(1.北卡羅來(lái)納大學(xué)夏洛特分校土木與環(huán)境工程系，夏洛特28223，美國(guó)；2.杰克遜州立大學(xué)土木與環(huán)境工程系，杰克遜39217，美國(guó))

在資金預(yù)算不確定條件下路面維護(hù)和修復(fù)項(xiàng)目管理決策優(yōu)化方法

(1.北卡羅來(lái)納大學(xué)夏洛特分校土木與環(huán)境工程系，夏洛特28223，美國(guó)；2.杰克遜州立大學(xué)土木與環(huán)境工程系，杰克遜39217，美國(guó))

一個(gè)得到良好開(kāi)發(fā)和維護(hù)的路面管理系統(tǒng)（PMS）能夠幫助管理者做出在什么時(shí)候，對(duì)哪些路段采用什么樣的路面維護(hù)和修復(fù)方案的決定，從而實(shí)現(xiàn)可用資源的最大化.本文提出一種在資金預(yù)算不確定條件下路面維護(hù)和修復(fù)項(xiàng)目管理決策優(yōu)化方法(MPMRPBU)，為確保管理者在一個(gè)決策規(guī)劃時(shí)段內(nèi)，從公路網(wǎng)中選擇并優(yōu)化一組路面維護(hù)和修復(fù)方案，建立隨機(jī)線(xiàn)性規(guī)劃模型求解MPMRPBU問(wèn)題.通過(guò)案例分析，比較在確定性?xún)?yōu)化和隨機(jī)規(guī)劃兩種不同條件下的優(yōu)化方案，研究不同經(jīng)濟(jì)預(yù)算對(duì)優(yōu)化方案的影響.結(jié)果表明，采用隨機(jī)規(guī)劃方法能產(chǎn)生高質(zhì)量的MPMRPBU解決方案,該算法可以解決實(shí)際問(wèn)題.

交通工程；路面管理系統(tǒng)；決策；路面維護(hù)和修復(fù)；優(yōu)化；隨機(jī)規(guī)劃

1 引 言

路面管理系統(tǒng)（PMS）是支持路面維護(hù)和修復(fù)（M＆R）項(xiàng)目管理決策優(yōu)化的主要工具.在長(zhǎng)達(dá)數(shù)年的規(guī)劃期內(nèi)，決定哪些路段應(yīng)納入每年的M＆R項(xiàng)目名單是PMS系統(tǒng)的主要功能之一.路面維護(hù)是一種常規(guī)的預(yù)防性的被動(dòng)維護(hù)方式，通常包括封閉裂縫，修補(bǔ)坑洞，以及其他一些相關(guān)的維護(hù)方法（焦油碎石封層或噴漿密封）.路面修復(fù)是指較大規(guī)模的維修行動(dòng)，旨在加強(qiáng)路面及路基的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，如重鋪路面以增加其結(jié)構(gòu)能力，或局部改造路基并重鋪路面，以完成道路局部重建.路面維護(hù)和路面修復(fù)費(fèi)用都很高，但相比較而言，路面修復(fù)更加昂貴.然而政府及有關(guān)運(yùn)輸部門(mén)（DOT）每年度可用于M＆R的預(yù)算通常不能滿(mǎn)足所有M＆R的需要.因此研發(fā)一個(gè)實(shí)用程序用于路面管理系統(tǒng)的決策支持，提高DOT對(duì)路面維護(hù)和修復(fù)項(xiàng)目的選擇及優(yōu)化過(guò)程的自動(dòng)化程度，可以很好地節(jié)省M＆R成本，提高全系統(tǒng)相關(guān)道路的路面表現(xiàn)及服務(wù)水平[1].

