張保松 陸群峰 靳國忠 徐佳寧

（南車戚墅堰機(jī)車車輛工藝研究所有限公司）

行星齒輪傳動系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計方法與傳統(tǒng)設(shè)計方法相比，降低了設(shè)計的隨機(jī)性，更有可能得到最優(yōu)傳動方案，從而從設(shè)計上提高變速系統(tǒng)的傳動性能、質(zhì)量及其使用壽命［1］。設(shè)計變量的選取及其取值范圍的設(shè)定對優(yōu)化過程會產(chǎn)生重要影響。一般來說，若設(shè)計變量（即設(shè)計的輸入?yún)?shù)）空間中存在較多的奇點(diǎn)，則個體包含奇點(diǎn)而成為無效解的可能性就較大，優(yōu)化迭代過程中的流暢性也會大大降低。當(dāng)前使用的較多的優(yōu)化算法有：遺傳算法、粒子群算法、復(fù)合形法等。以粒子群算法為例，若粒子在行進(jìn)過程中遇到了大量的奇點(diǎn)，則粒子群中碰到奇點(diǎn)的粒子就會被淘汰，這就使得粒子需要繞過大量的陷阱去尋優(yōu)，顯然這樣的設(shè)計空間會導(dǎo)致優(yōu)化過程效率較低，且很有可能無法尋找到設(shè)計最優(yōu)解。所以優(yōu)化算法都希望其設(shè)計變量處于連續(xù)空間中。

當(dāng)前行星齒輪傳動系統(tǒng)在優(yōu)化設(shè)計時都是先選取設(shè)計變量，如齒數(shù)、模數(shù)、螺旋角等［2～4］，再用約束條件剔除不合格的個體。由于這些設(shè)計變量的配合需要受到較多約束條件的限制，這樣的設(shè)計空間中會出現(xiàn)眾多奇點(diǎn)，所以由這些設(shè)計變量生成的解集中的解的成功率較低。如何避免或減少這種現(xiàn)象，通過合理的選擇行星齒輪傳動系統(tǒng)優(yōu)化模型的設(shè)計變量，并衍化這些設(shè)計變量而得到較為連續(xù)的設(shè)計空間，是行星齒輪傳動系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)問題。

本文以一級平行傳動加一級NGW行星傳動為例，探討優(yōu)化模型中設(shè)計變量的選取和衍化方法對設(shè)計解集成功率的影響。該傳動系統(tǒng)設(shè)定為輸入功率100kW，輸入轉(zhuǎn)速600rpm，輸出轉(zhuǎn)速15rpm，傳動比要求i1＝40，NGW行星傳動的內(nèi)齒圈固定，行星輪個數(shù)為3，如下圖所示。

1 常規(guī)的設(shè)計變量選取及處理方法的問題

1.1 設(shè)計變量

傳動系統(tǒng)設(shè)計的輸入條件一般可以提供傳動功率、輸入或輸出轉(zhuǎn)速，總傳動比。以一級平行傳動加一級NGW行星傳動為例，常規(guī)的優(yōu)化模型一般可以選取以下參數(shù)作為設(shè)計變量：平行傳動傳動比i1，法向模數(shù)mn1，小齒輪齒數(shù)z1，螺旋角β1，工作齒寬b1，某些優(yōu)化加入了小、大齒輪各自的變位系數(shù)x11，x12；行星傳動法向模數(shù)mn2，太陽輪齒數(shù)zA，螺旋角β2，工作齒寬b2，某些優(yōu)化加入了變位系數(shù)x21，x22，x23。所以整個系統(tǒng)的設(shè)計變量為：｛i1，mn1，z1，β1，b1，x11，x12，mn2，zA，β2，b2，x21，x22，x23｝，共14個。

圖1 一級平行傳動加一級NGW行星傳動系統(tǒng)Fig.1 Gear transmission system with 1 parallel stage and 1planetary stage

另有一些參數(shù)可以推導(dǎo)求出：平行傳動大齒輪齒數(shù)z2＝i1＊z1；行星傳動的傳動比i2＝i0／i1，其中i0為總傳動比；行星傳動內(nèi)齒圈齒數(shù)zB＝（i－1）zA，zC＝（zB－zA）／2，對于不等角變位，zC可以在此基礎(chǔ)上浮動1～2個齒。

1.2 約束條件［5］

1）各設(shè)計變量的取值范圍。設(shè)計變量的取值范圍受到具體應(yīng)用場合的影響，可由經(jīng)驗(yàn)確定。但如b、x等參數(shù)，由于受到其他參數(shù)的限制，無法在個體生成階段得到限制。

