胡 榮，江 超，李天睿

（南京航空航天大學(xué) 民航學(xué)院，南京210016）

航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭復(fù)雜性與延遲反饋控制

胡 榮*，江 超，李天睿

（南京航空航天大學(xué) 民航學(xué)院，南京210016）

為深入研究航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭的復(fù)雜性及延遲反饋控制方法的有效性，綜合運(yùn)用有限理性決策理論與非線性動(dòng)力學(xué)理論，構(gòu)建航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭博弈模型，分析航空公司復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，研究針對(duì)系統(tǒng)變量、系統(tǒng)參數(shù)的兩類延遲反饋控制方法的有效性與差異性.研究結(jié)果表明，航空公司價(jià)格調(diào)整速度對(duì)模型的復(fù)雜性有顯著影響；選取合適的控制因子，兩類延遲反饋控制方法都能對(duì)陷入混沌的動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭模型實(shí)施有效地混沌控制；兩類延遲反饋控制方法在控制因子取值范圍、收斂速度等方面存有顯著差異；控制因子取值對(duì)系統(tǒng)的收斂速度呈規(guī)律性影響趨勢(shì).

航空運(yùn)輸；延遲反饋控制；博弈論；航空公司；價(jià)格競爭；復(fù)雜性

1 引 言

航空公司是整個(gè)航空運(yùn)輸產(chǎn)業(yè)鏈的主體，具有強(qiáng)大國際競爭力的航空公司是我國建設(shè)民航強(qiáng)國的首要標(biāo)志.由于價(jià)格是市場研究的核心，同時(shí)考慮到航空運(yùn)輸市場是典型的寡頭壟斷競爭市場，故眾多學(xué)者運(yùn)用博弈論對(duì)航空公司價(jià)格競爭問題展開研究.文獻(xiàn)[1]研究了不完全信息的航空公司價(jià)格競爭博弈問題；文獻(xiàn)[2]在考慮“航線網(wǎng)絡(luò)”、“市場威懾”的基礎(chǔ)上，研究了航空公司市場競爭的動(dòng)態(tài)博弈模型；文獻(xiàn)[3]、[4]運(yùn)用博弈論研究了航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭的復(fù)雜性，重點(diǎn)分析了競爭戰(zhàn)略對(duì)價(jià)格競爭的影響；文獻(xiàn)[5]研究了“價(jià)格戰(zhàn)”和“價(jià)格聯(lián)盟”問題，對(duì)東方航空公司和南方航空公司間的“價(jià)格戰(zhàn)”進(jìn)行了模擬和分析；文獻(xiàn)[6]、[7]運(yùn)用博弈論研究了航空公司機(jī)票價(jià)格調(diào)控問題等.自Pyragas提出延遲反饋控制方法后[8]，該方法得到長足發(fā)展與廣泛應(yīng)用.學(xué)者們不僅拓展了延遲反饋控制模型[9]，還研究了高速公路匝道控制系統(tǒng)、汽車動(dòng)力系統(tǒng)、企業(yè)生產(chǎn)系統(tǒng)及房地產(chǎn)投資等領(lǐng)域中的延遲反饋控制問題[10-12].

縱觀當(dāng)前研究文獻(xiàn)，有關(guān)航空公司價(jià)格競爭的研究取得了豐富的成果，但尚有如下內(nèi)容值得進(jìn)一步深化：一是絕大多數(shù)文獻(xiàn)均假設(shè)航空公司能獲取完全的市場決策信息，決策具有完全理性，但在實(shí)際中，航空公司由于受到種種主客觀條件的限制，不可能掌握決策的全部信息，決策只能是有限理性的；二是航空運(yùn)輸市場是典型的多寡頭壟斷競爭市場，如2013年，南航、東航、國航三家航空公司就占據(jù)了我國近60%的航空運(yùn)輸市場份額，屬于典型的三寡頭壟斷.但現(xiàn)有研究以雙寡頭為主，三寡頭研究尚顯不足；三是雖然現(xiàn)有研究解決了航空公司價(jià)格競爭調(diào)控手段與方法的可行性問題，但仍缺少對(duì)調(diào)控方法有效性、差異性等深入研究.

