楊國太，劉有余

安徽工程大學先進數(shù)控和伺服驅(qū)動技術(shù)安徽省重點實驗室，安徽蕪湖 241000

基于趨勢外推法曲線智能延伸模型及實例應用

楊國太，劉有余

安徽工程大學先進數(shù)控和伺服驅(qū)動技術(shù)安徽省重點實驗室，安徽蕪湖 241000

為解決眾多CAD軟件不具備非圓曲線延伸功能，引入趨勢外推原理，研究非圓曲線智能延伸技術(shù)。建立了二次和三次多項式曲線延伸、指數(shù)曲線延伸、戈珀茲曲線延伸三類智能延伸模型，分別給出趨勢外推模型的識別與選擇方法，可據(jù)曲線特征點合理選用。提供了智能延伸實例，闡述了智能延伸的步驟及方法，分析了它們的延伸精度，指出模型使用范圍。解決了CAD軟件共性核心難題，可應用于現(xiàn)有CAD軟件的核心升級或二次開發(fā)，以增加或完善非圓曲線延伸功能。

非圓曲線；趨勢外推法；智能延伸；數(shù)學模型

1 引言

現(xiàn)代CAD技術(shù)蓬勃發(fā)展，出現(xiàn)了眾多界面友好、功能強大的二維及三維的優(yōu)秀設計軟件，如AutoCAD、CAXA、Pro/E、UG、CATIA等。這些軟件都具備“延伸”這一基本功能，可將直線或圓弧延伸相交于指定對象，且保持原特性（直線或圓?。┎蛔?，但這些軟件的“延伸”功能對非圓曲線的延伸無能為力。若對非圓曲線使用“延伸”指令，有些軟件（如AutoCAD）不執(zhí)行任何動作；有些軟件（如CAXA）雖進行了延伸，但是以直線方式進行，改變了曲線原有特性，誤差較大。趨勢外推法[1]是一種對科技、經(jīng)濟和社會發(fā)展進行預測的技術(shù)，基本假設是未來系過去和現(xiàn)在連續(xù)發(fā)展的結(jié)果，目前主要用于情報研究，如：預報帶鋼冷軋過程輥系徑向變形[2]，股指的分析與預測[3]，水質(zhì)預測[4]等?；谇€延伸與情報研究趨勢外推相似性，在文獻[5]中引入趨勢外推原理，在極坐標系下建立了一些曲線延伸模型，但是，相關研究尚膚淺，實用性不強。本文基于直角坐標系，全面研究非圓曲線智能延伸技術(shù)，具有更強的應用性；并且，結(jié)合實例給出智能延伸的步驟及方法，分析模型的延伸精度，指出使用范圍，以解決CAD軟件不能延伸非圓曲線這一共性關鍵難題。

2 曲線智能延伸模型

除直線和圓弧外，CAD軟件中待延伸曲線一般是樣條曲線，由若干個特征點控制其線形[6]。趨勢外推根據(jù)連續(xù)性原理，依據(jù)特征點序列的變化趨勢，選擇合適的曲線模型，對后續(xù)趨勢進行外推延伸。原曲線特征不同，應使用不同的延伸模型。本文開發(fā)幾種典型延伸模型，可據(jù)原曲線特征進行選用。