一個(gè)好的PMS決策支持系統(tǒng)可以在兩個(gè)層面上(網(wǎng)絡(luò)層面和項(xiàng)目層面上)協(xié)助決策者進(jìn)行路面管理的相關(guān)工作[3,4].網(wǎng)絡(luò)層面通?？紤]整個(gè)路面網(wǎng)絡(luò)在整個(gè)決策期內(nèi)M＆R的需求估計(jì)及預(yù)算計(jì)劃，項(xiàng)目?jī)?yōu)先方案和工作時(shí)間表的初步制定，可分為規(guī)劃層和項(xiàng)目選擇層[3].規(guī)劃層要制定預(yù)算,以及處理資源在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的分配；項(xiàng)目選擇層涉及優(yōu)化決定項(xiàng)目的相關(guān)次序，以確定哪些項(xiàng)目應(yīng)在每年的規(guī)劃時(shí)間內(nèi)實(shí)施.項(xiàng)目層面通常涉及工程細(xì)節(jié)的落實(shí)及單個(gè)項(xiàng)目的具體實(shí)施.近年來(lái)，很多研究工作提出了解決PMS網(wǎng)絡(luò)層面上的決策問(wèn)題，這其中包括規(guī)劃層[5-9]和項(xiàng)目選擇層的相關(guān)決策問(wèn)題[10,11].

如前所述，一個(gè)好的PMS應(yīng)該能幫助決策者選擇路面維護(hù)和修復(fù)方案，即，使用什么路面維護(hù)和修復(fù)方案，在什么時(shí)間，應(yīng)用于哪個(gè)路段，可以實(shí)現(xiàn)整個(gè)路面網(wǎng)絡(luò)上的現(xiàn)有資源最大化.但由于許多不可預(yù)知的情況，用于運(yùn)輸管理部門(mén)在路面年度維修的預(yù)算通常是有變動(dòng)的.以前的研究很有幫助，但很少有人研究在資金預(yù)算不確定條件下的路面維護(hù)與修復(fù)管理的工程項(xiàng)目問(wèn)題（MPMRPBU）.在未來(lái)的年度資金預(yù)算變得更加不確定的條件下，什么是最好的決策，怎樣才能促使路面工程師/路面維護(hù)經(jīng)理做出明智的決定，得以最好地利用有限的財(cái)政資源.隨機(jī)規(guī)劃在交通研究領(lǐng)域有很多應(yīng)用，包括貨運(yùn)車(chē)隊(duì)管理[12]與汽車(chē)共用系統(tǒng)的應(yīng)用[13].大規(guī)模線(xiàn)性規(guī)劃和多階段隨機(jī)規(guī)劃也在很多文獻(xiàn)中提及[14-27].本文為解決在一定規(guī)劃時(shí)間范圍內(nèi)的MPMRPBU問(wèn)題，建立了MPMRPBU模型并提出一個(gè)隨機(jī)規(guī)劃的優(yōu)化方法來(lái)解決這一多階段隨機(jī)模型.

2 問(wèn)題描述

眾所周知，M＆R的維修可以有任何形式，從最簡(jiǎn)單最便宜的預(yù)防性路面維護(hù)到最復(fù)雜最昂貴的路面修復(fù).而且，在網(wǎng)絡(luò)層面上的優(yōu)化，通常沒(méi)有必要（有時(shí)也不可能）像在項(xiàng)目層面上那樣詳細(xì).五種不同M＆R維修處理方案如下：

(1)什么都不需要（Needs nothing，NN)；

(2)預(yù)防性維護(hù)（Preventivemaintenance，PM)；

(3)輕微修復(fù)（Light rehabilitation，LRhb)；

(4)中等修復(fù)（Mediumrehabilitation，MRhb)；

(5)重度修復(fù)（Heavyrehabilitation，HRhb).

在路面維護(hù)和修復(fù)項(xiàng)目管理決策優(yōu)化過(guò)程中,每個(gè)路段實(shí)際是一個(gè)所謂的管理單元，只能選擇上述五種維修方案中的一個(gè)對(duì)路面進(jìn)行處理.管理單元是指具有類(lèi)似結(jié)構(gòu)及路面狀況的一段道路，并能夠以統(tǒng)一的方式進(jìn)行養(yǎng)護(hù)和維修處理.通過(guò)這樣對(duì)類(lèi)似路面進(jìn)行分組，可以減少公路網(wǎng)中路段的數(shù)量，從而減少優(yōu)化模型中決策變量的總數(shù)，使問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單和更容易處理[2,11].

