方衛(wèi)華

（1.南京理工大學理學院，江蘇南京210094；2.水利部南京水利水文自動化研究所，江蘇南京210012）

偏微分方程性質(zhì)對大壩安全監(jiān)控的意義

方衛(wèi)華1，2

（1.南京理工大學理學院，江蘇南京210094；2.水利部南京水利水文自動化研究所，江蘇南京210012）

為夯實大壩安全監(jiān)控理論基礎(chǔ)，采用理論分析的方法，以典型二階線性偏微分方程解的極值原理、解的存在唯一性和穩(wěn)定性、影響區(qū)域以及時間反演對稱性等性質(zhì)為例，給出了偏微分方程性質(zhì)在大壩安全監(jiān)控包括測值分析、監(jiān)控儀器布置、儀器量程選擇和誤差估計等方面的理論指導作用。分析結(jié)果表明熟悉偏微分方程的性質(zhì)對提高大壩安全監(jiān)控理論水平具有重要意義。

偏微分方程；大壩安全監(jiān)控；模型建立；誤差估計

大壩安全監(jiān)控的發(fā)展離不開相應(yīng)的數(shù)學和力學理論，如應(yīng)用應(yīng)變張量（第一）不變量進行應(yīng)變計組誤差分析、有效應(yīng)力原理進行埋設(shè)滲壓計測值分析以及彈性地基梁和懸臂梁解析解確定變形監(jiān)控統(tǒng)計模型的因子等［1］。眾所周知，偏微分方程是描述自然規(guī)律的有力工具，在大壩安全監(jiān)控中，常見的熱傳導、振動和穩(wěn)定滲流場（溫度場）以及彈性力學等問題都可以分別歸結(jié)為拋物型、雙曲型和橢圓型偏微分方程加以研究［2］。盡管有關(guān)偏微分方程研究的成果眾多，但直接應(yīng)用偏微分方程理論指導大壩安全監(jiān)控的工作還未涉及［3］。也正是因為如此，隨著大壩安全監(jiān)控實測數(shù)據(jù)的不斷增加，人們越來越意識到加強大壩安全監(jiān)控相關(guān)理論研究的重要性，大壩安全監(jiān)控理論的發(fā)展已成為制約大壩安全監(jiān)測技術(shù)進一步發(fā)展的瓶頸。實際上，深入理解偏微分方程的數(shù)學性質(zhì)不僅是建立相應(yīng)測值數(shù)學模型、反演相關(guān)物理參數(shù)的基礎(chǔ)，而且對大壩安全監(jiān)控中的誤差分析、測點布置和儀器選型等都具有十分重要的意義。為此，本文將以二階線性偏微分方程為例，分析其在指導大壩安全監(jiān)控方面的作用，借此引起人們對理論研究的重視。

1 偏微分方程與大壩安全監(jiān)控的關(guān)系

1.1 大壩安全監(jiān)控中的常見偏微分方程及分類

（1）不穩(wěn)定的熱傳導和滲流問題可以用拋物型方程加以描述，如混凝土大壩施工期濕度和溫度傳導、多層多孔介質(zhì)中部分飽和滲流問題描述的具有間斷系數(shù)都可以用非線性拋物方程描述，如平面正交各向異性不穩(wěn)定滲流方程可以寫成［4－9］：

（2）地震、泄洪或發(fā)電誘發(fā)振動、波浪或水錘沖擊等導致的大壩振動和波傳播問題都可以用雙曲方程加以描述。

（3）在穩(wěn)定或平衡狀態(tài)研究中，橢圓型方程在工程安全中占據(jù)重要位置，如穩(wěn)定溫度場、穩(wěn)定滲流場以及彈性力學平衡問題等都可以用橢圓方程加以描述。

對于線彈性體，設(shè)其位移場為 u＝ ［u1，u2，u3］T，則用位移分量表示的平衡微分方程為［10］

其中：Xi為對應(yīng)方向的體力分量；E、μ分別為楊氏彈性模量和泊松比?？梢娛剑?）為橢圓型方程。

平面問題兩個正交方向的正應(yīng)力之和（σx＋σy）滿足Possion方程，如平面應(yīng)力條件下，應(yīng)力滿足：

當只受到空間常體力（如重力壩或慣性力）條件下，式（3）和式（4）相應(yīng)的Possion方程轉(zhuǎn)化成標準Laplace方程Δ（σx＋σy）＝0?？梢娋€彈性力學中許多方程都可以轉(zhuǎn)化為（二階）橢圓方程（組）。總之，穩(wěn)定滲流場、溫度場和平衡問題都可以歸結(jié)為橢圓型偏微分方程問題。