2）齒數(shù)配比限制。對于相嚙合的齒輪副，齒數(shù)對應(yīng)滿足最大公約數(shù)條件gcd（z1，z2）≤k，（gcd，greatest common divisor；k，一般來說不大于3）。對于齒數(shù)大于100的齒輪，為加工方便，應(yīng)滿足齒數(shù)不為素數(shù)。另外，對于行星傳動，為了簡化計算和裝配，應(yīng)使太陽輪與內(nèi)齒輪的齒數(shù)和等于行星輪數(shù)目的整數(shù)倍，即滿足條件：

3）同心條件。NGW型行星傳動若為角變位齒輪，還需符合同心條件：

4）傳動比限制條件。為了盡可能實(shí)現(xiàn)給定的傳動比，應(yīng)將傳動比的變動范圍控制在2%以內(nèi)［6］，即：

5）行星輪鄰接條件。為保證相鄰行星輪齒頂間不發(fā)生干涉，必須保證鄰接條件：

6）齒面接觸疲勞強(qiáng)度及齒根彎曲疲勞強(qiáng)度的限制。由于疲勞強(qiáng)度又是目標(biāo)函數(shù)中所需考察的指標(biāo)，且計算較為復(fù)雜，本文中暫時略去。

1.3 常規(guī)方法存在的問題

使用常規(guī)的設(shè)計變量生成的解集存在如下問題：

1）平行傳動大齒輪齒數(shù)由公式z2＝i1＊z1得到，i1，z1為隨機(jī)生成的設(shè)計變量，齒數(shù)配對無法考慮到齒數(shù)配比的公約數(shù)限制；行星傳動內(nèi)齒圈齒數(shù)zB＝zA＋2＊zC，zA，zC為隨機(jī)生成的設(shè)計變量，這三者兩兩之間都無法考慮公約數(shù)限制，也無法考慮裝配配齒限制。所以在齒數(shù)配比限制條件下會產(chǎn)生大量的不合格個體，也即是存在了較多的奇點(diǎn)。

2）齒數(shù)與模數(shù)之間的配合受到齒面接觸強(qiáng)度的限制，故傳統(tǒng)的設(shè)計方法在初步設(shè)計時需要按下列公式估算齒輪傳動的尺寸［5］：

其中齒數(shù)比u＝z2／z1，u＞1，Aa為常值系數(shù)，φa齒寬系數(shù)，K載荷系數(shù)，T1小齒輪上扭矩。

而常規(guī)的設(shè)計變量中，z1，mn作為設(shè)計變量隨機(jī)生成，z2＝i1＊z1也近似于隨機(jī)生成，雖然受到取值范圍的限制，但是變量取值之間的內(nèi)在聯(lián)系無法體現(xiàn)，不符合齒面接觸強(qiáng)度限制的個體的出現(xiàn)必然存在較大的概率。

3）行星傳動中，變位方式及變位系數(shù)x的值需要依靠所希望的嚙合角α′的值的指導(dǎo)，并與齒數(shù)配對、中心距取整相協(xié)調(diào)。常規(guī)的優(yōu)化設(shè)計中，x的值隨機(jī)生成，無法體現(xiàn)其與嚙合角α′的聯(lián)系，也無法保證能夠符合同心條件或得到圓整的中心距。

2 一種新型的設(shè)計變量選取及衍化方法

針對上述問題，本文提出了一種新型的齒輪行星傳動系統(tǒng)優(yōu)化模型的設(shè)計變量選取及衍化方法。傳統(tǒng)的設(shè)計變量選取及處理方法中，限制條件被用來剔除不符合要求的個體，故其與設(shè)計變量一般是一種矛盾體。而本文提出的這種方法卻將各種限制條件引入個體的生成過程中，指導(dǎo)個體中各個設(shè)計變量的取值，其執(zhí)行流程簡圖如圖2所示。由于在解集生成過程中已經(jīng)考慮了大部分約束限制，故通過此方法，設(shè)計出的解集的成功率較高，設(shè)計空間連續(xù)，尋優(yōu)路徑流暢，對后續(xù)的優(yōu)化過程將有較大的幫助。

2.1 新型的設(shè)計變量選取及衍化方法的具體實(shí)施

仍以前言中提出的傳動模型為例，該方法選取以下參數(shù)作為設(shè)計變量：平行傳動傳動比i1，小齒輪齒數(shù)z1，螺旋角β1，中心距a1，齒寬系數(shù)Ψd1，變位系數(shù)分配系數(shù)λ1，嚙合角度推薦值α′wt1；行星傳動太陽輪齒數(shù)z21，螺旋角β2，中心距a21，齒寬系數(shù)Ψd2，太陽輪與行星輪變位系數(shù)分配系數(shù)λ2，太陽輪與行星輪嚙合角度推薦值α′wt21，內(nèi)齒輪與行星輪嚙合角度推薦值α′wt22。所以整個系統(tǒng)的設(shè)計變量為：｛i1，z1，β1，a1，Ψd1，λ1，α′wt1；z21，β2，a21，Ψd2，λ2，α′wt21，α′wt22｝，共14個。

