譚 帥，彭 俊，李 闖

（1．東北大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，沈陽 110004；2．中能電力科技開發(fā)有限公司，北京 100034）

基于統(tǒng)計(jì)提升準(zhǔn)則的注塑工藝參數(shù)優(yōu)化

譚 帥1，彭 俊1，李 闖2

（1．東北大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，沈陽 110004；2．中能電力科技開發(fā)有限公司，北京 100034）

為了同時改善生產(chǎn)平板型注塑制品時的總體收縮度和收縮均勻度，提出基于統(tǒng)計(jì)提升準(zhǔn)則的注塑成型工藝參數(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化方法，尋找平衡兩個質(zhì)量指標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)．首先利用小規(guī)模的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法獲得建模數(shù)據(jù)集，針對應(yīng)用中存在的建模數(shù)據(jù)奇異點(diǎn)問題提出一種數(shù)據(jù)預(yù)處理方法，并依此分別建立兩個指標(biāo)的初始替代模型，用于代替優(yōu)化過程中代價高昂的計(jì)算分析；隨后依據(jù)Pareto統(tǒng)計(jì)提升準(zhǔn)則尋找新的采樣點(diǎn)加入建模數(shù)據(jù)集來重新建模，使尋優(yōu)結(jié)果不斷趨近真實(shí)的Pareto前沿．仿真結(jié)果表明，較常規(guī)的建模優(yōu)化方法，本文提出的方法能使用較少的采樣數(shù)據(jù)，顯著地改善平板制品的收縮質(zhì)量．對于HDPE材質(zhì)的矩形制品，保壓曲線先恒定后線性遞減可以獲得好的收縮均勻度，使用壓力上限值恒定保壓可以獲得好的平均收縮度．

注塑成型；收縮；多目標(biāo)優(yōu)化；統(tǒng)計(jì)提升準(zhǔn)則；Kriging模型

制品收縮是注塑成型工藝中的重要質(zhì)量指標(biāo)．影響收縮指標(biāo)的最關(guān)鍵工藝是保壓階段，保壓壓力的大小及其作用時間對制品的收縮有顯著影響［1－2］．X．Chen、C．Li等［3－4］采用收縮勻度為指標(biāo)，將保壓曲線作為優(yōu)化變量，未考慮其他工藝參數(shù)．K．M．B．Jansen等［5］通過實(shí)驗(yàn)分析得到，對于半結(jié)晶材料，各工藝參數(shù)中保壓壓力對收縮影響最大，模具溫度次之；但論文只給出各參數(shù)對總體收縮影響程度的定性分析，并未在工藝參數(shù)可行范圍內(nèi)，給出最優(yōu)的工藝設(shè)定解．

使收縮均值和均勻度都盡可能達(dá)到最優(yōu)，是一個雙目標(biāo)優(yōu)化問題．對于這類問題，往往無法找出能夠同時使2個指標(biāo)都達(dá)到最優(yōu)的可行解，取而代之的是求出一組非支配解集（Pareto解集），解集內(nèi)任一解均部分優(yōu)于其他解，該解集對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)曲線被稱為Pareto前沿［6］．獲取Pareto解集最簡單的方法是標(biāo)量化方法，比如目標(biāo)加權(quán)法［7］；另一種方法是一次性求取Pareto解集的多目標(biāo)優(yōu)化方法，NSGA－Ⅱ是此類方法的代表［8－9］．以上兩類方法都建立在精確的優(yōu)化模型基礎(chǔ)上，可利用替代模型來擬合真實(shí)模型［10］．建立精確的替代模型需要大量建模數(shù)據(jù)，為進(jìn)一步減少計(jì)算代價，J．Knowles等［11］提出了一種多目標(biāo)迭代優(yōu)化方法，但由于采用標(biāo)量化方法來轉(zhuǎn)化多目標(biāo)問題，因此也繼承了標(biāo)量化方法的缺點(diǎn)．為克服這個缺點(diǎn)，A．J．Keane等［12］提出一類Pareto統(tǒng)計(jì)提升（SI）準(zhǔn)則，折衷算法的全局和局部搜索能力，將局部搜索和全局收縮能力結(jié)合到一起，迭代結(jié)果可以覆蓋整個Pareto前沿．