2.1 多項式延伸模型

2.1.1 二次曲線延伸模型

離散型二次曲線方程為[7]：

式中，yi為第i點y坐標值；xi為第i點x坐標值；i=1，2，…，m；a、b、c為常系數(shù)。

若xi為等差數(shù)列離散點，二次曲線上特征點序列{yi}的二階差分▽2yi[8]見式（2），為常數(shù)。

因此，當離散型曲線的二階差分為常數(shù)時，可使用二次曲線延伸模型，見式（3）：

式中，xi為第i延伸點x坐標值；為第i延伸點y坐標值；i=m+1，m+2，…，n。

用最小二乘法確定待定參數(shù)[9]。由式（3）得：

式中，ei為第i點的離差；Q為離差平方和。

根據(jù)特征點數(shù)據(jù)采用式（8）計算待定參數(shù)，依據(jù)延伸模型式（3）進行延伸。

2.1.2 三次曲線延伸模型

離散型三次曲線方程為[7]：

式中，d為常系數(shù)；其余參數(shù)含義同前述。

三次曲線上，與等差數(shù)列離散點xi相對應的特征點序列{yi}的三階差分▽3yi[10]見式（10），為常數(shù)。

因此，當離散型曲線的三階差分為常數(shù)時，可使用三次曲線延伸模型，見式（11）：

式中，xi為第i延伸點x坐標值；為第i延伸點y坐標值；i=m+1，m+2，…，n。

如前所述，當?shù)炔顢?shù)列離散點xi的項數(shù)為奇數(shù)時，式（11）中待定參數(shù)采用最小二乘法確定為：

根據(jù)特征點數(shù)據(jù)采用式（12）計算待定參數(shù)，依據(jù)延伸模型式（11）進行延伸。

2.2 指數(shù)曲線延伸模型

離散型指數(shù)曲線方程為[11]：

式中，a、b為常系數(shù)，i=1，2，…，m。

若xi為等差數(shù)列離散點，指數(shù)曲線上特征點序列{yi}的對數(shù)一階差分▽lnyi[12]見式（14），為常數(shù)。

因此，當離散型曲線的對數(shù)一階差分為常數(shù)時，可使用指數(shù)曲線延伸模型，見式（15）：

式中，xi為第i延伸點x坐標值；為第i延伸點y坐標值；i=m+1，m+2，…，n；、為模型參數(shù)。

對式（15）兩邊取對數(shù)：

即：指數(shù)曲線延伸模型式（15）轉(zhuǎn)化為式（17）所示的直線延伸模型。

用最小二乘法確定待定參數(shù)。由式（17）得：

式中，ei為第i點的離差；Q為離差平方和。

2.3 戈珀茲曲線延伸模型

離散型戈珀茲曲線方程為[13]：

式（23）變形為：

式中，a、b、k為常系數(shù)，i=1，2，…，3m。

若xi為等差數(shù)列離散點，戈珀茲曲線上特征點序列{yi}的對數(shù)一階差分▽lnyi的環(huán)比系數(shù)[12]見式（25），為常數(shù)。

當離散型曲線的對數(shù)一階差分環(huán)比系數(shù)為常數(shù)時，可使用戈珀茲曲線延伸模型，見式（26）：

式中，xi為第i延伸點x坐標值；為第i延伸點y坐標值；i=3m+1,3m+2,…，n；為漸進線；、為模型參數(shù)。

選取M=3m組特征點，其中m是特征點分成3組后，各組特征點的個數(shù)。若起初M不等于3m，可舍棄離延伸位置較遠的若干點，使M=3m。將特征點代入式（27）：

由式（27）計算戈珀茲模型所需參數(shù)，見式（28）。

3 曲線智能延伸實例

為評估曲線智能延伸模型的有效性，本文給出幾種方程已知的曲線，從前述幾種延伸模型中選取合適模型進行延伸，分析延伸曲線與理論曲線之間的誤差。延伸流程如圖1所示，四種延伸模型都要求原曲線特征點的xi為等差數(shù)列，如不滿足，首先擬合原特征點[14]，然后在樣條曲線上選取若干新特征點，使xi為等差數(shù)列，以此選擇延伸模型。

圖1 曲線智能延伸流程圖

如表1所示，4組特征點分別規(guī)定了4個非圓曲線的特征，這些曲線不同于延伸模型方程。應用上述方法對4個曲線進行延伸，分析延伸曲線與理論曲線間的誤差，檢驗延伸的有效性。