1.2 偏微分方程類型轉(zhuǎn)化與大壩安全性態(tài)演化的關(guān)系

一類偏微分方程對應(yīng)一類工程安全的狀態(tài)及其演化，方程的系數(shù)反映具體結(jié)構(gòu)參數(shù)或各種參數(shù)之間的耦合影響。如式（1）中滲透系數(shù)是飽合度的函數(shù)，在不同的結(jié)構(gòu)狀態(tài)下，這種函數(shù)關(guān)系是不同的［11］。方程系數(shù)的變化 ，包括系數(shù)數(shù)量及其物理內(nèi)涵的變化是工程結(jié)構(gòu)狀態(tài)發(fā)生改變的顯著標志。當方程系數(shù)變化時，線性偏微分方程可能轉(zhuǎn)化為另外的線性偏微分方程、半線性偏微分方程、擬線性偏微分方程甚至完全非線性偏微分方程?？傊?，方程類型的改變反映了工程安全狀態(tài)的改變，而通過方程類型和性質(zhì)也可以分析大壩的安全狀態(tài)。

現(xiàn)以涉水（風）工程方面的Navier－Stokes方程（組）為例進行說明。Navier－Stokes方程（組）是分析工程荷載和液固耦合系統(tǒng)穩(wěn)定的基礎(chǔ)。根據(jù)不同的簡化，Navier－Stokes方程（組）屬于不同的類型，如一維非定常Euler方程為雙曲型、二維（非）定常Euler方程為雙曲型或雙曲－橢圓型、定常不可壓縮方程為橢圓型、定常可壓Navier－Stokes方程是雙曲橢圓型、利用邊界層理論簡化的Navier－Stokes方程為拋物型方程等?？梢奛avier－Stokes方程（組）的類型依賴于流場的特性，它們可能是橢圓型、拋物線型、雙曲線型或混合型［13－14］。

利用實測資料建立偏微分方程尚有一定的難度，利用實測資料和相應(yīng)偏微分方程的匹配程度確定工程或結(jié)構(gòu)所滿足的微分方程，或直接利用數(shù)據(jù)同化方法，將實測資料和數(shù)理方程進行結(jié)合，這也是利用偏微分方程分析工程安全狀態(tài)的有效方法［1］。

2 典型偏微分方程性質(zhì)及其作用

2.1 極值原理與上下界估計

古典解估計包括解及其梯度估計，前者可以為監(jiān)測儀器的量程選擇和粗差分析提供基礎(chǔ)，后者對測點布置疏密起指導作用，即在待監(jiān)測物理量空間梯度大的地方測點加密，空間梯度比較小的位置降低測點密度。在時間梯度大的地方加密測次，在時間梯度小的地方降低測次［15］。

2.1.1 拋物型方程

在大壩安全監(jiān)控中的常見二階拋物型方程的混合初邊值問題可以寫成：

類似地，當溫度場或滲流場等監(jiān)測物理量 u∈C2，1（ΩT）∩ C（）滿足如下方程：

對于區(qū)域上初始條件已知，且 u∈C2，1（QT）∩C（）滿足如下拋物方程：

總之，對于一般的拋物型方程，其極值總在拋物邊界上達到，而對于式（8）、式（9）和式（10），溫度場或滲流場等將滿足更嚴格的有界條件。這對于不穩(wěn)定溫度場或滲流場的測值分析和儀器量程選擇等都具有十分重要的指導意義。

2.1.2 雙曲型方程

雙曲型（波動）方程混合問題可以表示為：

波動方程一般不存在極值原理，即對于振動難以找到振動位移的極大值滿足的規(guī)律。當初始條件滿足不強的約束條件時，對多個空間變量的雙曲型方程組的Cauchy問題甚至連整體光滑解都不可能存在［12］。