本文采用基于Kriging替代模型的迭代尋優(yōu)方法，并引用Pareto SI準(zhǔn)則，來解決雙目標(biāo)優(yōu)化問題；同時，針對應(yīng)用中存在的一類數(shù)據(jù)奇異點(diǎn)，分析了其對迭代尋優(yōu)過程的惡劣影響，并提出了一種數(shù)據(jù)預(yù)處理方法，用于克服這種影響；最后，將帶有數(shù)據(jù)預(yù)處理的迭代優(yōu)化方法，用于基于制品收縮均值和均勻度指標(biāo)的雙目標(biāo)優(yōu)化問題，并從工藝角度對尋優(yōu)結(jié)果進(jìn)行分析解釋．

1 替代模型

1．1 K riging模型

Kriging模型實(shí)際上是一種插值模型，該模型的優(yōu)勢在于它不僅能給出可行域任意點(diǎn)的預(yù)測值，還能夠給出該預(yù)測值的不確定度．已知可行域內(nèi)的N個k維樣本點(diǎn)[x（1），x（2），…，x（N）]，其對應(yīng)的輸出響應(yīng)y＝[y（1），y（2），…，y（N）]T，定義樣本點(diǎn)x（i）與可行域內(nèi)任一點(diǎn)x對應(yīng)響應(yīng)值的相關(guān)函數(shù)為

式中：θm和pm為第m維輸入對應(yīng)的待定模型參數(shù)；I為N維單位列向量；

可逆矩陣Ψi，j＝ψ（‖x（i）－x（j）‖），i，j＝1，2，…，N，常數(shù)

如果將確定的函數(shù)y（x）視為滿足高斯分布的隨機(jī)過程Y（x）的一個實(shí)現(xiàn)，那么對于目前已知的輸出響應(yīng)y（滿足高斯分布），Y（x）在任一點(diǎn)x處的均值和方差分別為式（2）和

其中

1．2 Pareto SI準(zhǔn)則

設(shè)待插值的2個函數(shù)為f1e（x）和f2e（x），對應(yīng)輸出響應(yīng)為y1和y2，由N個初始采樣得到包含M0個采樣的初始Pareto解集

其對應(yīng)的Pareto前沿如圖1所示．

圖1 Pareto前沿及其支配區(qū)域示意圖

假設(shè)由N個訓(xùn)練數(shù)據(jù)對，分別插值得到的一對Kriging替代模型1（x）和2（x）彼此是獨(dú)立的，可行域內(nèi)任意點(diǎn)x對應(yīng)預(yù)測值和及其標(biāo)準(zhǔn)差分別為μ1、μ2和s1、s2，那么1（x）和2（x）對應(yīng)的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)為

顯然，當(dāng)采樣點(diǎn)響應(yīng)值位于圖1中Sdom區(qū)域時，初始Pareto前沿提升較大，因此這里要找到可行域內(nèi)最有可能落入Sdom中的點(diǎn)作為新加入點(diǎn)，即最大化概率提升

除了概率提升，還可以最大化期望提升．考慮指標(biāo)提升的幅度

由于考慮了預(yù)測誤差的不定度，2個統(tǒng)計(jì)提升函數(shù)E［I］和P［I］都具備全局搜索能力．但E［I］考慮了指標(biāo)提升的幅度，因此實(shí)際優(yōu)化時它的搜索幅度較P［I］更大，并且E［I］也與2個指標(biāo)的加權(quán)系數(shù)有關(guān)，而P［I］則無關(guān)．

2 優(yōu)化策略的實(shí)現(xiàn)

