朱樂群，呂 靖，李 晶

（大連海事大學(xué) 交通運(yùn)輸管理學(xué)院，遼寧 大連 116026）

Stackelberg博弈下海盜活動(dòng)地區(qū)海軍護(hù)航選擇優(yōu)化

朱樂群，呂 靖*，李 晶

（大連海事大學(xué) 交通運(yùn)輸管理學(xué)院，遼寧 大連 116026）

為了優(yōu)化海軍在海盜活動(dòng)區(qū)域的護(hù)航選擇決策，更好地保護(hù)過往船舶，維護(hù)海上運(yùn)輸安全，在對(duì)實(shí)際護(hù)航行動(dòng)涉及的海軍與海盜兩方主體博弈關(guān)系分析的基礎(chǔ)上，建立了一個(gè)包括海軍和海盜雙方在內(nèi)的非合作非零和Stackelberg博弈對(duì)雙方行為進(jìn)行描述，并選取雙層規(guī)劃模型將博弈關(guān)系進(jìn)行數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換.針對(duì)該雙層規(guī)劃模型的特點(diǎn)，采用基于靈敏度分析的啟發(fā)式算法（SAB）對(duì)反應(yīng)函數(shù)具體形式進(jìn)行計(jì)算，并進(jìn)行模型求解算法設(shè)計(jì).最后，以索馬里海盜活動(dòng)區(qū)域?yàn)槔M(jìn)行實(shí)例分析，得出海軍繼續(xù)選擇亞丁灣進(jìn)行護(hù)航，海盜活動(dòng)區(qū)域?qū)⑾蚣t海轉(zhuǎn)移的結(jié)果，結(jié)果也說明了模型與算法的合理性.

水路運(yùn)輸；海軍護(hù)航優(yōu)化；Stackelberg博弈；海上通道安全；雙層規(guī)劃

1 引 言

近年來，海盜襲擊、劫持船舶事件不斷發(fā)生，嚴(yán)重威脅全球海上貿(mào)易與海上運(yùn)輸安全.目前，海軍護(hù)航是保障海盜活動(dòng)區(qū)域海上運(yùn)輸安全的主要手段.然而，由于海軍護(hù)航艦艇數(shù)量有限，難以實(shí)現(xiàn)對(duì)所有海盜活動(dòng)區(qū)域的護(hù)航覆蓋；另一方面，隨著海軍護(hù)航行動(dòng)的展開，海盜開始不斷調(diào)整襲擊區(qū)域以躲避海軍對(duì)其打擊.因此，海軍必須在有限護(hù)航能力的前提下，根據(jù)海盜活動(dòng)的新特點(diǎn)來對(duì)護(hù)航區(qū)域進(jìn)行調(diào)整，以達(dá)到護(hù)航效益的最大化.因此，希望通過對(duì)該問題的研究為海軍調(diào)整護(hù)航區(qū)域提供決策依據(jù)，以更好地保護(hù)過往船舶，維護(hù)海上運(yùn)輸安全.

現(xiàn)有關(guān)于海盜問題的研究大多集中在海盜行為經(jīng)濟(jì)性的考量，Anja Shortland[1]通過對(duì)大量文獻(xiàn)的分析與實(shí)際數(shù)據(jù)的處理，對(duì)2008-2010年在亞丁灣執(zhí)行任務(wù)的國(guó)際海軍的效率進(jìn)行了評(píng)價(jià)；Brishti Guha[2]研究了海盜對(duì)海上貿(mào)易的影響，計(jì)算了海盜活動(dòng)產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)影響.除此之外，已有的危險(xiǎn)貨物運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃研究對(duì)該問題有重要的借鑒意義，陳鋼鐵[3]進(jìn)行了非合作下危險(xiǎn)物品運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)的雙層模型及博弈研究，在政府和運(yùn)輸商的雙層約束條件下設(shè)計(jì)了一個(gè)雙層規(guī)劃模型對(duì)危險(xiǎn)物品運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化；Allison Reilly[4]等建立了非合作非零和博弈模型對(duì)恐怖分子威脅下，政府關(guān)閉危險(xiǎn)貨物運(yùn)輸線路中重要基礎(chǔ)設(shè)施的決策進(jìn)行優(yōu)化.本文在前人研究的基礎(chǔ)上，分析海軍與海盜的博弈關(guān)系，建立海軍護(hù)航區(qū)域選擇模型，通過求解模型的最優(yōu)解來優(yōu)化海軍護(hù)航區(qū)域.

