋面可展的充要條件，求解出未知的設(shè)計(jì)曲線和伴隨曲線的控制頂點(diǎn)，最終生成3次可展Bezier曲面。

Bezier曲線；可展曲面；Bezier曲面；直紋面；控制頂點(diǎn)

1 引言

可展曲面在很多的工程領(lǐng)域里，尤其在機(jī)械工程設(shè)計(jì)中有著重要的作用，例如飛機(jī)機(jī)翼、汽車車身、船體、鞋和服裝、管道等的設(shè)計(jì)與制造等，可用若干可展曲面片拼裝而成。R.M.C.Bodduluri和B.Ravani[1]利用射影幾何的方法構(gòu)造可展曲面，由于這類可展曲面的控制頂點(diǎn)的幾何含義不明顯，所以不利于實(shí)際應(yīng)用。J.Lang和O. Roschel[2]構(gòu)造了一種(1，n)次有理Bezier可展曲面，由于過于簡(jiǎn)單，在實(shí)際應(yīng)用中遇到很多困難。J.Hoschek[3]研究了可展曲面的一類插值及逼近問題，并對(duì)可展曲面的性質(zhì)做了一些討論，而它們的幾何性質(zhì)還需進(jìn)一步研究。G.Aumann[4-6]在兩個(gè)平行面上分別給出設(shè)計(jì)曲線，有設(shè)計(jì)曲線來設(shè)計(jì)可展曲面。根據(jù)直紋面是可展面的條件，得到關(guān)于兩條設(shè)計(jì)曲線的導(dǎo)數(shù)和匹配函數(shù)之間的約束關(guān)系，再解出滿足可展曲面的條件，但對(duì)兩條曲線的限制非常嚴(yán)格，有時(shí)難以滿足設(shè)計(jì)要求的可展曲面。Chu C.H和Sequin C.H[7]研究了二、三次Bezier可展曲面的條件和設(shè)計(jì)，并討論了設(shè)計(jì)自由度。王樹勛和葉正麟[8]利用de Casteljau算法提出了（2，3）次可展曲面的新設(shè)計(jì)方法，該方法易于控制曲面形狀。孟雅琴[9]在G. Aumann[4-6]基礎(chǔ)上擴(kuò)展到更一般的情形，選取兩個(gè)相交平面，由設(shè)計(jì)曲線和伴隨曲線生成來構(gòu)造可展曲面，此方法唯一的缺憾是存在特殊平面（如，XOZ面和YOZ面），在特殊平面上無法得到能生成可展曲面的設(shè)計(jì)曲線和伴隨曲線。

本文將在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，利用繞固定軸旋轉(zhuǎn)的方法生成兩個(gè)相交平面，使得在所有面上都能得到生成可展曲面的設(shè)計(jì)曲線和伴隨曲線。

2 3次可展Bezier曲面的設(shè)計(jì)

設(shè)兩個(gè)平面π1和π2相交于直線L，不失一般性，建立空間直角坐標(biāo)系，使Z軸在直線L上，平面π1和π2的方程為：

只有當(dāng)方程組（9）的系數(shù)矩陣退化時(shí)，齊次方程組有非零解，即可以求出不全為零的設(shè)計(jì)曲線控制頂點(diǎn)的x分量。

當(dāng)γ0=γ1-1時(shí)，解方程組（9）得：

由于式（9）和式（10）的系數(shù)矩陣與式（11）和式（12）的系數(shù)矩陣分別相同，且其秩均為3，故若要式（11）和式（12）有解，其增廣矩陣的秩應(yīng)為3，所以q0，q1，q2，q3應(yīng)滿足如下約束關(guān)系：

3 改進(jìn)后的3次可展Bezier曲面的設(shè)計(jì)

由上述3次可展Bezier曲線的構(gòu)造過程可知，當(dāng)兩個(gè)構(gòu)造平面相交于Z軸時(shí)，設(shè)計(jì)平面和伴隨平面是不能位于XOZ和YOZ平面的，因?yàn)閄OZ平面的α=0，YOZ平面的α不存在。下面為解決此問題，提出了改進(jìn)算法，讓曲面的構(gòu)造更加靈活。

設(shè)設(shè)計(jì)平面π1和伴隨平面π2由XOZ面繞Z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ1和θ2得到，θ1≠θ2，θ1，θ2∈[] 0，360°。