2．1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

基于替代模型的多目標(biāo)迭代優(yōu)化過程可概括為，利用初始采樣數(shù)據(jù)建模，再根據(jù)Pareto SI準(zhǔn)則尋找新的加入點(diǎn)，加入訓(xùn)練數(shù)據(jù)集后重新建模，如此循環(huán)直至滿足收斂準(zhǔn)則，顯然建模準(zhǔn)確與否是迭代優(yōu)化能否正確進(jìn)行的基礎(chǔ)．盡管Kriging方法適用于插值高度非線性模型，但前提是被插值模型是光滑和連續(xù)的［14］，然而在實(shí)際的尋優(yōu)問題中，常會在可行域內(nèi)出現(xiàn)一些數(shù)值相對較大或較小的奇異點(diǎn)，如圖2（a）所示，這將直接影響建模結(jié)果，從而影響迭代尋優(yōu)過程．

圖2 帶有奇異點(diǎn)的函數(shù)及其分段壓縮過程

為了限制奇異點(diǎn)的幅值，同時又不改變響應(yīng)值的相對大小，這里采用奇異點(diǎn)線性變換的方法來解決該問題．基本思想如圖2（b）所示，首先根據(jù)初始采樣數(shù)據(jù)的分布，設(shè)定監(jiān)測來判斷奇異點(diǎn)，一旦新采樣超過監(jiān)測限，則進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮，即把從壓縮限到奇異點(diǎn)的響應(yīng)值，線性變化到壓縮限與監(jiān)測限之間．這樣做就把奇異點(diǎn)壓縮到正常范圍，從而保證建模和迭代尋優(yōu)過程的進(jìn)行．

2．2 迭代優(yōu)化策略的流程

帶有數(shù)據(jù)預(yù)處理步驟的多目標(biāo)迭代優(yōu)化方法的實(shí)現(xiàn)流程如圖3所示，具體步驟如下：

圖3 帶預(yù)處理步驟的雙目標(biāo)迭代優(yōu)化流程圖

1）數(shù)據(jù)產(chǎn)生．使用拉丁超立方方法產(chǎn)生N個初始采樣點(diǎn)，拉丁超立方是一種實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，具有抽樣次數(shù)少結(jié)果穩(wěn)定的特點(diǎn)［15］．再通過實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生與輸入對應(yīng)的N對響應(yīng)值．

2）首次數(shù)據(jù)預(yù)處理．分別根據(jù)兩種指標(biāo)的響應(yīng)值，計(jì)算出指標(biāo)對應(yīng)的監(jiān)測限和壓縮限，并對超出壓縮限數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮．令監(jiān)測上下限為Ru和Rd，壓縮上下限為Cu和Cd，具體定義如下：

式中，m為N個響應(yīng)的均值，d為標(biāo)準(zhǔn)差．如果最大值響應(yīng)y（s）（奇異點(diǎn)）超出Ru，（s）為y（s）壓縮后的數(shù)值，設(shè)y（i）為待壓縮的采樣值，y～（i）為y（i）壓縮后的結(jié)果，那么

3）建立模型．分別利用采樣數(shù)據(jù)對，建立2個指標(biāo)的Kriging模型，即采用極大化似然函數(shù)的方法［14］，獲得式（1）中的待定參數(shù)p和θ．

4）尋找加入點(diǎn)．在可行域內(nèi)優(yōu)化式（4）或式（5），找到當(dāng)前插值模型下的一個全局提升加入點(diǎn)．

5）終止準(zhǔn)則．如果加入點(diǎn)數(shù)達(dá)到初始采樣個數(shù)N的一到兩倍的時候，迭代尋優(yōu)終止，否則進(jìn)入步驟6．

6）獲取新響應(yīng)值后，再進(jìn)行處理．對新加入采樣要先獲取其對應(yīng)響應(yīng)值，如果其超出當(dāng)前壓縮限，先對其進(jìn)行壓縮，若壓縮后仍超出監(jiān)測限（新的最大值出現(xiàn)），則用它替換掉式（6）中的y（s），再用式（6）對所有超出壓縮限的采樣重新壓縮，之后回到步驟3，重新進(jìn)行建模．