2 問題描述與模型建立

2.1 海盜活動(dòng)區(qū)域海軍護(hù)航選擇問題

根據(jù)現(xiàn)有的海盜襲擊案例，在該問題中，存在海軍與海盜兩個(gè)決策主體，海軍的策略集為是否對(duì)各個(gè)區(qū)域?qū)嵤┳o(hù)航，海盜的策略集為是否對(duì)各個(gè)區(qū)域?qū)嵤┕?海軍的“支付”是護(hù)航帶來的該區(qū)域的海上安全，海盜的“支付”是襲擊為其帶來的經(jīng)濟(jì)上的收益.海軍與海盜之間存在下列一個(gè)動(dòng)態(tài)的決策過程（圖1）.

圖1 海軍與海盜的博弈過程Fig.1 The gaming process of navy and piracy

該問題構(gòu)成了一個(gè)典型的Stackelberg博弈問題[5]，其中領(lǐng)導(dǎo)者為海軍，海盜為追隨者，可以用一個(gè)海軍—海盜雙層數(shù)學(xué)規(guī)劃模型[6]來描述.

其中y(x)由下層規(guī)劃問題求得，

式中 F(x ,y(x) )——x是海軍的決策目標(biāo)函數(shù)和決策變量；

G——海軍的決策變量相應(yīng)的約束函數(shù)；

f和y——海盜的目標(biāo)函數(shù)和決策變量；

g——海盜的決策變量相應(yīng)的約束函數(shù).

上層海軍護(hù)航選擇問題(U)的求解依賴于下層問題(L)，需要分別對(duì)兩方行為進(jìn)行建模.

2.2 海盜攻擊區(qū)域分配模型

在海盜攻擊區(qū)域分配模型中，海盜面臨的決策是如何選擇區(qū)域襲擊，以達(dá)到收益最大化.假定海盜是利益追求者，利益最大化是其區(qū)域選擇的主要因素，風(fēng)險(xiǎn)作為第二考慮.海盜的收益來自成功劫持船舶與船員，海盜面臨的風(fēng)險(xiǎn)來自于船舶對(duì)海盜襲擊的抵抗和附近護(hù)航軍艦對(duì)船舶進(jìn)行救援時(shí)對(duì)其的打擊.以海盜行動(dòng)收益為目標(biāo)函數(shù)，以收益最大化為目標(biāo)，建立海盜攻擊區(qū)域分配模型.

式中 I——所有海盜活動(dòng)區(qū)域的集合；

i——代表一個(gè)海盜活動(dòng)區(qū)域，i∈I；

xi——代表海軍是否選擇i區(qū)域進(jìn)行護(hù)航，護(hù)航則為1，不護(hù)航則為0；

yi——代表海盜襲擊每個(gè)區(qū)域的概率；

ph——代表海盜襲擊每個(gè)區(qū)域時(shí)成功劫持船舶的概率，ph是x的函數(shù)；

s——代表海盜成功劫持船舶的收入；

d——代表海盜行動(dòng)失敗的損失；

ca——代表海盜每次襲擊的成本；

ei——代表海盜襲擊的區(qū)域修正系數(shù).

由于各個(gè)不同區(qū)域的海況、距離海盜路上基地的距離不同，因此海盜對(duì)于不同區(qū)域存在不同的襲擊傾向，據(jù)此設(shè)置了海盜襲擊區(qū)域修正系數(shù)ei對(duì)各個(gè)區(qū)域的海盜襲擊收益進(jìn)行修正.

2.3 海軍護(hù)航區(qū)域選擇模型

海軍護(hù)航行為的目的在于維護(hù)海上安全，保障過往船舶不受海盜襲擊，因此以船舶通過海盜活動(dòng)區(qū)域時(shí)受海盜襲擊期望損失最小為目標(biāo).

式中 lh——代表遭受海盜劫持時(shí)船東的損失；

cd——代表船舶防御海盜襲擊所產(chǎn)生的成本；

X——代表海軍護(hù)航能力能夠覆蓋的區(qū)域數(shù)量；

fi——海軍護(hù)航區(qū)域選擇的修正系數(shù).

由于各個(gè)區(qū)域海上船舶交通量不同，通行船舶的類型不同，對(duì)世界貿(mào)易的重要程度不同，因此通過設(shè)置區(qū)域修正系數(shù) fi來對(duì)不同區(qū)域的期望損失進(jìn)行調(diào)整.