當(dāng)θ1=0，θ2=90°時(shí)，式（17）即為：

當(dāng)γ0=γ1-1時(shí)，設(shè)計(jì)曲線的控制頂點(diǎn)坐標(biāo)的x，y分量如下（z分量不變）：

當(dāng)β0=β1-1時(shí)，伴隨曲線的控制頂點(diǎn)坐標(biāo)的x，y分量如下（z分量不變）：

4 改進(jìn)后3次可展Bezier曲面的構(gòu)造實(shí)例

（1）θ1=0，θ2=40°時(shí)，可展曲面如圖1所示。

圖1 θ1=0，θ2=40°時(shí)可展曲面

（2）θ1=0，θ2=90°時(shí)，可展曲面如圖2所示。

（3）θ1=30°，θ2=100°時(shí)，可展曲面如圖3所示。

（4）θ1=70°，θ2=180°時(shí)，可展曲面如圖4所示。

圖2 θ1=0，θ2=90°時(shí)可展曲面

圖3 θ1=30°，θ2=100°時(shí)可展曲面

圖4 θ1=70°，θ2=180°時(shí)可展曲面

5 結(jié)束語(yǔ)

本文在由文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上對(duì)可展Bezier曲面進(jìn)行了改進(jìn)，利用繞固定軸旋轉(zhuǎn)的方法，使得平面的選取更加靈活自由，且此方法解決了α=0和α不存在時(shí)這兩種情況下，設(shè)計(jì)曲線和伴隨曲線不能生成的問題；相比較α，角度可以更直觀地了解兩平面的位置關(guān)系，在實(shí)際應(yīng)用中更加簡(jiǎn)單方便，實(shí)用性較強(qiáng)。

[1]Bodduluri R M C，Ravani B.Design of developable surfaces using dualitybet ween plane and point geometries[J]. Computer Aided Design，1993，15（10）：621-632.

[2]Lang J，Roschel O.Developable（1，n）-Bezier surfaces[J]. Computer Aided Geometric Design，1992，9（4）：291-298.

[3]Hoschek J.Dual Bezier curves and surfaces[M]//Surfaces in computeraided geometric design.[S.l.]：North Holland，1983：147-156.

[4]Aumann G.Interpolation with developable Bezier patches[J]. Computer Aided Geometric Design，1991，8（5）：409-420.

[5]Aumann G.A simple algorithm for designing developable Bezier surfaces[J].Computer Aided Geometric Design，2003，20（8/9）：601-619.

[6]Aumann G.Degree elevation and developable Bezier surfaces[J].Computer Aided Geometric Design，2004，21（7）：661-670.

[7]Chu C H，Sequin C H.Developable Bezier patches：properties and design[J].Computer Aided Design，2002，34（7）：511-527.

[8]王樹勛，葉正麟.基于直紋面的可展Bezier曲面的設(shè)計(jì)[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2008，44（17）：27-32.

[9]孟雅琴.可展曲面的構(gòu)造與插值研究[M].上海：上海交通大學(xué)出版社，2010：45-64.

GU Chunyan,LIN Yi

College of Digital M edia,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China

Developable surfaces have an important role in many engineering fields, especially in the design of mechanical engineering such as aircraft wing, auto body, hull, shoes and clothing. In the three-dimensional space, two cubic Bezier curves are generated in a plane. The plane rotates different angles by a fixed axis to generate two intersecting planes. The two cubic Bezier curves located on the two intersecting planes follow the plane rotating. Then, a ruled surface is generated.According to the necessary and sufficient conditions of developable ruled surface, the unknown control vertices of design curve and accompanied curve are calculated. Finally, developable cubic Bezier surfaces are generated.

Bezier curve; developable surfaces; Bezier surfaces; ruled surfaces; control points

GU Chunyan,LIN Yi.Design of developab le cubic Bezier sur faces.Computer Engineering and Applications,2014, 50（17）：169-172.

A

TP391

10.3778/j.issn.1002-8331.1210-0113

顧春燕（1988—），女，碩士研究生，研究方向：計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)；林意（1963—），男，博士，副教授，研究生導(dǎo)師，研究方向：計(jì)算機(jī)輔助幾何造型技術(shù)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)。E-mail：337927012@qq.com

2012-10-12

2012-12-05

1002-8331（2014）17-0169-04

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2013-01-11,http://www.cnki.net/kcm s/detail/11.2127.TP.20130111.0951.010.htm l