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        求周期數(shù)列通項公式的方法

        2014-07-07 15:36:00莊傳剛
        河南科技 2014年2期
        關(guān)鍵詞:本溪市本溪拉格朗

        莊傳剛

        (遼寧省本溪市第三高級中學,遼寧 本溪 117014)

        求周期數(shù)列通項公式的方法

        莊傳剛

        (遼寧省本溪市第三高級中學,遼寧 本溪 117014)

        數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容,也是培養(yǎng)學生抽象概括和邏輯推理能力的重要途徑之一.利用通項公式研究數(shù)列是最基本也是最有效的方法,而對于周期數(shù)列的通項公式一直是學生所不能理解的,現(xiàn)對于周期數(shù)列的通項公式的求法進行研究。希望能引發(fā)大家的思考,使之對數(shù)列的教學與學習有所幫助,增加對數(shù)列學習與研究的興趣。

        數(shù)列;通項公式;周期數(shù)列

        1 本文所涉及的相關(guān)概念

        (1)數(shù)列:按照一定次序排列起來的一列數(shù)叫做數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項,各項依次叫做這個數(shù)列的第1項(首項),第2項,第3項…第n項…。

        (2)通項公式:如果數(shù)列{an}的第n項an與項數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個公式an=f(n)來表示,那么這個公式稱為數(shù)列的通項公式。

        (3)周期數(shù)列:對于數(shù)列{an},若存在一個固定的自然數(shù)T,使得an+T=an等式成立,則稱{an}是周期為T的周期數(shù)列。其中T的最小值稱為最小周期,簡稱周期。例如一數(shù)列{an}:1,2,3,1,2,3,1,2,…,則該數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列。

        (5)同余:a和b分別用m除,余數(shù)相同,稱為同余。寫作:a≡b(modm)

        2 周期數(shù)列的通項公式的求法

        我們知道拉格朗日差值公式是求解近似函數(shù)解析式的一個常用表達法,因為數(shù)列是特殊的函數(shù),因此對于數(shù)列來講,也可利用拉格朗日差值公式來求解數(shù)列的通項公式。

        例如:寫出下周期數(shù)列的通項公式:a,b,c,a,b,c,a,b,c,…

        分析:有前1可知,表示a1=a,a2=b,a3=c的多項式an的表達式為

        而周期數(shù)列作為一種很特殊的數(shù)列,具有其特有的氣質(zhì),即若T=k是數(shù)列的周期,也就是說對于數(shù)列的項每隔k個數(shù)字之后,就會重復(fù)前邊的項的值。因此我們就可利用周期數(shù)列的這個性質(zhì)得到周期數(shù)列的通項公式,即把前k項的表達式先求出來f(n),然后當求第n項的值時,就看n模k之后得到的數(shù)值N了,該項就和前第N項的值相同。

        特別的當N=0時,a0=ak。

        因此該數(shù)列的通項公式是:

        n=NN≡0,1,2,3,…k-1(modk),特別當N=0時,a0=ak

        例如:寫出周期數(shù)列1,2,0,1,2,0,1…的通項公式

        思路:設(shè)此數(shù)列為{an},由已知a1=1,a2=2,a3=0,利用公式,可得出該數(shù)列的通項公式是:

        n=NN≡0,1,2,3,…k-1(modk),特別當N=0時,a0=a3

        n=N,N≡0,1,2(modk),特別地當N=0時,a0=a3

        本文只是列舉了求周期數(shù)列通項的一種方法,而求通項公式的手段還有很多,例如:不動點的方法,特征方程的方法以及母函數(shù)的方法等。由于這些方法有些跟高等代數(shù)有關(guān),理論性較強,對于高中生來說理解起來不那么容易,因此在這里就不再贅述了。

        [1]高存明,萬慶炎等.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學5必修B版[M].人民教育出版社,2007.

        [2]劉蒙.淺談求數(shù)列通項公式的幾種方法[J].中學生數(shù)理化學研版,2011,7.

        O122

        A

        1003-5168(2014)03-0197-01

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