2.1.3 橢圓型方程

設(shè)穩(wěn)定條件下大壩的溫度場、滲流場函數(shù)為u（x，t），則函數(shù) u（x，t）為Laplace方程的解。當u（x，t）在ˉΩ上連續(xù)時，則 u（x，t）一定在邊界?Ω上取到最大值和最小值。即若在邊界?Ω上成立u≤v，則在 Ω內(nèi)也成立著u≤v。并且只有u≡v時，在Ω內(nèi)才會有等號成立。根據(jù)式（2），在滿足平面假設(shè)條件下，應(yīng)力增量的第一不變量在邊界取得極值。類似地可以得到橢圓型方程的非負最大值原理和Hopf邊界點引理。

假設(shè) u∈C2（Ω）∩C（ˉΩ）為式（12）的任意一個解，且 L滿足在 Ω中是一致橢圓型的和（L＋h）［u］＝f（x）≥0，h≤0及L的系數(shù)一致有界，則：

（1）u在ˉΩ上的非負最大值必在Ω的邊界?Ω上達到，即max｛u（x）|x∈ˉΩ｝＝max｛u（x）|x∈?Ω｝；

（2）若 Ω單連通而且存在一點x0∈ Ω，使得u（x0）＝ max｛u（x）|x ∈ ˉΩ｝，則 u（x0） ≡u（x）｛?x∈ˉΩ｝。

拋物、雙曲及橢圓型方程解及其梯度往往對應(yīng)大壩安全監(jiān)控中的重要物理量及其分布，一般情況下，對解或其梯度進行估計常運用古典Hopf第一、第二極值原理，在此基礎(chǔ)上推導出由這些方程邊值問題的解或解的梯度所定義的范函的極值原理［17］。

2.2 唯一性和穩(wěn)定性

2.2.1 拋物型方程

拋物型方程（4）在區(qū)域Ω×T上的解是唯一的，而且連續(xù)地依賴于邊界?Ω×0上所給定的初始條件及邊界條件。上述定理說明：①在初始條件和邊界條件相同的情況下，即 φ（x）、μ（x）、g（x，t）相等時，實測資料在理論上應(yīng)該是唯一的，如考慮測量系統(tǒng)的誤差，每次（多次）測值應(yīng)該在理論值加一定的允許誤差范圍內(nèi)，滿足一定的重復性。②當邊界條件（或初始條件）分別為 φ1（x）＜ φ2（x）＜ φ3（x）時，對應(yīng)的實測資料在剔除儀器測值誤差后也應(yīng)該滿足 m1（x）＜ m2（x）＜ m3（x）。③由定理2可知，通過長時間的邊界測量 g（x，t），可以獲得對應(yīng)的區(qū)域 Ω的內(nèi)部測值u（x，t），即在準確知道材料參數(shù) a的前提下，無需在內(nèi)部設(shè)置測點。

2.2.2 雙曲型方程

雙曲型（波動）方程（10）的解是唯一的，并且解u連續(xù)依賴于初值φ（x），ψ（x）及右端項g（x，t）。其中 u（x，t）為不上述說明波動方程初邊值問題的解u（x，t）在下述意義下關(guān)于初始值（φ，ψ）與方程右端項f是穩(wěn)定的，即對任何給定的ε＞0，一定可以找到僅依賴于ε和T的η＞0，只要 ‖φ1－φ2‖≤ η，‖φ1x－φ2x‖L2（Ω）≤ η，‖φ1y－φ2y‖L2（Ω）≤η，‖ψ1－ψ2‖≤ η，‖f1－f2‖≤ η，那么以（φ1，ψ1）為初值、f1為右端項的解 u1與以（φ2，ψ2）為初值、f2為右端項的解u2之差在0≤t≤ T上滿足

2.2.3 橢圓型方程

對于有限區(qū)域的Dirichlet內(nèi)問題：

的解存在唯一，且連續(xù)依賴于邊值條件。

對于地下廠房或洞室等Dirichlet外問題：

的解存在且唯一，并連續(xù)依賴于邊值條件。Neumann內(nèi)問題：

的解存在，則除相差一常數(shù)因子外，解是唯一的。Neumann外問題：

解存在且唯一。總之調(diào)和方程第一、第二和第三邊值問題的解如存在必唯一。對于 Possion方程和Helmholtz方程和Lame－Navier方程也被證明，如果解存在必唯一。

