鄧秋玲，韋新星

（廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530004）

泊松過程和排隊論在銀行排隊問題中的研究

鄧秋玲，韋新星

（廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530004）

銀行排隊現(xiàn)象屢見不鮮，如何緩解和控制銀行的排隊問題一直是顧客和銀行管理者共同關(guān)心的問題.基于泊松過程和排隊論處理銀行排隊問題，確定當(dāng)前銀行所需的服務(wù)窗口數(shù)目，理論計算結(jié)果與銀行當(dāng)前的實(shí)際情況相符.驗(yàn)證了二者的結(jié)合是解決銀行排隊問題的一種實(shí)用新途徑，且能夠?yàn)殂y行的窗口數(shù)目設(shè)置、最優(yōu)系統(tǒng)問題提供決策支持.

銀行；排隊問題；泊松過程；排隊論；最優(yōu)系統(tǒng)

經(jīng)濟(jì)發(fā)展給銀行業(yè)帶來繁榮景象的同時，也帶來了一些不可避免的問題.其中最為突出的是銀行的排隊問題[1].針對該問題，目前很多銀行都采取了一些相應(yīng)措施，諸如調(diào)整銀行網(wǎng)點(diǎn)的設(shè)置、引導(dǎo)顧客使用自助設(shè)備等，但效果均不明顯.

排隊論[2]是研究系統(tǒng)由于隨機(jī)因素干擾而出現(xiàn)排隊現(xiàn)象的一門學(xué)科，能夠在研究各種排隊系統(tǒng)概率規(guī)律性的基礎(chǔ)上，解決相應(yīng)排隊系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計和最優(yōu)控制問題.將泊松過程與排隊論結(jié)合，并應(yīng)用到銀行窗口服務(wù)中研究，是解決銀行排隊問題的一次新角度嘗試.

1 相關(guān)理論

1.1 泊松過程

泊松過程[3-4]是應(yīng)用最廣泛的一類隨機(jī)過程，它常用來描述排隊系統(tǒng)中顧客到達(dá)的過程.

記N（t）為時間區(qū)間[0，t）（t＞0）內(nèi)發(fā)生的事故數(shù)，如果N（t）是一個隨機(jī)變量，那么就稱為一個隨機(jī)過程.

泊松過程的定義為：對于隨機(jī)過程{N（t），t≥0}，如果滿足

①N（0）=0；

②具有獨(dú)立增量；

③在任何長度為t的時間內(nèi)，發(fā)生的事件數(shù)服從參數(shù)為λt的泊松分布.

則稱上述過程為泊松過程，且λ為其強(qiáng)度.

1.2 排隊系統(tǒng)與泊松過程[5]

如果N（t）為時間區(qū)間[0，t）（t＞0）內(nèi)到達(dá)系統(tǒng)的顧客數(shù)，那么N（t）是一個隨機(jī)變量，且是一個隨機(jī)過程.若該隨機(jī)過程滿足：

①在不相重疊的區(qū)間內(nèi)，顧客的到達(dá)數(shù)是相互獨(dú)立的；

②在時間區(qū)間[t，t+Δt）內(nèi)，顧客的到達(dá)與時間起始點(diǎn)t無關(guān)，而只與區(qū)間長度Δt有關(guān)；

1.3 排隊論基本知識[6]

一般的排隊系統(tǒng)由三個基本部分組成：輸入過程、排隊規(guī)則和服務(wù)機(jī)構(gòu).當(dāng)研究的是多服務(wù)臺單隊列隊時，排隊過程見圖1.

圖1 多服務(wù)臺單隊系統(tǒng)Fig.1One team system with multi service platform

銀行排隊問題是一個典型的并列多服務(wù)臺單隊排隊系統(tǒng)，可表示為M/M/s模型.它是指輸入過程為泊松輸入、服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布、共有s個服務(wù)窗口的排隊系統(tǒng)模型.現(xiàn)對該模型所用到的一些數(shù)量指標(biāo)符號作下述規(guī)定：

L：平均隊長，表示系統(tǒng)中的顧客數(shù)，是排隊等候的顧客和正在接受服務(wù)的顧客的總和.

Lq：平均列隊長，表示系統(tǒng)中排隊等候的顧客數(shù).

W：平均逗留時間，包括等待時間和服務(wù)時間.