五種M＆R維修處理方案中每個(gè)M＆R的效益（或有效性）及成本通常是與道路的路段長(zhǎng)度和交通流量密切相關(guān).一般來(lái)說(shuō)，長(zhǎng)的路段或擁有較高交通流量的路段會(huì)產(chǎn)生更大的M＆R效益和M＆R成本.五種候選M＆R維修處理方案中，每個(gè)方案對(duì)路面狀況的改善和有效壽命的延長(zhǎng)，都可以依據(jù)每個(gè)具體路段來(lái)確定.通常情況下，相對(duì)于一個(gè)預(yù)防性的路面維護(hù)方案,一個(gè)更昂貴的路面修復(fù)方案會(huì)產(chǎn)生更好的改善效果.圖1顯示了路面維護(hù)和修復(fù)處理之前和之后,某個(gè)維修處理方案對(duì)道路狀況的影響，其中eij與lij分別代表該處理方案對(duì)第i路段于第 j年執(zhí)行后路面狀況評(píng)分的改善及有效壽命的延長(zhǎng).

圖1 路面狀況評(píng)分和M＆R成效Fig.1 Pavement condition score and M&R effectiveness

道路條件的改善可以用兩個(gè)參數(shù)來(lái)衡量：道路服務(wù)時(shí)效的增加和路況評(píng)分的提高.道路服務(wù)時(shí)效的增加可以解釋為圖1中的兩條狀況衰減曲線(xiàn)之間道路有效壽命的延長(zhǎng)部分（即lij）.路況評(píng)分的提高可以解釋為圖1中兩條狀況衰減曲線(xiàn)之間路況評(píng)分的變化（即eij）.道路狀況評(píng)分（0-100），取決于道路的病害情況和乘坐品質(zhì)，由于它是衡量道路條件的一個(gè)穩(wěn)定指數(shù)，因此被TxDOT使用.M＆R的維修效益可以用初始增加的路況評(píng)分eij乘以延長(zhǎng)的有效壽命lij來(lái)進(jìn)行估算.通常，如果路面條件得分低于50,就表明該路面需要某種類(lèi)型的養(yǎng)護(hù)維修措施[1].雖然許多交通部門(mén)在網(wǎng)絡(luò)層次上路面的狀況評(píng)分通常有一個(gè)傾斜（有時(shí)甚至是嚴(yán)重傾斜）的分布，而且是分布在一個(gè)由100為上限的優(yōu)秀或良好的路面狀況，但為建模簡(jiǎn)單起見(jiàn)，公路網(wǎng)絡(luò)的路段狀態(tài)評(píng)分仍然被假定是呈正態(tài)分布，即,S～N(μ,σ2),其中S是在公路網(wǎng)的路面狀態(tài)得分;μ和 σ2分別是正態(tài)分布N的均值和方差.一般來(lái)講，從取樣觀察得到的統(tǒng)計(jì)信息可以描述為t分布，而且當(dāng)自由度超過(guò)30時(shí),其t值很接近于正態(tài)分布.因此，如果網(wǎng)絡(luò)中有眾多路面單元，這個(gè)路面狀態(tài)得分呈正態(tài)分布的假設(shè)是令人滿(mǎn)意的，盡管在現(xiàn)實(shí)條件下，該狀態(tài)得分實(shí)際上可能遵循一個(gè)偏態(tài)的分布.

為了估計(jì)一個(gè)道路在未來(lái)時(shí)間的狀況以便制定一個(gè)相應(yīng)的道路狀態(tài)轉(zhuǎn)換過(guò)程公式，我們假設(shè)了一個(gè)基于恒定衰減率的過(guò)渡模型.如圖1所示，i路段在j年進(jìn)行了M&R的維修，并在狀態(tài)得分上得到了eij的提高.通?？梢杂脷v史數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算確定一個(gè)具體路段i的道路狀況恒定衰減率pi.如果初始條件的分?jǐn)?shù)是Si0,并在第 j年路況狀態(tài)得分增值為eij(其中 j=1,2,…),那么在以后的時(shí)間t (t＞j)里路面狀況Sit可以用式（1）來(lái)計(jì)算.