2.4 海盜活動(dòng)區(qū)域海軍護(hù)航選擇雙層規(guī)劃模型

因此海盜活動(dòng)地區(qū)海軍護(hù)航區(qū)域選擇問題的雙層規(guī)劃模型描述如下：

其中y由下層模型求得：

3 基于靈敏度分析（SAB）的啟發(fā)式算法

雙層規(guī)劃是一個(gè)NP-hard問題，不存在多項(xiàng)式求解算法[5].但是如果可以找到反映領(lǐng)導(dǎo)層與從屬層目標(biāo)函數(shù)之間的具體反應(yīng)函數(shù)y() x的形式，則可以轉(zhuǎn)換為單層規(guī)劃進(jìn)行求解.對(duì)反應(yīng)函數(shù)具體形式的求解，可以通過數(shù)學(xué)變換將一個(gè)有約束的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的變分不等式，采用靈敏度分析求出變分不等式擾動(dòng)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)，繼而得出變量間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，最后再運(yùn)用泰勒展開式對(duì)反應(yīng)函數(shù)求近似解，即采用基于靈敏度分析的啟發(fā)式算法（SAB）[7].

在模型中，擾動(dòng)參數(shù)為海軍選擇的護(hù)航區(qū)域 x.當(dāng)下層模型 f(y)中存在海軍護(hù)航區(qū)域選擇的擾動(dòng)參數(shù)x，即 f(y,x)變分不等式形式如式（6）所示.

其中 y∈{y (x) |Y=y(x)∧T,y(x)≥0} ，y?(x)為模型均衡解

式中 ∧=(1 ,1,…,1)T∈En——維數(shù)是N、元素全是1的列向量.

假定已知變分不等式在x=x(0)時(shí)的解有且僅有y?(x(0))，則在x=x(0)時(shí)解的必要條件為：

式中 μ——方程等式約束的拉格朗日乘子向量.

設(shè)Z(x)=[y (x),μ(x)]T，用 Jz(x)表示式（9）、式（10）對(duì)于 [y ,μ] 的雅克比矩陣，用Jx(x)表示式（9）、式（10）對(duì)于X的雅克比矩陣，則有

假定X(0)為海軍護(hù)航區(qū)域選擇的初始值，那么在這個(gè)初始值下可以通過求解從屬層問題得到海盜的區(qū)域選擇結(jié)果Y*(X(0)).并且通過靈敏度分析方法得出海盜攻擊區(qū)域分配對(duì)海軍護(hù)航選擇的導(dǎo)數(shù)關(guān)系為，則反應(yīng)函數(shù)的泰勒展開式近似為

式（13）即為反應(yīng)函數(shù) y() x的具體形式，將其代入到?jīng)Q策層目標(biāo)函數(shù)中，那么決策層問題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)普通的非線性優(yōu)化問題，可以用已經(jīng)存在的方法求解.而對(duì)于通過決策層問題來求的海軍最優(yōu)的護(hù)航區(qū)域，需要再次求解從屬層問題，才能得到海軍護(hù)航區(qū)域變化后的海盜襲擊區(qū)域選擇結(jié)果.根據(jù)上述思路，本文設(shè)計(jì)用于求解海軍護(hù)航區(qū)域選擇雙層規(guī)劃模型算法的具體步驟如圖2所示.

圖2 算法流程Fig.2 The step of algorithm

4 索馬里海盜活動(dòng)區(qū)域?qū)嵗?jì)算

4.1 索馬里海盜活動(dòng)區(qū)域劃分

為了驗(yàn)證模型與算法的合理性，選取索馬里海盜活動(dòng)區(qū)域進(jìn)行實(shí)證研究.通過對(duì)國(guó)際海事組織（IMO）公布的2010-2011年索馬里海盜襲擊船舶數(shù)據(jù)的處理，得到2010-2011年索馬里海盜發(fā)動(dòng)襲擊船舶的地點(diǎn)分布如圖3所示.因此共選擇了五個(gè)護(hù)航區(qū)域（I），分別為亞丁灣（I1）、紅海（I2）、阿拉伯海（I3），印度洋（I4）和索馬里區(qū)域（I5）.

圖3 2010-2011年索馬里海盜襲擊船舶地點(diǎn)Fig.3 2010-2011 Somalia piracy attack area’s location distribution

4.2 海盜攻擊區(qū)域分配模型參數(shù)

海盜每次襲擊的平均成本主要包括海盜行動(dòng)所需的人力與物力成本，由于缺乏海盜襲擊的詳細(xì)資料，難以準(zhǔn)確核算，但根據(jù)已有的研究，海盜每次行動(dòng)的平均襲擊成本ca為4萬美元.