Wq：平均等待時間，也稱平均排隊等待時間.

P0：系統(tǒng)到達(dá)平衡時，所有服務(wù)臺空閑的概率.

λ：顧客到達(dá)的平均速率，即單位時間內(nèi)平均到達(dá)的顧客數(shù).

μ：平均服務(wù)速率，即單位時間內(nèi)服務(wù)完畢離去的顧客數(shù).

ρ：服務(wù)強(qiáng)度，表示每個服務(wù)窗口單位時間內(nèi)的平均服務(wù)時間，有公式成立，且只有當(dāng)ρ＜1時才不會排成無限的隊列.

從狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移關(guān)系分析M/M/s模型，可以得到：

用遞推法解上述差分方程，得到狀態(tài)概率：

于是求得各指標(biāo)如下：

平均隊長

平均列隊長

平均逗留時間

根據(jù)上述各表達(dá)式可以知道，只要確定了顧客到達(dá)的平均速率λ和平均服務(wù)速率μ，即可計算出W和Wq，進(jìn)而確定服務(wù)窗口數(shù)量.

1.4 排隊系統(tǒng)最優(yōu)化

銀行排隊系統(tǒng)包括顧客和銀行兩方面.顧客總是希望逗留時間越短越好，服務(wù)窗口數(shù)目越多越好、服務(wù)效率越高越好，而這些往往會使得銀行的服務(wù)費(fèi)用大大增加，有損銀行的利益.因此，在考慮銀行排隊的優(yōu)化問題時，應(yīng)從顧客和銀行雙方的利益出發(fā)，以費(fèi)用作為指標(biāo)，進(jìn)行考察[7].

至于最佳服務(wù)臺數(shù)目s*的確定，在M/M/s模型中，服務(wù)臺數(shù)可控，取單位時間全部費(fèi)用的期望值的最小者，即

其中s為服務(wù)臺數(shù)，cs是每個服務(wù)臺單位時間的成本，cw是每個顧客在系統(tǒng)停留單位時間的費(fèi)用.cs和cw均可人為給定.運(yùn)用邊際分析法有

結(jié)合（6）和（7）式并化簡得

此時，依次求s=1，2，…時的L值，并計算相鄰兩個L值的差，鑒于cs/cw是已知數(shù)，故可根據(jù)該數(shù)落在哪個不等式的區(qū)間來確定最優(yōu)服務(wù)臺數(shù)s*.

2 基于泊松過程和排隊論的銀行排隊問題分析

2.1 數(shù)據(jù)處理

以某銀行為研究對象，對其進(jìn)行多次實(shí)際調(diào)查和統(tǒng)計，選取其中一天上午9點(diǎn)30分到11點(diǎn)30分內(nèi)所到達(dá)顧客的相關(guān)信息進(jìn)行匯總整理，得到樣本數(shù)據(jù).部分?jǐn)?shù)據(jù)見表1.

表1 各時間段所到達(dá)的顧客數(shù)Tab.1Number of customers who arrive at each time

2.2 顧客流量分析和服務(wù)時間分析

結(jié)合表1的數(shù)據(jù)，運(yùn)用SPSS統(tǒng)計軟件進(jìn)行單樣本K-S檢驗(yàn)，結(jié)果見表2.

表2 單樣本Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)Tab.2Kolmogorov-Smirnov test of single sample

a.檢驗(yàn)分布為Poisson分布.

b.根據(jù)數(shù)據(jù)計算得到.

由于P=0.992＞0.05，故可認(rèn)為銀行顧客流量過程服從泊松分布.同時還可以知道，顧客到達(dá)的平均速率λ=5（人/10分鐘）=0.5（人/分鐘）.

同理可驗(yàn)證銀行排隊系統(tǒng)的服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布，且還可得到每個窗口的平均服務(wù)速率μ=3（人/10分鐘）=0.3（人/分鐘）.

2.3 各項(xiàng)指標(biāo)計算值[8]

結(jié)合公式（1）-（5），可以得到s取不同值時各指標(biāo)對應(yīng)的計算值.

窗口空閑概率

平均隊長L=3.772+2-0.833=5.438（人）

④當(dāng)s=4時，P0=0.186，Lq=0.074（人），L=1.742（人），Wq=0.148（分鐘），W=3.484（分鐘）.