顯然，路面單元可能表現(xiàn)得非常不同,因此恒定的衰減率模型是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能夠用來(lái)精確描述路況的復(fù)雜轉(zhuǎn)換過(guò)程.此外，經(jīng)過(guò)預(yù)防性養(yǎng)護(hù)和大修修復(fù)措施的路面表現(xiàn)可能會(huì)很不同，因此針對(duì)每個(gè)M＆R維修后的路面來(lái)確定不同的衰減率是更合適的.同時(shí)，更精確的性能曲線(xiàn)，以及每一個(gè)路面的衰減特性都可以從歷史或其他相關(guān)數(shù)據(jù)來(lái)分析并獲得[2].換句話(huà)說(shuō)，針對(duì)每個(gè)路段,一個(gè)類(lèi)似于式（1）的道路狀況預(yù)測(cè)模型是可以被建立和校準(zhǔn)的，并可在本優(yōu)化模型中采用.

可以用TxDOT PMIS數(shù)據(jù)庫(kù)中各種與路面相關(guān)的歷史數(shù)據(jù)來(lái)標(biāo)定前面討論過(guò)的參數(shù).本文假定對(duì)于五種M＆R維修方案中的每個(gè)路面初始路況得分、衰減速度、M＆R的單位成本，以及M＆R對(duì)路況改善的成效跟有效使用壽命的延長(zhǎng)數(shù)據(jù)都可以從網(wǎng)絡(luò)中的相應(yīng)路段的路面管理信息系統(tǒng)數(shù)據(jù)庫(kù)檢索或計(jì)算到.為了使模型更簡(jiǎn)單，本文不考慮現(xiàn)金折現(xiàn)率，我們對(duì)所有的成本進(jìn)行評(píng)估，并用目前的美元價(jià)值.我們也假定,在五年規(guī)劃期內(nèi),各公路管理單元每年至多只能有一個(gè)M＆R維修的措施方案，而且在五年規(guī)劃期內(nèi)總維修數(shù)可能是有上限的.最后，我們假設(shè)規(guī)劃時(shí)間長(zhǎng)度為五年，因?yàn)樵谶@樣短的時(shí)間內(nèi)一個(gè)路面單元通常只會(huì)需要很少的M＆R維修處理.在網(wǎng)絡(luò)層面上的路面養(yǎng)護(hù)和修復(fù)規(guī)劃中，五到十年是一種比較流行的分析周期[9,11].

3 建立模型

根據(jù)前面討論,我們制定了一個(gè)ILP優(yōu)化模型,表述如下.

設(shè)置/指數(shù)：

i——路段（路面單元）；

j——年；

k——養(yǎng)護(hù)維修方案.

參數(shù)/數(shù)據(jù):

n——網(wǎng)絡(luò)中的路段總數(shù)；

m——規(guī)劃周期內(nèi)的總年數(shù)；

r——候選M＆R維修方案的總數(shù)；

ai——路段i的每車(chē)道日均車(chē)流量；

di——路段i的公里長(zhǎng)度；

eik——維修方案k導(dǎo)致路段i的路況加分；

lik——維修方案k導(dǎo)致路段i以年為單位的有效壽命；

cik——維修方案k導(dǎo)致路段i的每車(chē)道公里單位成本（以千美元為單位）；

bj——第j年的總提供預(yù)算（以千美元為單位）；

pi——路段i狀況的衰減率；

g1——道路用戶(hù)對(duì)所有路段中每個(gè)路段道路狀況得分的最低要求；

g2——客觀上所有路段中每個(gè)路段可能的最大道路狀況評(píng)分值；

g3——在計(jì)劃周期內(nèi)的每個(gè)路段所允許的最多維修數(shù)量；

g4——對(duì)網(wǎng)絡(luò)層次下,決策者對(duì)路況分?jǐn)?shù)平均統(tǒng)計(jì)值的最低要求.

隨機(jī)變量:

決策變量:

xijk——在第 j年路段i維修方案k的決策變量,如果選定則取值為1,否則為0；

Sij——在第 j年路段i的基于初始條件得分為Si0的道路狀況的衍生決策變量.目標(biāo)函數(shù):

約束條件

式（2）中可以看出,我們的目標(biāo)是在規(guī)劃范圍內(nèi)，盡可能最大化整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的M＆R成效（即加權(quán)條件下的得分點(diǎn)）.式（3）和式（4）分別指在第一年，以及所有未來(lái)幾年的預(yù)算約束.