3 迭代優(yōu)化實(shí)例

本例選取多目標(biāo)函數(shù)［8］

圖5和圖6分別給出了Kriging模型參數(shù)隨迭代進(jìn)行的變化情況，這里實(shí)線和虛線分別表示帶有和不帶有預(yù)處理步驟時的情況，而細(xì)線表示θ1參數(shù)，粗線表示θ2參數(shù)．從圖6中可明顯看出：當(dāng)?shù)M(jìn)行到10次之后，不帶預(yù)處理步驟時擬合出的模型參數(shù)迅速到達(dá)邊界，這說明模型已經(jīng)不能正確描述實(shí)際函數(shù)f2（x）了；而帶有預(yù)處理步驟的參數(shù)則一直在正常的范圍內(nèi)波動．同時，在f2（x）的Kriging模型惡化之后，f1（x）的Kriging模型參數(shù)也開始加劇震蕩，進(jìn)而Pareto EI準(zhǔn)則也隨之失效，Pareto前沿很難再向理想前沿靠近了．

圖4 帶有和不帶有預(yù)處理步驟優(yōu)化所得的Pareto前沿

圖5 函數(shù)f1（x）的K riging模型參數(shù)隨迭代的變化情況

圖6 函數(shù)f2（x）的K riging模型參數(shù)隨迭代的變化情況

4 平板型制品質(zhì)量的多目標(biāo)優(yōu)化

4．1 優(yōu)化模型

本文用于研究保壓曲線優(yōu)化的注塑制品形狀如圖7所示，它是一個規(guī)格為150 mm×30 mm× 2 mm帶有扇形澆口的矩形制品．材料選用Dow Chemical USA生產(chǎn)的牌號為Dowlex IP－10的HDPE．制品總體收縮指標(biāo)采用制品頂出時各點(diǎn)體積收縮率的均值來表示，而均勻度指標(biāo)則采用標(biāo)準(zhǔn)差表示．這里在圖7中等間隔選取18個點(diǎn)，來計(jì)算收縮率的2個統(tǒng)計(jì)量：

式中：vi表示圖中第i個點(diǎn)的體積收縮；表示所有檢測點(diǎn)收縮的均值，顯然，該指標(biāo)越小制品質(zhì)量越均勻．

根據(jù)注塑工藝分析，保壓曲線是影響2個收縮指標(biāo)最關(guān)鍵的因素；而相對模具溫度和熔體溫度，注射速度對2個指標(biāo)的影響最為間接．針對HDPE材質(zhì)的矩形制品，Jansen等人［5］通過收縮指標(biāo)影響因素分析實(shí)驗(yàn)，也給出了相似的結(jié)論．因此，這里確定優(yōu)化變量為保壓曲線、模具溫度和熔體溫度．

圖7 矩形制件及其澆注系統(tǒng)的Fusion網(wǎng)絡(luò)模型

保壓曲線定義為先恒壓后線性遞減的形式．恒壓壓力設(shè)定為注塑機(jī)合模力可承受的上限［4］，這里選為100 MPa；最大保壓時間應(yīng)保證大于在最高的模具溫度θmold和熔體溫度θmelt下的澆口封死時間，這里選為10 s．這樣，保壓曲線就可以由保壓曲線轉(zhuǎn)折時間t，以及曲線的下降傾角?兩個參數(shù)來描述，如圖8（a）所示．該描述可以表示恒定保壓（?＝0°或?＝90°）和先恒定后遞減保壓（0°＜?＜90°），此外還可表示保壓時間小于10 s的情況，如圖8（b）所示．