海盜的收益存在兩種可能，一是船東拒絕支付贖金，海盜占有船舶，二是船東支付海盜要求的贖金.第一種情況下，船東拒絕支付贖金的情況多發(fā)生在海盜劫持漁船中，這時(shí)認(rèn)為海盜的收益為110萬美元.如果船東選擇支付贖金，則根據(jù)近期船東支付贖金平均情況（表1），假定海盜的贖金收益為332萬美元.根據(jù)以往海盜劫持船舶的案例，雖然政府呼吁拒絕向海盜支付贖金，但大部分船東（約90%）出于商業(yè)利益的考慮選擇支付贖金，因此假定海盜劫持船舶成功的收益s為310萬美元（332×0.9+110×0.1）.

表1 索馬里海盜劫持船舶贖金情況Table 1 The ransom of hijacked vessels by Somali piracy

如果海盜襲擊失敗，則意味著海盜在試圖劫持船舶過程中遭遇了來自船舶的抵抗和附近海軍護(hù)航力量的打擊，在海盜劫持成本之外，海盜需承擔(dān)由于人員傷亡帶來的損失.根據(jù)Juan Carlos Sevillano[8]的相關(guān)研究結(jié)論，每名海盜的統(tǒng)計(jì)生命價(jià)值為25萬美元.假定海盜襲擊失敗將導(dǎo)致2名海盜死亡，則海盜襲擊失敗的損失d為50萬美元.

海盜成功劫持船舶率ph為x的函數(shù)，本文假定ph(x)采用冪函數(shù)形式，即ph(x)=axb+c，由于國(guó)際海軍在亞丁灣護(hù)航開始于2008年末，本文通過對(duì)比分析2008年前后亞丁灣地區(qū)海盜劫持船舶成功率來確定常數(shù)a、b、c的值.如表2所示，根據(jù)2008年與2009年數(shù)據(jù)對(duì)常數(shù)a、b、c的值進(jìn)行估計(jì)，c為0.35，a為-0.18，b為0.5，得出ph(x)=0.35-0.18x0.5

表2 2008-2011年索馬里海盜劫持船舶成功率Table 2 The successful percent of hijacked by Somali piracy in 2008-2011

索馬里海盜對(duì)各個(gè)區(qū)域存在不同的襲擊傾向，自2008年起，由于海軍在亞丁灣進(jìn)行護(hù)航，使得海盜對(duì)襲擊區(qū)域的選擇發(fā)生改變，因此可通過分析2008年之前數(shù)據(jù)，得出海盜襲擊傾向來對(duì)修正系數(shù)ei進(jìn)行估計(jì)，為了使得系數(shù)更具可比性，對(duì)系數(shù)進(jìn)行歸一化處理，得到系數(shù)值為

4.3 海軍護(hù)航區(qū)域選擇模型參數(shù)

船舶在通過海盜區(qū)域均會(huì)采取一定的防海盜措施會(huì)產(chǎn)生一系列的反海盜成本，根據(jù)Carney研究的結(jié)果，抵抗海盜襲擊的平均成本cd為22萬美元.

若船舶被海盜劫持，則遭受海盜劫持時(shí)船東的損失lh包括船東需要支付的船舶贖金及海盜在襲擊過程中對(duì)船東造成的損失，平均贖金支付為332萬美元.對(duì)船東造成的損失，主要是船體受損、船員傷亡及貨物損失，由于船員傷亡的損失最大且容易衡量，因此只考慮船員傷亡帶來的損失，假設(shè)在襲擊過程中造成1名船員的死亡，Carlos Sevillano[8]測(cè)算一名西班牙船員的價(jià)值為265萬美元，則lh為597萬美元.

根據(jù)前文對(duì)海軍護(hù)航現(xiàn)狀的描述，目前由于海軍護(hù)航能力有限，因此假定海軍能夠?qū)嵤┳o(hù)航的區(qū)域數(shù)量X為1，隨著海軍護(hù)航力量的加大，X的取值可隨實(shí)際情況進(jìn)行變化.

海軍護(hù)航區(qū)域修正系數(shù) fi則通過各個(gè)區(qū)域通過的貨運(yùn)量與在全球航線中發(fā)揮的作用進(jìn)行估計(jì).該區(qū)域船舶實(shí)時(shí)AIS圖如圖4所示.根據(jù)現(xiàn)有航線情況和實(shí)時(shí)船舶AIS圖的點(diǎn)分布情況對(duì)海軍護(hù)航區(qū)域修正系數(shù)進(jìn)行估計(jì)，同樣進(jìn)行歸一化處理，得到如下結(jié)果：f1=0.35、f2=0.3、f3=0.2、f4=0.1、f5=0.05.