4 情景樹(shù)的生成

圖2給出了一個(gè)基于多階段隨機(jī)規(guī)劃模型的完整場(chǎng)景樹(shù)（也即情景樹(shù)）.在圖2中,樹(shù)中的節(jié)點(diǎn)代表某一特定時(shí)期t的狀態(tài).在節(jié)點(diǎn)做出決策，弧代表不確定變量的實(shí)現(xiàn).在下面（后面）的情景樹(shù)里做出的決定依賴(lài)于在前面父節(jié)點(diǎn)已經(jīng)作出的決定及后面的子節(jié)點(diǎn)的某種不確定性，比如圖2中的L（低），M（中）和H（高）年度預(yù)算方案.需要注意的是，場(chǎng)景的生成是基于假定的離散分布，而且決策者可以指定某種概率分布函數(shù)，這樣問(wèn)題的統(tǒng)計(jì)特性就可以明確加以利用.一個(gè)完整的情景樹(shù)包含在每個(gè)時(shí)間段（或每階段）的不確定變量的實(shí)現(xiàn).實(shí)踐中，只有在第一階段的頂部節(jié)點(diǎn)的解將被用于管理決策.在第二階段及其后作出的決定只是為了找到第一階段決策正確的激勵(lì)機(jī)制[27].

在第一個(gè)時(shí)間段的開(kāi)頭，決策的做出是基于當(dāng)前的信息（和隨機(jī)未來(lái)的實(shí)現(xiàn)）.在第一個(gè)時(shí)間段的結(jié)尾，這個(gè)決定的后果會(huì)顯現(xiàn).鑒于這一后果和下一階段的新信息，一個(gè)新的決定會(huì)在第二時(shí)間段的開(kāi)始時(shí)做出.基于第二時(shí)間的結(jié)果和第三時(shí)間段給出的新信息,決定會(huì)再次做出.整個(gè)決策過(guò)程在原則上會(huì)一直持續(xù)下去.需要注意的是，一旦每個(gè)情景樹(shù)實(shí)現(xiàn)生成了隨機(jī)變量，我們可以使用精確的優(yōu)化方法(比如L形的方法[20])去求解.事實(shí)上，在第一階段的管理決策就是這樣得到的.

圖2 基于多階段隨機(jī)規(guī)劃模型的場(chǎng)景樹(shù)Fig.2 Scenario tree for multi-stage stochastic programming models

5 數(shù)值結(jié)果

5.1 例示網(wǎng)絡(luò)和數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

為了測(cè)試建立的模型,本研究選擇設(shè)計(jì)了一個(gè)由5個(gè)時(shí)間段（以年為單位）和10個(gè)路段為代表的實(shí)驗(yàn)網(wǎng)絡(luò)來(lái)研究MPMRPBU問(wèn)題，并且測(cè)試了使用所開(kāi)發(fā)的隨機(jī)規(guī)劃方法來(lái)解決MPMRPBU問(wèn)題的解的質(zhì)量和效率.輸入數(shù)據(jù)由所有十個(gè)路段的 pi,Si0,ai,和di，以及所有10個(gè)路段和5種候選M＆R維修方案的cik,eik,和lik組成.這些輸入數(shù)據(jù)是集合TxDOT的相關(guān)研究報(bào)告中的信息編制而成.第一年的M＆R預(yù)算b1在運(yùn)行該優(yōu)化模型的時(shí)候已知，并假定為 $364 000.然而在該模型中，在所有未來(lái)的四年里，預(yù)算數(shù)據(jù)bj(j=2,3,4,5)都是隨機(jī)的，但假定服從一個(gè)由三種情況所組成的離散分布(平均預(yù)算為每年$364 000).低（LOW）預(yù)算方案為每年bj= $300 000 (j=2,3,4,5)的 概 率 是 0.4,中（MED）預(yù) 算 方 案 為 每 年 bj= $360 000 (j=2,3,4,5)的概率是0.4,高（HIGH）預(yù)算方案為每年bj=$500 000(j=2,3,4,5)的概率是0.2.表1顯示了一個(gè)典型的路面管理路段的數(shù)據(jù)輸入.