因此，本文針對(duì)上述研究不足，引入有限理性價(jià)格調(diào)整機(jī)制，運(yùn)用博弈理論構(gòu)建航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭模型，同時(shí)構(gòu)建針對(duì)系統(tǒng)變量與系統(tǒng)參數(shù)的兩類延遲反饋控制模型，根據(jù)非線性動(dòng)力學(xué)理論，分析競爭模型的復(fù)雜性，探討兩類延遲反饋控制方法對(duì)混沌控制的有效性、控制結(jié)果的差異性，以期為航空公司市場價(jià)格的有序競爭及有效調(diào)控提供理論指導(dǎo)與實(shí)施建議.

2 基本模型

目前，我國共有近30家航空公司參與航空運(yùn)輸市場競爭，近年主要航空公司的生產(chǎn)數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 2009-2013年我國主要航空公司生產(chǎn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表Table 1 Statistics of production data of main airlines in China from 2009 to 2013

由表1可知，2009-2013年運(yùn)輸量排名前五位的航空公司占據(jù)了全國市場份額的70%左右，剩余20多家航空公司僅占了30%左右的份額；其中，南航、東航和國航的市場份額又遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于海航、深航的份額，三家公司共占據(jù)了全國近60%的市場份額.基于此，可以認(rèn)為我國航空運(yùn)輸市場主要被南航、東航和國航三家公司所占據(jù)，屬于典型的三寡頭壟斷競爭市場.

根據(jù)我國航空運(yùn)輸市場的特征，假定市場中有三家航空公司(分別稱為A1、A2和A3)開展多輪次的價(jià)格競爭，不妨設(shè)Ai在時(shí)期t的機(jī)票平均價(jià)格為 pi(t)，旅客流量為 qi(t)，其中 i=1,2,3, t=0,1,2,…下同，可得航空運(yùn)輸市場需求函數(shù)

式中 ai＞0表示市場對(duì)Ai的需求水平；bi＞0表示價(jià)格敏感系數(shù)；di,ei＞0表示差異化系數(shù)(或稱為交叉價(jià)格敏感系數(shù))；一般而言，有 0＜di, ei＜bi(i=1,2,3)，意味著某航空公司自身的價(jià)格影響大于交叉價(jià)格的影響.假設(shè)每家航空公司的成本函數(shù)均為線性形式，即Ci=ciqi.則航空公司Ai在時(shí)期t的利潤函數(shù)為

邊際利潤為

由于航空公司無法獲取完全的、充分的市場決策信息，其市場價(jià)格決策很難是完全理性的，因此其需要按照一定調(diào)整規(guī)則對(duì)其市場價(jià)格進(jìn)行調(diào)節(jié)直至競爭最終達(dá)到市場均衡.這類市場決策調(diào)整規(guī)則有很多種[13]，而“短視”調(diào)整規(guī)則是市場競爭中最常用、最便捷的調(diào)整機(jī)制，其調(diào)整過程為

式中 αi＞0表示Ai的市場價(jià)格調(diào)整速度，該參數(shù)反映了該航空公司對(duì)邊際利潤信號(hào)的反應(yīng)速度.由式(3)、式(4)，可得航空公司Ai均采用“短視”調(diào)整機(jī)制的動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭模型

3 模型分析

3.1 動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭模型分析

由于只有當(dāng)均衡點(diǎn)非負(fù)時(shí)式(5)才有現(xiàn)實(shí)意義，故在式(5)中令 pi(t+1)=pi(t)，可得非線性式（6）.

式(6)有如下8個(gè)非負(fù)解：

根據(jù)動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性判定定理及July判定條件可知[3,13]，式（6）有界均衡點(diǎn)E0,E1,E2,E3,E4,E5,E6均是不穩(wěn)定均衡點(diǎn)；Nash均衡點(diǎn)E*在滿足July判定條件的情形下是穩(wěn)定均衡點(diǎn).