由上述定理可知，橢圓型方程的解完全依賴于邊界條件，因此只需要獲得邊界條件（根據(jù)邊界條件確定），即只需要在邊界獲得荷載和作用信息，以及材料的物理參數(shù)，即可獲得結(jié)構(gòu)內(nèi)部場的分布，從而檢驗實測資料的正確性和進行有關(guān)預(yù)測。

2.3 影響區(qū)域與依賴區(qū)域

影響區(qū)域與依賴區(qū)域是測點布置、反演分析、測值分解、因子選擇的基礎(chǔ)，通過研究偏微分方程的影響區(qū)域，從而為上述問題的解決提供理論支撐具有十分重要的意義。

2.3.1 拋物型方程

對于拋物型方程，初始時刻一點的影響區(qū)域是該時間點以后的整個空間，同樣一點的依賴區(qū)域也是整個空間以前時段的函數(shù)分布。

2.3.2 雙曲型方程

雙曲方程式（10）在三角形區(qū)域內(nèi)的解 u（x，t）由［x1，x2］上的初值分布惟一地決定，而與此區(qū)間以外的初值無關(guān)。參見圖1，A點決定域為三角形ABC所圍成的區(qū)域，BC的影響區(qū)域為兩條點畫線所確定的區(qū)域。對于大壩安全監(jiān)控而言，影響區(qū)域內(nèi)所測到的物理量與 BC區(qū)域初始條件是相關(guān)的，但不能由 BC區(qū)域唯一確定，不能建立確定性函數(shù)關(guān)系。決定區(qū)域的監(jiān)測物理量是由 BC區(qū)域物理量唯一確定的，兩者之間可以建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。在考慮儀器監(jiān)測誤差的條件下，兩者可以建立良好的統(tǒng)計模型。在影響區(qū)域外，監(jiān)測物理量與 BC上的初始條件是獨立的，也就是說不可能通過影響區(qū)域外的監(jiān)測物理量反演到初始條件BC上的物理量。

圖1 線性雙曲方程解的影響區(qū)域和決定域

對于高維雙曲型方程，初始時刻一點的影響區(qū)域是以該點為頂點的、沿時間正向傳播的特征錐面。一點的依賴區(qū)域是以該點為頂點的特征錐沿時間逆向直到初始時刻的特征錐所形成的球面。

對于線性雙曲方程，由于邊界條件的變化會在影響區(qū)域內(nèi)得到相應(yīng)的反映，因此通過影響區(qū)域內(nèi)部的測點信息反饋分析以前時刻或邊界區(qū)域的信息變化。對于非線性雙曲方程，如淺水方程，即使邊界條件是光滑的，解也可能存在間斷，因此難以利用區(qū)域內(nèi)部測值的連續(xù)性反映邊界的連續(xù)性。

2.3.3 橢圓型方程

對于橢圓方程，邊界曲面上任意小的影響區(qū)域都是整個區(qū)域。在邊界上數(shù)據(jù)分布的不規(guī)則變化，經(jīng)過整個區(qū)域的“平均”，影響的差別就不是很明顯，如彈性力學理論中的S.Venant原理。在橢圓方程控制之下，區(qū)域 Ω相當于一個平滑濾波器，使得邊界環(huán)境或荷載的變化在區(qū)域內(nèi)的影響變得平滑，因此在橢圓方程控制的穩(wěn)定溫度場、穩(wěn)定滲流場以及彈性力學中，要通過區(qū)域內(nèi)有的有限點信息分辨邊界的微弱變化必須采用高分辨率和靈敏度的儀器。

2.4 時間反演與信息傳播速度

設(shè)在某些外界條件下按某種規(guī)律變化的一物理狀態(tài)，在時間 t1時處于狀態(tài)A，到時間t2時變?yōu)闋顟B(tài)B；如果在 t2時刻的狀態(tài)B可以沿著相反的變化過程回復到原來的狀態(tài)A，而外界條件不發(fā)生其他的變化，則這物理狀態(tài)的變化過程是可逆的，否則是不可逆的。