需要注意的是，M＆R維修方案單位成本為千美元每車(chē)道公里.g1到g4的值也需要決定.依據(jù)TxDOT的做法,g1=50,g2=100.g3的值規(guī)定了在5年的規(guī)劃周期內(nèi)所允許的每個(gè)路段所能維修的總次數(shù)，即不應(yīng)該大于5(在最壞情況下，在設(shè)計(jì)期間內(nèi)，一個(gè)路段每年都要維修).g4值由網(wǎng)絡(luò)中假定呈正態(tài)分布的狀態(tài)分?jǐn)?shù)來(lái)確定,即S～N(μ,σ2).對(duì)于參數(shù)μ和σ,在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中路段條件得分比Sα更好的概率為α，g4值可以由 μ=g4=Sα+(Zα)(σ)計(jì)算.例如,德州交通專(zhuān)員約翰遜關(guān)于可允許的最低網(wǎng)絡(luò)路面狀況的說(shuō)法“在網(wǎng)絡(luò)中90%的路段應(yīng)該有70或更高的狀況得分”可被解釋為g4=70+(1.29)×(10)=83(如果σ被假定為10).σ值（路面狀況指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差）可以用歷史數(shù)據(jù)來(lái)獲得. α和Sα值可以作為用戶(hù)要求的網(wǎng)絡(luò)中未來(lái)狀況分?jǐn)?shù)平均值的最低要求來(lái)輸入[1].另外，優(yōu)化模型是用基于SAS的宏開(kāi)發(fā)的OPTMODEL來(lái)解決的[28].

表1 路段i的數(shù)據(jù)輸入Table 1 Data input for road section i

5.2 計(jì)算結(jié)果

5.2.1 確定性的優(yōu)化方法

在本節(jié)中,確定性的優(yōu)化方法(DOA)也指平均預(yù)算解決方法.忽略可能會(huì)引起計(jì)算不便的某種不確定性，通過(guò)使用這些隨機(jī)變量的期望值，做出啟發(fā)式的決策.路面工程師/維修經(jīng)理可能使用年度平均預(yù)算來(lái)做決策，然后通過(guò)優(yōu)化這個(gè)“平均預(yù)算”方案來(lái)執(zhí)行最佳解決方案.利用這種確定性的優(yōu)化方法得到的數(shù)值結(jié)果說(shuō)明如下.

（1）年度預(yù)算影響.

本節(jié)進(jìn)行基于年度預(yù)算的敏感性分析.圖3顯示了預(yù)算對(duì)目標(biāo)值Z的影響.在圖3中可以看到，隨著年度預(yù)算從$200 000往上增加,M＆R效益目標(biāo)函數(shù)值Z也會(huì)在非常大的預(yù)算范圍內(nèi)顯著增加，但這之后隨著預(yù)算的增加,這種改進(jìn)變得并不明顯.這一結(jié)果表明，增加年度預(yù)算是一種可以增加總M＆R效益的有效方法.

圖3 目標(biāo)函數(shù)值Z與年度預(yù)算Fig.3 Objective Z versus annual budget

（2）基于確定性?xún)?yōu)化方法的解決方案.