3.2 延遲反饋控制模型分析

混沌控制的方法很多，但經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的混沌控制方法必須能夠轉(zhuǎn)換成經(jīng)濟(jì)主體可操作的市場競爭適應(yīng)性行為[12].Pyragas提出的延遲反饋控制法可僅依據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)和延遲狀態(tài)獲得控制信息對(duì)系統(tǒng)變量和參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié).延遲反饋控制法在理論上易于實(shí)現(xiàn)，同時(shí)也體現(xiàn)了控制主體對(duì)市場波動(dòng)的延遲決策思想，很大程度上符合經(jīng)濟(jì)混沌系統(tǒng)控制的實(shí)際.

考慮如下形式的延遲反饋系統(tǒng)

式中 x(t)是狀態(tài)變量；u(t)是控制信號(hào).Pyragas的控制模型為

式中 τ為延遲時(shí)間長度；k為控制因子.

根據(jù)延遲反饋控制對(duì)象不同，可劃分為兩大類，針對(duì)系統(tǒng)變量的延遲反饋控制方法和針對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的延遲反饋控制方法.

（1）系統(tǒng)變量的延遲反饋控制模型.

為便于說明問題，本文假設(shè)只有航空公司A3引入延遲反饋控制，將式(8)代入到式(5)中，即可得到式(5)的控制系統(tǒng)

若令延遲時(shí)間長度τ=1，即信息延遲1期反饋到系統(tǒng)，則有

根據(jù)動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性判定定理及July判定條件，即可得出k1的有效取值范圍.

（2）系統(tǒng)參數(shù)的延遲反饋控制模型.

由于式(5)是一個(gè)多參數(shù)非線性系統(tǒng)，參數(shù)αi,ai,bi,di,ei及邊際成本ci均可能引發(fā)系統(tǒng)出現(xiàn)分岔或混沌現(xiàn)象.由于式(5)Nash均衡點(diǎn)的取值與價(jià)格調(diào)整速度αi無關(guān)，參數(shù)ai,bi,di,ei等屬于市場特征參數(shù)，單個(gè)航空公司一般也很難通過對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)來控制混沌；而ci屬于公司內(nèi)部參數(shù)，航空公司可采取相應(yīng)的管理措施加以調(diào)節(jié).同時(shí)，為便于與系統(tǒng)變量延遲反饋控制開展對(duì)比分析，假設(shè)僅航空公司A3引入針對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的延遲反饋控制，可得到控制系統(tǒng)為

式中 u(t)是控制信號(hào)，是式(11)的延遲反饋控制輸入，將τ=1代入，可得

同理，根據(jù)穩(wěn)定性判定定理及July判定條件，可得出k2的有效取值范圍.

4 仿真模擬

本節(jié)利用MATLAB軟件對(duì)航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭的復(fù)雜性及延遲反饋控制有效性、差異性進(jìn)行仿真模擬.

4.1 系統(tǒng)參數(shù)取值的靈敏度

對(duì)航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭模型的系統(tǒng)參數(shù)取值進(jìn)行靈敏度分析，可以求出在保持式(5)處于穩(wěn)定狀態(tài)的前提下，系統(tǒng)參數(shù)取值所允許的變化范圍，進(jìn)而可以確定對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性較為敏感的指標(biāo)集.這將為有效分析動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭的復(fù)雜性、混沌控制有效性等奠定基礎(chǔ).

式(5)是一個(gè)多參數(shù)系統(tǒng)，這些參數(shù)大致可分為兩類：(1)市場特征參數(shù)，如ai,bi等；(2)企業(yè)內(nèi)部參數(shù)，如ci,αi等.我們分別選取a1和c1作為兩類參數(shù)的典型，開展參數(shù)取值的靈敏度分析.設(shè)參數(shù)初始值a1=5，a2=6，a3=5.5，b1=3.5，b2=3.3，b3= 3.1，c1=0.001 5，c2=0.001 3，c3=0.001 1，d1= 0.4，d2=0.5，d3=0.6，e1=0.45，e2=0.55，e3= 0.65，α1=0.3，α2=0.25，α3=0.3.