圖4 索馬里海盜活動(dòng)區(qū)域船舶AIS圖Fig.4 The AIS map of ships in the areas of Somali piracy

4.4 計(jì)算結(jié)果

按照已設(shè)計(jì)的算法進(jìn)行編程，并將已計(jì)算的參數(shù)結(jié)果代入運(yùn)算.初始化xi=[0，0，0，0，0]進(jìn)行運(yùn)算，經(jīng)過5次迭代，運(yùn)算結(jié)果收斂，得到海軍護(hù)航區(qū)域選擇結(jié)果xi=[1，0，0，0，0]，即海軍選擇集中力量在亞丁灣區(qū)域進(jìn)行護(hù)航，得到相應(yīng)最終海盜襲擊分配結(jié)果，y1=0.185，y2=0.283，y3=0.050，y4=0，y5=0.482.又選取xi=[1，0，0，0，0]、xi=[0，1，0，0，0]、xi=[0，0，1，0，0]、xi=[0，0，0，1，0]和xi= [0，0，0，0，1]作為初始數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，5組初始數(shù)據(jù)收斂結(jié)果相同.

計(jì)算結(jié)果表明，雖然數(shù)據(jù)顯示目前索馬里海盜的襲擊區(qū)域受海軍亞丁灣護(hù)航的影響已經(jīng)發(fā)生變化，但由于目前海軍護(hù)航能力受限，海軍目前最優(yōu)的護(hù)航選擇依然是繼續(xù)實(shí)施亞丁灣護(hù)航.在海軍繼續(xù)維持亞丁灣護(hù)航的情況下，相應(yīng)的海盜襲擊概率的區(qū)域分配為亞丁灣區(qū)域0.185、紅海區(qū)域0.283、阿拉伯海區(qū)域0.050，印度洋區(qū)域0和索馬里區(qū)域0.482，海盜更加傾向于選擇索馬里區(qū)域和紅海區(qū)域發(fā)動(dòng)襲擊，但由于索馬里區(qū)域在所選區(qū)域中通過的貨運(yùn)量與在全球航線中發(fā)揮的作用較小，因此海盜活動(dòng)的總體影響下降.

5 研究結(jié)論

本文研究了海盜活動(dòng)區(qū)域的海軍護(hù)航?jīng)Q策選擇問題，在Stacklberg博弈基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了海盜活動(dòng)區(qū)域海軍護(hù)航選擇模型對(duì)該問題進(jìn)行描述，并根據(jù)索馬里海盜活動(dòng)的實(shí)際情況運(yùn)用基于靈敏度分析的啟發(fā)式算法進(jìn)行了案例計(jì)算.本文的研究結(jié)果表明，模型可以預(yù)測(cè)海盜對(duì)護(hù)航區(qū)域設(shè)定的反應(yīng)，海軍在亞丁灣護(hù)航行動(dòng)開始后，海盜將更傾向于選擇索馬里區(qū)域和紅海區(qū)域?qū)嵤┮u擊，在現(xiàn)有護(hù)航力量情況下，海軍應(yīng)對(duì)海盜襲擊最優(yōu)的護(hù)航區(qū)域選擇依然為亞丁灣.結(jié)果較為符合當(dāng)前海軍的護(hù)航做法，說明本文模型與算法是合理可靠的，能夠?yàn)楹＼娮o(hù)航區(qū)域選擇決策提供支持.

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Optimization of Zone Selection of Naval Escort in Pirates Active Areas Based on Stackelberg Games

ZHU Le-qun,LU Jing,LI Jing
(College of Transportation Management,Dalian Maritime University,Dalian 116026,Liaoning，China,)

To optimize the zone selection of naval escort for enhancing maritime security in pirates active areas.Firstly,the decision behaviors of the naval force and pirates in such areas are systematically analyzed. Secondly,a non-cooperative non-zero sum Stackelberg game is developed.The game builds the interactive relationships among the naval force and a pirate,which also can be described as a bi-level programming model.In order to solve this model,a heuristic algorithm called SAB is designed.Finally,the Somali pirates are taken as an example to implement the calculation.The results show that the best selection of naval escort zone is still the Gulf of Aden,while the pirates will be more willing to choose the Red sea area.The results also prove the rationality of models and the algorithm.

waterway transportation;optimized selection of naval escort;Stackelberg games;safety of sea line of communication;bi-level programming model

2014-06-18

2014-09-22錄用日期：2014-10-08

教育部哲學(xué)社會(huì)科學(xué)研究重大課題攻關(guān)項(xiàng)目（11JZD049）.

朱樂群（1990-），男，江蘇連云港人，博士生. *

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1009-6744（2014）06-0152-06

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