圖2 新型設(shè)計變量選取及衍化方法流程圖Fig.2 Process of choosing and managing design variables with a new method

本文所選擇的設(shè)計變量的缺點(diǎn)是某些變量不如傳統(tǒng)的設(shè)計變量那樣直觀而易理解，但實(shí)際上，如齒寬系數(shù)Ψd1，嚙合角度值α′wt1等這些參數(shù)比齒輪齒數(shù)等參數(shù)與齒輪的各項(xiàng)性能的關(guān)聯(lián)性更強(qiáng)，這也是對優(yōu)化程序更有利的情況。

本文采用了變約束的設(shè)計變量生成方法。在上述設(shè)計變量中，變量｛i1，β1，Ψd1，λ1；β2，Ψd2，λ2｝具有固定的限制范圍，這些變量稱為前期變量。而變量｛z1，a1，α′wt1；z21，a21，α′wt12，α′wt23｝則需要根據(jù)前期變量的取值得到相應(yīng)的限制范圍，這些變量稱為后期變量。

以上述設(shè)計變量為已知條件，再通過一系列運(yùn)算，就能夠得到計算目標(biāo)函數(shù)的初始值，而這一系列運(yùn)算的依據(jù)便是傳統(tǒng)優(yōu)化模型中的限制條件。

2.2.1 前期變量約束范圍的確定

前期變量｛i1，β1，Ψd1，λ1；β2，Ψd2，λ2｝具有固定的限制范圍。外嚙合平行傳動級傳動比i1可以處于1＜i1＜15，但為了使NGW行星傳動級傳動比處于一個較為合理的范圍內(nèi)，現(xiàn)設(shè)定4＜i1＜10，則行星級傳動比的變化范圍為4＜i0／i1＜10。

前期變量的約束范圍設(shè)定為：

2.2.2 后期變量變約束范圍的確定

求取后期變量的約束范圍需要以前期變量的值為已知值，并且各個后期變量之間也有一定的求解順序，因?yàn)槟承┖笃谧兞康姆秶挥性诘玫侥硞€或某幾個變量值之后才能求解。此例中，后期變量約束范圍的求解順序?yàn)椋褐行木啵X數(shù)－嚙合角。

采用后期變量的意義還在于，后期變量的取值范圍還需要受到最終希望得到的可求解參數(shù)（如mn）的限制，從而保證最終得到的解處于要求范圍之內(nèi)。

1）中心距限制范圍的確定

首先計算傳動比i2＝i0／i1；

在初步設(shè)計齒輪時，根據(jù)齒面接觸強(qiáng)度，可按以下公式估算齒輪傳動的中心距。

其中Aa－常系數(shù)值，可以根據(jù)螺旋角β結(jié)合經(jīng)驗(yàn)公式選取；

u－齒數(shù)比，u＝max（i，1／i）；

T－小齒輪額定扭矩；

K－載荷系數(shù)，常用值［1.2，2］；

Ψa－齒寬系數(shù)，常用值［0.2，0.6］；可以將K／Ψa看成一個整體，其取值范圍為［2，10］；

根據(jù)上述公式，a的取值范圍便可以根據(jù)i和β求出，然后即可隨機(jī)生成a變量的取值。

2）齒數(shù)限制范圍的確定

首先需要設(shè)定可求解參數(shù)mn的取值范圍，一般來說，應(yīng)該盡可能的使用現(xiàn)有的模數(shù)系列。但對于某些具備較強(qiáng)加工能力的生產(chǎn)單位，由于能夠大量使用定制滾齒刀具，輪齒模數(shù)的選擇可以不受現(xiàn)有系列的限制，并可以精確到小數(shù)點(diǎn)后一位。本文中模數(shù)的范圍2≤mn≤30，不受現(xiàn)有系列的限制。

根據(jù)公式：

此式中a、u、β均為已知量，根據(jù)mn的取值范圍，即可求得z1取值范圍，然后生成該變量的值。

3）嚙合角限制范圍的確定

嚙合角的取值范圍取決于希望得到的變位系數(shù)的影響。通過合理的選擇變位系數(shù)，可以改善嚙合特性，提高承載能力。設(shè)定本案例變位系數(shù)限制范圍為：平行傳動0＜x∑1＜1.5，行星傳動0＜x∑21＜1.2，－0.5＜x∑23＜0.3。