表2 系統(tǒng)參數(shù)取值的靈敏度分析Table 2 Sensitivity analysis of the system parameters value

綜合a1,c1＞0與上述靈敏度分析結(jié)果，當(dāng)a1∈(0,6.48]或c1∈(0,0.44]時(shí)，式(5)處于穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)參數(shù)a1和c1的取值對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性不敏感.當(dāng)然，其他系統(tǒng)參數(shù)也可采用同樣方法開展靈敏度分析，限于篇幅，本文不詳細(xì)列出分析結(jié)果.

4.2 動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭的復(fù)雜性

圖1描繪的是當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)均取上述初始值時(shí)，三家航空公司市場價(jià)格的動(dòng)態(tài)演化圖.從圖中可以看出隨著α3的取值增大，式(5)由初期的均衡狀態(tài)進(jìn)入到分岔和混沌狀態(tài).系統(tǒng)在分岔和混沌狀態(tài)下，市場價(jià)格波動(dòng)很大，表現(xiàn)出很強(qiáng)的復(fù)雜性，給航空公司的價(jià)格決策帶來困難.

圖1 航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭動(dòng)態(tài)演化圖Fig.1 Bifurcation diagram of airlines’dynamic price competition

圖2描繪的是價(jià)格調(diào)整速度α3=0.44(系統(tǒng)處于混沌狀態(tài))，三家航空公司市場價(jià)格的時(shí)間歷程圖.可知，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)，市場價(jià)格波動(dòng)很大，很難找出某種簡單的變化規(guī)律，系統(tǒng)表現(xiàn)出極強(qiáng)的復(fù)雜性.

圖2 混沌狀態(tài)下航空公司價(jià)格歷程圖Fig.2 Process diagram of airlines’price in chaos state

4.3 延遲反饋控制的有效性

圖3描繪了A3采取系統(tǒng)變量延遲反饋控制法對(duì)圖2實(shí)施混沌控制的效果圖.由圖3可知，隨著k1取值的不斷增大，式(10)逐漸從混沌狀態(tài)穩(wěn)定到均衡狀態(tài)，當(dāng)k1≥0.34時(shí)，式(10)穩(wěn)定于均衡狀態(tài).圖4描繪了A3采取系統(tǒng)參數(shù)延遲反饋控制法對(duì)圖2實(shí)施混沌控制的效果圖.當(dāng)k2≥0.22時(shí)，式(12)穩(wěn)定于均衡狀態(tài).

圖3、圖4表明針對(duì)系統(tǒng)變量、系統(tǒng)參數(shù)的兩類延遲反饋控制方法都能對(duì)陷入混沌狀態(tài)的動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭模型實(shí)施有效的混沌控制，使系統(tǒng)穩(wěn)定于均衡狀態(tài).

4.4 延遲反饋控制的差異性

雖然兩類控制方法均能取得預(yù)期的混沌控制效果，但由于控制對(duì)象選取不同，兩類控制方法也存在明顯差異.

圖3 系統(tǒng)變量延遲反饋控制效果圖Fig.3 Effect diagram of delayed feedback control with system variables

圖4 系統(tǒng)參數(shù)延遲反饋控制效果圖Fig.4 Effect diagram of delayed feedback control with system parameters

首先，控制因子的有效取值范圍明顯不同.從圖3、圖4中可以看出，當(dāng)兩種延遲反饋控制方法對(duì)混沌系統(tǒng)實(shí)施有效地混沌控制時(shí)，控制因子的取值范圍明顯不同，控制因子的最小取值k1大于k2.

其次，系統(tǒng)穩(wěn)定的收斂速度明顯不同.本文假定市場價(jià)格與均衡價(jià)格滿足時(shí)市場競爭達(dá)到均衡.圖5、圖6描繪了k1=k2=0.4，兩種控制方法下的價(jià)格歷程圖.市場競爭達(dá)到均衡時(shí)，競爭周期T1=95、T2=52，顯然有T1＞T2.