表2列出了在兩個(gè)不同預(yù)算條件下決策變量的解.該決策變量的解顯示了當(dāng)預(yù)算變得更嚴(yán)格時(shí)，路面維護(hù)和修復(fù)最優(yōu)解通常會(huì)選用成本較低的M＆R維修方案.然而在這種情況下，為了使路面部分保持在某種可接受的情況下，具有高衰減率的路面可能需要更頻繁地維護(hù)或修復(fù).這種趨勢(shì)實(shí)際上是反映路面維護(hù)和修復(fù)戰(zhàn)略的差異.在路面維護(hù)和修復(fù)問(wèn)題的研究上有兩個(gè)相反的策略可以被利用以解決路面問(wèn)題，即“掩蓋它”或“修復(fù)它”.在現(xiàn)實(shí)中,如果在解決道路相關(guān)結(jié)構(gòu)問(wèn)題時(shí)只采取預(yù)防性維護(hù)或小修復(fù),那么結(jié)構(gòu)性問(wèn)題只是在短時(shí)間內(nèi)被掩蓋起來(lái)，相同的問(wèn)題在不久的將來(lái)肯定會(huì)很快重現(xiàn).表2中的優(yōu)化結(jié)果表明，如果M＆R預(yù)算較高，具有更高成本的修復(fù)方案（通常是預(yù)防性的維護(hù)和修復(fù)的正常組合）會(huì)比成本較低的修復(fù)方案更有效，因此，這些方案會(huì)被推薦在M＆R的優(yōu)化項(xiàng)目列表中.而對(duì)于較低的M＆R預(yù)算來(lái)說(shuō)，只有預(yù)防性維護(hù)或小修復(fù)會(huì)被選作可行的解決方案.雖然可行的解決方案仍然是網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)解，但從長(zhǎng)遠(yuǎn)考慮，這些修復(fù)不一定是最節(jié)省成本的方案.

5.2.2 隨機(jī)規(guī)劃（優(yōu)化）方法

如前面所提到的,隨機(jī)優(yōu)化（SP）是一個(gè)建?？蚣埽ǔＳ脕?lái)處理一些問(wèn)題數(shù)據(jù)中的不確定性(預(yù)算的不確定性).這種不確定性表現(xiàn)為三種預(yù)算情形（高、中、低預(yù)算），解決MPMRPBU問(wèn)題是需要考慮這種不確定性的，而不是等到不確定性出現(xiàn)后再尋找一種方法解決它.由于未來(lái)的預(yù)算是未知的，但必須在當(dāng)期（即第一階段）做出決定，因此對(duì)所有場(chǎng)景來(lái)說(shuō)，所有第一階段的優(yōu)化決策值必須是一樣的.利用開(kāi)發(fā)的SAS宏代碼，SP的解是在三個(gè)不確定預(yù)算水平的情況下獲得的，考慮合并所有可能出現(xiàn)的情況，表3中所述的結(jié)果為SP=55 133 760.該值意味著，如果執(zhí)行SP解的決定，可以期望總M＆R效用值為$557 337 60.

路面維護(hù)工程師或維修經(jīng)理可能會(huì)計(jì)算5.2.1中（2）的三個(gè)不確定水平場(chǎng)景的平均預(yù)算（即，364 000美元/年），然后只優(yōu)化“平均預(yù)算”的情況，取得并執(zhí)行最佳解決方案的決定.如果用預(yù)算平均值替換隨機(jī)預(yù)算，問(wèn)題就能得到解決，表3所示的結(jié)果是EB=57 312 000，這意味著總M＆R的效益將會(huì)是57 312 000.如果執(zhí)行SP的解，SP的解決方案僅是55 733 760.這是預(yù)期的，因?yàn)樵搯?wèn)題已經(jīng)從一個(gè)隨機(jī)規(guī)劃問(wèn)題變?yōu)榇_定性?xún)?yōu)化問(wèn)題.當(dāng)預(yù)算是確定的，而不是隨機(jī)的，我們具有完善的預(yù)算信息，作為結(jié)果，相對(duì)于隨機(jī)規(guī)劃方法SP=55 733 760的目標(biāo)函數(shù)值，我們當(dāng)然可以得到一個(gè)更好的解決方案.另外，平均值問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)值大于隨機(jī)問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)值，這正符合Jensen不等式的原則[20,21].

表3 試驗(yàn)研究數(shù)值結(jié)果Table 3 Pilot study numerical results

5.2.3 隨機(jī)解決方案的價(jià)值

SP解決方案的成本和使用“平均預(yù)算”解決方案的預(yù)期總成本之間的差額(對(duì)平均預(yù)算的解在隨機(jī)環(huán)境下進(jìn)行評(píng)價(jià))可以定義為隨機(jī)解決方案的價(jià)值（VSS）.