圖8 保壓曲線的兩種形式

至此，優(yōu)化問題可以描述為

4．2 優(yōu)化結(jié)果及分析

按照2．2節(jié)流程圖，首先取40組初始輸入采樣，而后使用Moldflow對制品生產(chǎn)進(jìn)行仿真分析獲取收縮均值和均勻度，獲得Pareto解集，如表1所示．仿真時，保壓曲線形狀參數(shù)以外其它的工藝參數(shù)設(shè)定如下：恒定注射速度40 mm/s．應(yīng)用帶有數(shù)據(jù)預(yù)處理方法的多目標(biāo)迭代優(yōu)化策略對過程進(jìn)行優(yōu)化，并將2個指標(biāo)分別進(jìn)行規(guī)一化處理，使Pareto EI準(zhǔn)則不帶有偏好，數(shù)據(jù)壓縮邊界仍取為y～（s）＝m＋2．9d．經(jīng)過60次迭代，獲得一個由實(shí)際采樣組成的Pareto解集，如表2所示，其中最優(yōu)收縮均值和均勻度，分別對應(yīng)于1號和8號工藝設(shè)計(jì)．解集對應(yīng)Pareto曲線如圖9中的實(shí)線所示，與初始40個采樣對應(yīng)的Pareto曲線（如圖9中虛線所示）比較，迭代使Pareto前沿有了顯著的提升．

表1 初始采樣對應(yīng)的Pareto解集

表2 基于收縮指標(biāo)的注射工藝參數(shù)雙目標(biāo)優(yōu)化問題的Pareto解集

圖9 初始采樣和迭代優(yōu)化后采樣的Pareto前沿

由表2可知，最優(yōu)收縮均勻度設(shè)計(jì)對應(yīng)解集中最低的模具溫度和較低的熔體溫度，而最小平均收縮設(shè)計(jì)正與之相反．這是因?yàn)檩^高的模具溫度使得制品的凝固時間增長，對于收縮均值，這將使得HDPE制品的結(jié)晶度較高，從而加大制品的總體平均收縮；而對于收縮均勻度，這將導(dǎo)致保壓壓力對制品作用時間長且傳遞較均勻：因此制品收縮分布會隨溫度升高而變得更加均勻．熔體溫度對制品收縮的影響與模具溫度相似，但是卻沒有模具溫度作用顯著．這從表2中2個收縮指標(biāo)隨著2個溫度變化的趨勢和程度上就可以看出．

最優(yōu)收縮均值和均勻度設(shè)計(jì)對應(yīng)的保壓曲線分別如圖10（a）和（b）所示．

圖10 最優(yōu)指標(biāo)對應(yīng)的保壓曲線

表面上看，兩者都是先恒定后線性遞減的保壓曲線，但如果考慮制品澆口封死時間，那么兩者的實(shí)際作用時間都會縮短．通過Moldflow仿真可知，對于圖10（a）該時間為6．2 s，而對于圖10（b）則為8．5 s．這樣最優(yōu)均值設(shè)計(jì)的保壓曲線等價于恒定保壓曲線，而最優(yōu)均勻度設(shè)計(jì)的保壓曲線仍是先恒定后遞減型的，解集里其余的設(shè)計(jì)則是兩者之間的過渡．前者容易理解，因?yàn)槿粝胧怪破房傮w收縮最小，必然要使用恒定的最大保壓曲線來保壓；后者則不然，遠(yuǎn)澆口（圖7中制品B處）未凍結(jié)之前，即5．8 s之前應(yīng)采取最大保壓壓力，以使制品各處收縮最均勻，但從此刻開始直到澆口封死，則應(yīng)采用遞減保壓曲線，以使遠(yuǎn)近澆口的收縮差異減小，令制品更均勻［4］．

4．3 決策制定

獲得Pareto解集后，必須從中選取一個解作為最終的優(yōu)化結(jié)果，這個過程通常被稱為決策制定．一種簡單的決策方法是，分別計(jì)算Pareto解集內(nèi)的解與理想點(diǎn)的距離，選擇距離理想點(diǎn)距離最小的解作為最終決策解．對于本文的雙目標(biāo)優(yōu)化問題理想點(diǎn)是［0．335 2，0．002 64］，為消除目標(biāo)幅值對距離的影響，先對Pareto解集及理想點(diǎn)歸一化之后，再進(jìn)行數(shù)據(jù)點(diǎn)差異程度計(jì)算，結(jié)果如表3所示，顯然應(yīng)選擇數(shù)值最小的設(shè)計(jì)4作為最終優(yōu)化解．

