劉繼遠(yuǎn)，李艷玲

陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062

一類恒化器競(jìng)爭(zhēng)模型正解存在區(qū)域的刻畫(huà)

劉繼遠(yuǎn)，李艷玲

陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062

刻畫(huà)了一類帶Ivlev型反應(yīng)函數(shù)的非均勻恒化器競(jìng)爭(zhēng)模型正解的存在域。利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論和上下解方法證明了在a≠且b≠的前提下，系統(tǒng)有正解的充要條件是a＞r1(a，b)且b＞r2(a，b)。結(jié)合單調(diào)方法和不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，說(shuō)明存在域Λ是中的一個(gè)無(wú)界連通區(qū)域，其邊界由兩條遞增的曲線Γ1:a=F1(b)和Γ2:b=F2(a)構(gòu)成。證明了系統(tǒng)在存在域Λ的某個(gè)子區(qū)域內(nèi)至少有兩個(gè)正解。

恒化器；Ivlev型反應(yīng)函數(shù)；不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)；單調(diào)方法

1 引言

恒化器模型是微生物學(xué)研究中一個(gè)很重要的模型。在恒化器中，微生物的增長(zhǎng)與養(yǎng)料濃度之間有著密切的關(guān)系，這種關(guān)系可以用不同的反應(yīng)函數(shù)來(lái)表示。由文獻(xiàn)[1]知，微生物的增長(zhǎng)與養(yǎng)料濃度之間的關(guān)系可以由Holling II型反應(yīng)函數(shù)、Holling III型反應(yīng)函數(shù)和Ivlev型功能反應(yīng)函數(shù)來(lái)表示。另外，還可以由Beddington-DeAngelis型功能反應(yīng)函數(shù)來(lái)表示，如文獻(xiàn)[2]。目前，對(duì)于非均勻恒化器競(jìng)爭(zhēng)模型的研究，討論的多是Holling II型反應(yīng)函數(shù)，如文獻(xiàn)[3-7]，對(duì)Ivlev型反應(yīng)函數(shù)涉及較少。鑒于此，本文考慮如下帶Ivlev型反應(yīng)項(xiàng)的n維反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)：

其中s，u，v分別表示營(yíng)養(yǎng)液和兩種競(jìng)爭(zhēng)微生物的濃度；Ω是Rn(n≥1)中具有光滑邊界的有界區(qū)域，gi(s)=1-e-ai(s)，ai＞0為常數(shù)，i=1，2；a＞0，b＞0是最大增長(zhǎng)率；γ(x)，h(x)∈C(?Ω)且γ(x)，h(x)≥0，?0，x∈?Ω;Γ0?{x∈?Ω:γ(x)=0}，Γ0≠?且Γ0≠?Ω，h(x)＞0，x∈Γ0。

對(duì)于含有兩種微生物的非均勻恒化器競(jìng)爭(zhēng)模型的研究，已有不少相關(guān)文獻(xiàn)，如文獻(xiàn)[4，6-7]。文獻(xiàn)[4]通過(guò)討論一類具有M onond-M型反應(yīng)項(xiàng)的一維恒化器模型，得到了相應(yīng)平衡態(tài)系統(tǒng)的局部分歧。文獻(xiàn)[7]研究了具有同樣反應(yīng)函數(shù)的n維恒化器模型，獲得了共存解的全局分歧。文獻(xiàn)[6]通過(guò)研究具有同樣反應(yīng)函數(shù)且?guī)в幸粋€(gè)內(nèi)抑制劑的一維恒化器模型，確定了模型正解存在時(shí)兩物種最大增長(zhǎng)率的存在區(qū)域。本文的主要目的則是刻畫(huà)系統(tǒng)（1）～（2）正解的存在區(qū)域。為此，首先考慮與式（1）～（2）相對(duì)應(yīng)的平衡態(tài)系統(tǒng)：

令z=s+u+v，則類似文獻(xiàn)[7]的討論知，z所滿足的方程存在惟一解且為正解，不妨仍記為z。這樣式（3）的任一非負(fù)解(s，u，v)滿足s+u+v=z，x∈。把s= z-u-v代入式（3），得到本文將重點(diǎn)研究的邊界值問(wèn)題：