⑤當(dāng)s=5時，P0=0.188，Lq=0.015（人），L=1.680（人），Wq=0.030（分鐘），W=3.360（分鐘）.

現(xiàn)將各指標(biāo)計算值列入表3.

由表3知，當(dāng)銀行設(shè)置3個服務(wù)窗口時，減少排隊人數(shù)3.772-0.377=3.395≈3人，排隊問題可以得到較好解決；但當(dāng)設(shè)置4個服務(wù)窗口時，減少的排隊人數(shù)0.377-0.074=0.303人，排隊問題沒能得到很好解決.

2.4 銀行排隊系統(tǒng)的最優(yōu)化

鑒于經(jīng)驗(yàn)分析，假設(shè)cs為1（元/分鐘），cw為0.8（元/分鐘）.結(jié)合上表和式子（6）、（8），得到表4.

表3 各指標(biāo)計算值Tab.3Calculated values of each index

表4 排隊系統(tǒng)總費(fèi)用Tab.4Total cost of queuing system

則由于cs/cw=1.25，落在區(qū)間（0.573，3.393）內(nèi)，所以s*為3.且從上表中的最右邊一列也可驗(yàn)證，當(dāng)設(shè)置3個服務(wù)窗口時的總費(fèi)用是最小的，即

minZ（s*）=Z（3）=css+cwL=13+0.82.045=4.636（元）

綜上，在該時間段內(nèi)，當(dāng)該銀行設(shè)置的服務(wù)窗口數(shù)目為3時，顧客和銀行的利益達(dá)到最優(yōu)平衡.同時，根據(jù)觀察得知，此結(jié)論與當(dāng)前銀行的實(shí)際情況相符.

（1）將泊松過程與排隊論結(jié)合，驗(yàn)證了在銀行排隊系統(tǒng)中，顧客流量服從泊松分布，而窗口服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布.

（2）通過對基于泊松過程和排隊論的銀行窗口排隊問題的實(shí)際應(yīng)用，驗(yàn)證了二者的結(jié)合是解決銀行排隊問題的一種新途徑，且能夠?yàn)殂y行的窗口數(shù)設(shè)置、最優(yōu)系統(tǒng)問題提供決策支持.

3 結(jié)論

[1]高斯博.銀行排隊問題及窗口設(shè)置優(yōu)化研究[J].財政金

[2]融,2011(7):80-81.王興貴,焦?fàn)幉?基于排隊論的銀行排隊問題研究[J].湘

[3]潭師范學(xué)院學(xué)報:社會科學(xué)版,2008,30(1):58-60.王東升,劉玉堂.泊松過程在排隊論中的應(yīng)用[J].河南機(jī)

[4]電高等專科學(xué)校學(xué)報,2007,15(4):121-125.盛驟,謝式千,潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京:高等

[5]教育出版社,2008:356-357.

[6]熊偉.運(yùn)籌學(xué)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2005:193-212.錢頌迪,顧基發(fā),郭耀煌,等.運(yùn)籌學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出

[7]版社,2005:325-337.肖立順,石玉文,黃勇博.銀行排隊系統(tǒng)的隨機(jī)分析[J].

[8]信息與電腦,2009(8):15.覃志奎.基于銀行排隊問題的數(shù)學(xué)模型及求解[J].大眾科學(xué),2008(3):24-26.

責(zé)任編輯：畢和平

Study of Poisson Process and the Queuing Theory in the Bank Queuing Problem

DENG Qiuling，WEI Xinxing
（College of Mathematics and Information Science，Guangxi University，Nanning 530004，China）

Bank queuing phenomenon is common,and it’s the concern that how to alleviate and control the bank queuing problem for both customers and the bank managers.The article deals with the problem of bank queuing based on the Poisson process and the Queuing theory,and determines the number of service window.The result shows that it’s the same with the actual.Then we conclude that the combination of Poisson process and Queuing theory is a practical new way to solve the problem of bank queuing,and can provide decision support for the setting of the number of windows as well as the optimal system problems.

bank；queuing problem；Poisson process；Queuing theory；optimal system

O 211.6

A

1674-4942（2014）01-0011-04

2013-09-15

廣西自然科學(xué)基金（2012GXNSFBA053010）