表3 理想點(diǎn)與Pareto解集內(nèi)閣點(diǎn)之間的差異程度

上述方法只考慮了Pareto解集內(nèi)各點(diǎn)與理想點(diǎn)的距離，從注塑工藝角度看，這未必是最優(yōu)的．實(shí)際生產(chǎn)中，除了希望優(yōu)化兩個收縮指標(biāo)外，還希望注塑成型周期盡可能短，或者最優(yōu)解的魯棒性強(qiáng)等等．如果考慮成型周期就可以選擇模具溫度和熔體溫度較低，所需保壓和冷卻時間短的設(shè)計(jì)；如果考慮最優(yōu)解的魯棒性，就要通過進(jìn)一步的靈敏度實(shí)驗(yàn)來分析判別．具體用哪種策略，需要根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)的需求來確定．

5 結(jié) 論

本文針對注塑制品收縮指標(biāo)的雙目標(biāo)優(yōu)化問題，采用基于Kriging替代模型的迭代尋優(yōu)方法．該方法在迭代過程中使用現(xiàn)有采樣數(shù)據(jù)及Pareto SI準(zhǔn)則，來確定新的數(shù)據(jù)加入點(diǎn)，使得采樣集的Pareto前沿不斷趨于理想前沿．此外本文還提出了一種數(shù)據(jù)預(yù)處理方法，用于克服奇異點(diǎn)對該迭代尋優(yōu)過程的壞影響．實(shí)際應(yīng)用結(jié)果表明，迭代優(yōu)化方法通過初始采樣以外的60次實(shí)驗(yàn)，使得Pareto前沿顯著提升．

通過對Pareto解集的工藝分析可知，對于HDPE材質(zhì)的矩形制品，若想獲得最優(yōu)收縮均勻，模具溫度越高越好，保壓曲線應(yīng)為先恒定后線性遞減；若想獲得最優(yōu)的平均收縮，模具溫度越低越好，保壓曲線應(yīng)使用壓力上限值恒定保壓．最終進(jìn)行決策制定時，應(yīng)考慮實(shí)際生產(chǎn)需求，從Pareto解集中選擇最能滿足實(shí)際需求的解作為最優(yōu)設(shè)計(jì)．

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（編輯 程利冬）

M ulti?objective optim ization of injection molding process parameters based on statistical im provement criterion

TAN Shuai1，PENG Jun1，LIChuang2

（1．School of Information Science＆Engineering，Northeastern University，Shenyang 110004，China；2．ZhongNeng Power Technology Development Co．Ltd．，Beijing 100034，China）

To improve the shrinkage and evenness of the production of injection molded slab，this article introduces an iterativemulti?objective optimizationmethod based on Kriging surrogatemodel to find the Pareto set of the optimization problem．The idea of the iterative optimization method is first to establish two approximation function relationships between those index and process parameters by a small size of design of experiment（DOE）with surrogate model to alleviate the expensive computational expense in the optimization iterations．And then statistical improvement criterion of Pareto front is used to provide direction in which additional training samples could be added to better the surrogatemodel．This process will loop and bring the optimization result close to the ideal Pareto front．Simulation results show that amuch better shrinkage quality ofmolded part can be achieved with the proposed method with smaller amount of samples compared with traditionalmodeling and optimization method．For rectangular HDPE products，good evenness can be gotten using linear decreasing pressure curve after a period of constant value，and good shrinkage can be gotten using holding pressure with upper limits．

injection molding；shrinkage；multi?objective optimization；statistical improvement criterion；krigingmodel

TQ 320．66

A

1005－0299（2014）02－0068－07

2013－10－02．

中央高?；究蒲袑ｍ?xiàng)資金資助項(xiàng)目（N120304004）；中國博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2013M530937）．

譚 帥（1983－），女，博士．

譚 帥，E?mail：tanshuai＠ise．neu．edu．cn．