如果平均預(yù)算問(wèn)題的解在隨機(jī)預(yù)算環(huán)境下評(píng)估，隨機(jī)問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)變?yōu)椋篍EB=54 769 926，表示這是一個(gè)比SP的解（SP=55 733 760）實(shí)際上要差的解決辦法.VSS可以計(jì)算為VSS=SPEEB=963 834，這可以解釋為通過(guò)忽略預(yù)算的不確定性的M＆R決定的成本.雖然這個(gè)數(shù)值并不是很大，但對(duì)于一個(gè)大型網(wǎng)絡(luò)下長(zhǎng)時(shí)間范圍內(nèi)的總價(jià)值來(lái)說(shuō)，卻非常顯著.因此，隨機(jī)優(yōu)化解決方案比平均預(yù)算的解決方案要更有效.

6 研究結(jié)論

本文針對(duì)一個(gè)不確定性預(yù)算條件下路面管理維護(hù)和修復(fù)項(xiàng)目（MPMRPBU）的決策問(wèn)題，制定了一個(gè)隨機(jī)線(xiàn)性規(guī)劃模型，求解了MPMRPBU.計(jì)算結(jié)果是基于一個(gè)案例研究得到的.本文比較和討論了在確定性?xún)?yōu)化和隨機(jī)規(guī)劃兩種不同條件下的優(yōu)化方案.研究了預(yù)算對(duì)優(yōu)化解決方案的影響，表明“總的M＆R效益的最大化”目標(biāo)是與相關(guān)預(yù)算增加成正比.通過(guò)對(duì)決策變量的分析表明，增加預(yù)算可能會(huì)導(dǎo)致M＆R項(xiàng)目的清單中包含更貴的維修方案.計(jì)算結(jié)果也表明采用隨機(jī)規(guī)劃方法能產(chǎn)生高質(zhì)量的MPMRPBU的解決方案,因此該算法可以用于實(shí)際中.

然而，應(yīng)該指出的是，由于計(jì)算時(shí)間和SAS/ OPTMODEL求解能力的限制，使用隨機(jī)規(guī)劃方法來(lái)求解MPMRPBU的執(zhí)行時(shí)間可能會(huì)很長(zhǎng)，而且，算法收斂可能也是一個(gè)比較現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題.在這種情況下，接受足夠好的可行解與適當(dāng)?shù)娜萑淌諗坎罹嗫赡苁潜仨氁x擇的方法.作為未來(lái)研究的一個(gè)重要組成部分，以及CPLEX本身對(duì)大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題的求解速度和能力，可以值得認(rèn)真嘗試.然而，采用隨機(jī)規(guī)劃方法來(lái)解決MPMRPBU的問(wèn)題確實(shí)顯示出高潛力，隨著研究日趨成熟，將會(huì)大有希望.

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FAN(David)Wei*1,WANG Feng2

Managing Pavement Maintenance and Rehabilitation Projects under Budget Uncertainties

FAN(David)Wei1,WANG Feng2
(1.Department of Civil and Environmental Engineering,University of North Carolina at Charlotte,Charlotte 28223,USA；2.Department of Civil and Environmental Engineering,Jackson State University,Jackson 39217,USA)

A well-developed and maintained pavement management system(PMS)empowers a decision maker to select the best maintenance program,i.e.,which maintenance treatment to use and where and when to apply it,so that a maximum utilization of available resources can be achieved.This paper addresses a decision making problem for managing pavement maintenance and rehabilitation projects under budget uncertainty(MPMRPBU).A stochastic linear programming model is formulated and solved for the MPMRPBU so that a set of candidate projects can be optimally selected from the highway network over a planning horizon.Numerical results are discussed based upon a pilot case study.Different optimization solutions based on deterministic optimization and stochastic programming approaches are discussed and compared.The effect of the budget constraint on the optimized solutions is investigated.The computational result indicates a high quality MPMRPBU solution using stochastic programming approach,suggesting that there is a potential that the algorithm can be used for real world applications.

traffic engineering;pavement management systems;decision making;pavement maintenance and rehabilitation;optimization;stochastic programming

2012-11-12

2013-10-24錄用日期：2014-04-11

作者信息：FAN(David)Wei（1974-），男，副教授，博士. *

wfan7@uncc.edu

1009-6744（2014）06-0092-09

U491

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