2 準(zhǔn)備

定義θλ1=0，由引理2.3，2.4和2.5知，θa關(guān)于a在[λ1，+∞)上連續(xù)且在上隨著a的增加而逐點(diǎn)增加。

注1在式（4）中令(u，v)=(0，v)，可得另一單物種方程：

易知，關(guān)于式（9'）有如下類似式（9）的結(jié)論：

（1）當(dāng)b＞σ1時(shí)，式（9'）有唯一正解，記為νb；b≤σ1時(shí)，式（9'）只有零非負(fù)解。

（2）定義νσ1=0，則νb關(guān)于b在[σ1，+∞)上連續(xù)且在上隨著b的增加而逐點(diǎn)增加。

（3）定義式（9'）在νb處的線性化算子為L(zhǎng)b=Δ+ b(g2(z-νb)-νbg′2(z-νb))，則λ(Lb)＜0。

3 正解的存在性

記gi(u，v)=gi(z-u-v)，i=1，2，則gi(u，v)關(guān)于u，v遞減，此時(shí)方程（4）變?yōu)椋?/p>

4 存在域Λ的特征及正解的多重性

5 小結(jié)

設(shè)(u，v)是式（4'）的正解，則由g1(u，v)＜g1(0，0)，g2(u，v)＜g2(0，0)知，a＞λ1，b＞σ1。這說(shuō)明a＞λ1，b＞σ1是式（4'）有正解的必要條件。本文即是在的子區(qū)域R0=(λ1，+∞)×(σ1，+∞)內(nèi)討論參數(shù)(a，b)的取值變化對(duì)式（4'）正解的影響，進(jìn)而找到式（4'）有正解時(shí)參數(shù)(a，b)的準(zhǔn)確存在區(qū)域。在第3章，通過(guò)將參數(shù)(a，b)限制在兩條遞增的曲線a=和b=a)所圍的區(qū)域內(nèi)，保證了式（4'）正解的存在性，這給出了式（4'）有正解的充分條件（定理3.1）。但由于對(duì)(a，b)的限制太嚴(yán)，漏掉了(a，b)可取的其他很多值。因而在第4章，設(shè)法利用定理4.1來(lái)彌補(bǔ)這個(gè)缺陷：通過(guò)給出式（4'）在a≠b≠(a)的前提下有解的充要條件，放寬存在域的可能范圍。最終，通過(guò)定理4.2說(shuō)明式（4'）有正解時(shí)(a，b)的準(zhǔn)確存在域是R0上的一個(gè)無(wú)界連通區(qū)域，且以兩條遞增曲線a=F1(b)和b=F2(a)為其邊界。至此，可知{(a，b): a＞F1(b)，b＞F2(a)}=Λ=R1∪R2∪R3∪R4，其中R1={(a，b):

ffff5d(b)，b＞ffff5c(a)}。而且，當(dāng)(a，b)取自R2∪R4時(shí)，式（4'）至少有兩個(gè)正解（定理4.3）。

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LIU Jiyuan, LI Yanling

College of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi’an 710062, China

The existence region of positive solutions in the unmixed chemostat with the Ivlev response function is portrayed.It is shown that if a≠and b≠hold,then the necessary and sufficient conditions,where the system possesses positive solutions,are a＞r1(a，b)and b＞r2(a，b)by using the fixed point theory and the upper and lower solution method. Combining with the monotone method and the fixed point theory,it is proved thatis a connected unbounded region in,whose boundary consists of two monotone nondecreasing curvesΓ1:a=F1(b)andΓ2:b=F2(a).It is shown that the system has at least two positive solutions in certain subregion of.

chemostat; Ivlev response function; fixed point index; monotone method

LIU Jiyuan, LI Yanling. Characterization of existence region of positive solutions for competition model in chemostat.Computer Engineering and Applications, 2014, 50（17）：68-73.

A

O175.26

10.3778/j.issn.1002-8331.1209-0023

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.10971124）；教育部博士點(diǎn)專項(xiàng)基金（No.200807180004）。

劉繼遠(yuǎn)（1984—），男，碩士研究生，研究領(lǐng)域?yàn)槠⒎址匠汤碚摷皯?yīng)用；李艷玲（1963—），女，通訊作者，博士，教授，研究方向?yàn)榉磻?yīng)擴(kuò)散方程及其應(yīng)用。E-mail：yanlingl@snnu.edu.cn

2012-09-10

2012-11-28

1002-8331（2014）17-0068-06

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2012-12-26,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20121226.1120.003.htm l