再根據(jù)公式：

此式中z、u、α均為已知量，αt也可由tanαt＝求得。根據(jù)x∑ 的取值范圍，即可求得α′t取值范圍。

圖3 平行傳動齒數(shù)配比流程Fig.3 Process of choosing parallel stage gear numbers

另外，還需要設(shè)定嚙合角本身的取值范圍。本案例中，設(shè)定平行傳動20°≤α′wt1≤24°，行星傳動20°≤α′wt21≤26.5°，17°≤α′wt22≤23°。最終得到的取值范圍是上述兩種范圍的交集。

2.2.3 變量的衍化

經(jīng)過上述步驟，14個設(shè)計變量全部得到賦值。但僅通過設(shè)計變量還無法進(jìn)行齒輪幾何參數(shù)及疲勞強(qiáng)度的計算，還需要將設(shè)計變量衍化為常用的齒輪參數(shù)。

1）齒輪的模數(shù)

齒輪模數(shù)可通過公式（8）得到。

2）齒輪的所有齒的齒數(shù)及嚙合角

對于平行傳動級，有

并可根據(jù)公式（1）計算得到實(shí)際的中心距，對中心距進(jìn)行取整后，通過和公式（9）求得實(shí)際嚙合角?？筛鶕?jù)以下流程刪選出可行的齒數(shù)配對：

對于行星傳動，有：

并由于存在裝配條件的限制：

通過同心條件限制公式可求得z2：

再通過公式

求得a′，取整后得到實(shí)際中心距。再次使用該公式反求得到實(shí)際的嚙合角。行星傳動級齒數(shù)配對可按以下流程進(jìn)行刪選。

圖4 行星傳動齒數(shù)配比流程Fig.4 Process of choosing planetary stage gear numbers

3）變位系數(shù)

基于以上結(jié)果，根據(jù)公式（9）可得到變位系數(shù)x∑，再根據(jù)公式（15）、（16）分配變位系數(shù)：

這種分配方式有可能得到既增強(qiáng)齒輪的承載能力，又能讓齒根強(qiáng)度和滑動系數(shù)接近的嚙合副［7］。

4）齒寬

工作齒寬可由公式求得：

通過上述步驟的設(shè)計變量生成及變量衍化，即可以保證得到的齒輪嚙合副參數(shù)能夠滿足取值范圍限制，齒數(shù)配比限制，裝配及同心條件限制。

3 不同變量生成方法效果對比

采用第一節(jié)中介紹的常規(guī)變量生成方法，忽略變位系數(shù)的影響，以及使用并本文提出的新型的變量生成方法分別生成大小為p＝30的兩組解集，并考察二者不符合項(xiàng)之間的差別。

表1為二者的對比，表中各值表示解集中不符合條件的個數(shù)：

表1中，變量生成的普通方法由于未考慮齒數(shù)之間的配對關(guān)系和裝配條件，導(dǎo)致其成功率非常低，但該方法對原始齒數(shù)的改變非常小，僅進(jìn)行了取整操作，所以對總傳動比的影響不大。新方法相比于普通方法，由于考慮了齒數(shù)之間的配對關(guān)系和裝配條件，對齒數(shù)的調(diào)節(jié)更多一些，所以導(dǎo)致傳動比誤差超出范圍的概率增加，但配對關(guān)系和裝配條件已不可能出現(xiàn)不符合項(xiàng)。新方法增加了對變位系數(shù)和嚙合角的設(shè)定，也增加了少許不符合項(xiàng)。但實(shí)際上增加這兩項(xiàng)設(shè)定后，齒輪副從標(biāo)準(zhǔn)齒嚙合變成了角變位嚙合，要想得到符合項(xiàng)的難度更高，嚙合性能的可控性更好。

表1 兩種變量生成方法效果對比Table 1 comparison of results from the 2methods

在難度增加的情況下，新方法的解集成功率從原來普通方法的28%左右提高到了66%左右，這對提高優(yōu)化模型的尋優(yōu)效率具有非常重要的意義。

4 結(jié)論

本文提出的新的行星齒輪傳動系統(tǒng)設(shè)計變量選取及衍化方法在解集生成過程中需要采用變約束集對每個解進(jìn)行限制，在具體實(shí)施中較常規(guī)方法更為復(fù)雜。但從上述對比可以看出，在難度增加的情況下，該方法依然能使解集的成功率得到了很大的提高，說明該方法有效的增大了設(shè)計空間的連續(xù)性。這對于行星齒輪傳動系統(tǒng)的優(yōu)化工作打下了良好的基礎(chǔ)，具有重要的工程應(yīng)用意義。

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