此外，收斂速度的變化趨勢(shì)明顯不同.圖7描繪了實(shí)施系統(tǒng)變量延遲反饋控制時(shí)，系統(tǒng)收斂速度隨k1取值變化的演化趨勢(shì)圖，由圖7可知，收斂速度呈現(xiàn)先加速后減速的變化趨勢(shì)；尤其當(dāng)k1取值較小時(shí)，收斂速度變化較快；當(dāng)k1=0.921時(shí)，系統(tǒng)的收斂速度最快，僅需31次市場博弈即可達(dá)到市場均衡.圖8描繪了兩種延遲反饋控制下，收斂速度隨控制因子取值變化的演化趨勢(shì)圖.由圖8可知，當(dāng)控制因子取值較小時(shí)，系統(tǒng)參數(shù)延遲反饋控制下的收斂速度明顯快于系統(tǒng)變量延遲反饋控制的系統(tǒng)；但隨著控制因子取值的增大，系統(tǒng)參數(shù)延遲反饋控制下的收斂速度逐步慢于系統(tǒng)變量延遲反饋控制的系統(tǒng)；特殊地，當(dāng)k1,k2∈[0.763,0.780]時(shí)，兩個(gè)系統(tǒng)的收斂速度相同，均為經(jīng)37次博弈達(dá)到市場均衡，如圖8中M所示區(qū)域.

圖5 系統(tǒng)變量延遲反饋控制的歷程圖Fig.5 Process diagram of delayed feedback control with system variables

圖6 系統(tǒng)參數(shù)延遲反饋控制的歷程圖Fig.6 Process diagram of delayed feedback control with system parameters

圖7 系統(tǒng)變量延遲反饋控制的收斂速度變化圖Fig.7 Convergence speed of delayed feedback control with system variables

圖8 兩種延遲反饋控制的收斂速度對(duì)比圖Fig.8 Convergence speed of delayed feedback control with system variables and parameters

5 研究結(jié)論

定價(jià)問題是航空公司參與市場競爭的重要決策議題.本文引入有限理性理論，研究了航空公司動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭的復(fù)雜性和兩類延遲反饋控制方法的有效性、差異性.研究結(jié)果表明：

(1)采用有限理性價(jià)格調(diào)整機(jī)制參與市場競爭的航空公司，其價(jià)格調(diào)整速度的快慢對(duì)動(dòng)態(tài)價(jià)格競爭的穩(wěn)定性有顯著影響，一旦價(jià)格調(diào)整速度超過某一臨界值，系統(tǒng)將表現(xiàn)出分岔、混沌等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象；

(2)只需選取合適的控制因子，針對(duì)系統(tǒng)變量與系統(tǒng)參數(shù)的兩類延遲反饋控制方法都能對(duì)混沌系統(tǒng)實(shí)施有效地混沌控制；

(3)由于控制對(duì)象不同，兩類控制方法的控制因子有效取值范圍、收斂速度等有顯著差異；

(4)控制因子是實(shí)施延遲反饋控制的關(guān)鍵，隨著控制因子取值的增大，系統(tǒng)收斂速度呈現(xiàn)先加速后減速的變化趨勢(shì).

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Complexity and Delayed Feedback Control of Airlines’Dynamic Price Competition

HU Rong，JIANG Chao，LI Tian-rui
（College of Civil Aviation,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016，China）

To investigate the complexity and validity of the delayed feedback control method in airlines’dynamic price competition,the model of airlines’dynamic price competition is established by using the theory of bounded rationality and nonlinear dynamics,and complexity of airlines dynamic behavior is analyzed.The validity and differences of two kinds of delayed feedback control methods which aimed at system variables and system parameters are also discussed.The simulation results show that the speed of airlines’price adjustment has significant effects on the complexity of model.The dynamic price competition model enables to maintain stable with controlled by two kinds of delayed feedback control method if appropriate control factors are chosen.Besides,two kinds of delayed feedback control method have significant difference in the value range of control factors and the convergence speed,and the value of control factors has a regular influence on the system’s convergence speed.

air transportation；delayed feedback control；game；airlines；price competition；complexity

2014-06-11

2014-08-12錄用日期：2014-09-15

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（71201082）;中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金（NR2014007）.

胡榮(1980－)，男，江蘇揚(yáng)州人，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師. *

hoorong@nuaa.edu.cn

1009-6744(2014)06-0042-08

U8；N94

A