表1 近似智能延伸曲線特征點

分別擬合上述4組特征點，在擬合曲線上選取xi為等差數(shù)列的新特征點，分別計算4組新特征點延伸模型應用條件，如表2所示。曲線A的▽2yi最大差值最小，接近于常數(shù)，選用二次曲線智能延伸模型；曲線B的▽3yi最大差值最小，選用三次曲線智能延伸模型；曲線C的▽lnyi最大差值最小，選用指數(shù)曲線智能延伸模型；曲線D的(▽lnyi+1-▽lnyi)/▽lnyi最大差值最小，選用戈珀茲曲線智能延伸模型。

表2 近似智能延伸模型選擇

圖2 曲線A的延伸及誤差圖

圖3 曲線B的延伸及誤差圖

對曲線C，r=1.000，k1=0.800，k2=0.140。經(jīng)運算，待定參數(shù)為：=0.210，=2.030。將（0.281，0.351）作為起始點，利用模型式（15）對曲線進行延伸，延伸圖及與理論曲線誤差圖見圖4，可見，在距起始點較近（x<0.75）的區(qū)域內(nèi)延伸曲線與理論曲線吻合性較好；距起始點較遠，誤差較大。

對曲線D，k1=5.500，k2=2.700經(jīng)運算，待定參數(shù)為：=5.500，=0.500，=3.600。將（2.200，5.217）作為起始點，利用模型式（26）對曲線進行延伸，延伸圖及與理論曲線誤差圖見圖5，可見，在距起始點較近（x<7）的區(qū)域內(nèi)延伸曲線與理論曲線吻合性較好；距起始點較遠，誤差較大。

圖4 曲線C的延伸及誤差圖

圖5 曲線D的延伸及誤差圖

4 結(jié)論

（1）采用趨勢外推原理，建立多項式延伸、指數(shù)曲線延伸、戈珀茲曲線延伸三類智能延伸模型，可根據(jù)曲線特征點合理選用，實現(xiàn)了非圓曲線的智能延伸。

（2）曲線智能延伸實例表明：用所建立的延伸模型延伸任意形狀非圓曲線，在距起始點較近的區(qū)域內(nèi)延伸曲線與理論曲線吻合性較好，但距起始點較遠，誤差較大。對精度要求不高曲線可在短距離內(nèi)進行延伸。

（3）本文解決了通用CAD軟件非圓曲線不能延伸的共性關鍵難題，可應用于現(xiàn)有CAD軟件的核心升級，也可用于對其進行二次開發(fā)，增加或完善現(xiàn)有CAD軟件非圓曲線延伸功能。

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YANG Guotai,LIU Youyu

Anhui Key Lab of Advanced NC&Servo Technology,Anhui Polytechnic University,Wuhu,Anhui 241000,China

Lots of CAD software has no function of extension for non-circular curves.Intelligent extension-technology for non-circular curves is studied based on the principles of trend extrapolation.Four kinds of intelligent extension-models, including quadratic extension-model,cubic extension-model,exponential extension-model and Gompertz extension-model, are built.Moreover,the methods of identifying and choosing extension-models are discussed separately.Several applications of intelligent extension for non-circular curves are offered,which shows us that the extension-models can be available for approximate extension for a short distance if the shapes of non-circular curves are arbitrary.The theories in this paper,a kind of core technologies and generic key problems,can be used for upgrading or secondary development of existing CAD software. Key words：non-circular curves;trend extrapolation;intelligent extension;mathematical models

A

TP391.72

10.3778/j.issn.1002-8331.1309-0515

YANG Guotai,LIU Youyu.Intelligent extension models and their applications for non-circular curves based on trend extrapolation.Computer Engineering and Applications,2014,50（6）：46-50.

國家自然科學基金（No.51175001）；蕪湖市2012年度專利產(chǎn)業(yè)化項目（No.2012ZL10）。

楊國太（1963—），男，副教授，研究領域為計算機輔助設計與制造。E-mail：ygtahwh@163.com

2013-10-08

2013-11-23

1002-8331（2014）06-0046-05