2.4.1 拋物型方程

拋物方程是不可逆的，信息傳播的速度是無窮大。因此從理論上講，只要儀器足夠靈敏，可以立即“捕捉”到遠處熱源及其邊界的變化。

在形式上，熱傳導方程出現(xiàn)對時間 t的一階偏導數(shù)，在取 －t時，方程不具有等價性。物理上，熱傳導方程描述的是一個不可逆過程，物理上，熱傳導方程描述不可逆過程，不可能根據(jù)t＝0時刻的狀態(tài)反推 t＜0的狀態(tài)，從方程本身的形式來看，由于熱傳導方程僅出現(xiàn) t的一階偏導，故對時間反演不具有不變性。數(shù)學上表現(xiàn)為由 t2（t2＞t1）狀態(tài)反演 t1狀態(tài)的問題為不適定問題。

2.4.2 雙曲型方程

波動方程則出現(xiàn) t的二階偏導，對時間具有不變性，可從t＝0的波動狀態(tài)反推知 t＜0的波動狀態(tài)，因此齊次線性波動方程具有時間對稱性，其信息傳播滿足一定的速度，即波速 c。波動方程含有對時間的二階導數(shù)，因此齊次方程形式上具有等價性，因此具有對時間反不變性，即可以從由 t2（t2＞ t1）狀態(tài)反演 t1狀態(tài)。意味著，在時間 t以后，ct半徑范圍內(nèi)可以獲得震源信息。但如果雙曲波動方程中含有不可逆的阻尼項或耗散項，雙曲方程也是時間反演不可逆的。

2.4.3 橢圓型方程

橢圓方程是對穩(wěn)定狀態(tài)下的描述，與時間無關(guān)，不存在時間反演對稱性和信息傳播速度問題。因此在大壩安全監(jiān)控中，不可能利用穩(wěn)態(tài)情況反演材料或結(jié)構(gòu)動態(tài)流變（蠕變）信息。

3 結(jié) 語

一個偏微分方程的全面描述還包括初始條件、邊界條件和滿足區(qū)域，這些都有可能與偏微分方程的性質(zhì)，特別是解的性質(zhì)有密切的關(guān)系，而解的性質(zhì)對應(yīng)著大壩安全性態(tài)。隨著大壩安全性態(tài)的不斷演化，相應(yīng)的偏微分方程無論在系數(shù)、方程形式，還是在類型上都有相應(yīng)的改變本文重點以大壩安全監(jiān)控中常見的二階線性偏微分方程為例，敘述了其解析性質(zhì)對大壩安全監(jiān)控測值分析、儀器布置和誤差估計等方面的意義。實際上，偏微分方程的性質(zhì)還有很多，如解的Blow－up的臨界指標和有限Blow－up的性質(zhì)等［18］，更加復雜的問題將另文敘述?？傊?，通過研究偏微分方程的性質(zhì)從而指導大壩安全監(jiān)控工作具有十分重要的意義。

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The Significance of Partial Differential Equation on Dam Safety Monitoring

FANGWei－h(huán)ua1，2
（1.School of Science，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing，Jiangsu 210094，China；2.Nanjing Automation Institute ofWater Conservancy&Hydrology，Nanjing，Jiangsu 210012，China）

In order to reinforce the basic theory of dam safetymonitoring，taking the solution propertiesof typical second order linear partial differentialequation asan example，maximum principle，uniquenessand stability of the solutions，affected region and time－reversal symmetry，were analysed to provide theoretical guidance on dam safetymonitoring includingmeasured value analysis，monitoring instruments arrangement，instruments range selection，and error estimate，etc.The analysis results show that the familiaritywith partialdifferentialequation playsan important role in improving the theoretical level of dam safetymonitoring.

partial differential equation；dam safety monitoring；modeling；error estimate

TV698.2＋39

A

1672—1144（2014）04—0088—06

10.3969／j.issn.1672－1144.2014.04.016

2014－02－28

2014－04－02

中央級公益性科研院所基本科研業(yè)務(wù)經(jīng)費面上項目（Y913012）；科技部農(nóng)業(yè)科技成果轉(zhuǎn)化資金項目（2013GB23320631）；南京水利水文自動化研究所科研項目（ZL081108）

方衛(wèi)華（1972—），男，安徽安慶人，博士后，高級工程師，碩士生導師，主要從事工程力學和工程安全監(jiān)控方面的教學和科研工作。