莊傳剛

(遼寧省本溪市第三高級中學，遼寧 本溪 117014）

求周期數(shù)列通項公式的方法

莊傳剛

(遼寧省本溪市第三高級中學，遼寧 本溪 117014）

數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是培養(yǎng)學生抽象概括和邏輯推理能力的重要途徑之一．利用通項公式研究數(shù)列是最基本也是最有效的方法，而對于周期數(shù)列的通項公式一直是學生所不能理解的，現(xiàn)對于周期數(shù)列的通項公式的求法進行研究。希望能引發(fā)大家的思考，使之對數(shù)列的教學與學習有所幫助，增加對數(shù)列學習與研究的興趣。

數(shù)列；通項公式；周期數(shù)列

1 本文所涉及的相關(guān)概念

（1）數(shù)列：按照一定次序排列起來的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項，各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（首項），第2項，第3項…第n項…。

（2）通項公式：如果數(shù)列｛an｝的第n項an與項數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個公式an=f（n）來表示，那么這個公式稱為數(shù)列的通項公式。

（3）周期數(shù)列：對于數(shù)列｛an｝，若存在一個固定的自然數(shù)T，使得an＋T=an等式成立，則稱｛an｝是周期為T的周期數(shù)列。其中T的最小值稱為最小周期，簡稱周期。例如一數(shù)列｛an｝：1，2，3，1，2，3，1，2，…，則該數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列。

（5）同余：a和b分別用m除，余數(shù)相同，稱為同余。寫作：a≡b（modm）

2 周期數(shù)列的通項公式的求法

我們知道拉格朗日差值公式是求解近似函數(shù)解析式的一個常用表達法，因為數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此對于數(shù)列來講，也可利用拉格朗日差值公式來求解數(shù)列的通項公式。

例如：寫出下周期數(shù)列的通項公式：a，b，c，a，b，c，a，b，c，…

分析：有前1可知，表示a1=a，a2=b，a3=c的多項式an的表達式為

而周期數(shù)列作為一種很特殊的數(shù)列，具有其特有的氣質(zhì)，即若T=k是數(shù)列的周期，也就是說對于數(shù)列的項每隔k個數(shù)字之后，就會重復(fù)前邊的項的值。因此我們就可利用周期數(shù)列的這個性質(zhì)得到周期數(shù)列的通項公式，即把前k項的表達式先求出來f（n），然后當求第n項的值時，就看n模k之后得到的數(shù)值N了，該項就和前第N項的值相同。

特別的當N=0時，a0=ak。

因此該數(shù)列的通項公式是：

n=NN≡0，1，2，3，…k-1（modk），特別當N=0時，a0=ak

例如：寫出周期數(shù)列1,2,0,1,2,0,1…的通項公式

思路：設(shè)此數(shù)列為｛an｝，由已知a1=1，a2=2，a3=0，利用公式，可得出該數(shù)列的通項公式是：

n=NN≡0，1，2，3，…k-1（modk），特別當N=0時，a0=a3

n=N，N≡0，1，2（modk），特別地當N=0時，a0=a3

本文只是列舉了求周期數(shù)列通項的一種方法，而求通項公式的手段還有很多，例如：不動點的方法，特征方程的方法以及母函數(shù)的方法等。由于這些方法有些跟高等代數(shù)有關(guān)，理論性較強，對于高中生來說理解起來不那么容易，因此在這里就不再贅述了。

[1]高存明，萬慶炎等．普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學5必修B版[M]．人民教育出版社，2007．

[2]劉蒙．淺談求數(shù)列通項公式的幾種方法[J]．中學生數(shù)理化學研版，2011,7.

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1003-5168(2014)03-0197-01