●姜文彪

用數(shù)學建模解決身邊的經(jīng)濟問題案例及分析

●姜文彪

數(shù)學建模課程對數(shù)學素質(zhì)的要求比較高，尤其是經(jīng)濟、管理類專業(yè)的學生對本門課程學習起來更是感覺困難，實際生活中難以應(yīng)用。在經(jīng)濟數(shù)學的教學中融入數(shù)學建模的思想，使數(shù)學建模與經(jīng)濟數(shù)學、實際問題有機地結(jié)合起來，讓數(shù)學變得既生動又符合實際，取得良好的教學效果。

數(shù)學建模 經(jīng)濟數(shù)學 貨幣流 循環(huán)經(jīng)濟

一、引言

數(shù)學建模是在20世紀60~70年代進入西方國家一些大學的，我國的幾所大學也在80年代初將數(shù)學建模引入課堂。經(jīng)過30多年的發(fā)展，現(xiàn)在絕大多數(shù)本科院校和許多?？茖W校都開設(shè)了各種形式的數(shù)學建模課程和講座，我校也在1996年開設(shè)了數(shù)學建模課程，同年開始參加全國大學生數(shù)學建模競賽。經(jīng)過近20年的建設(shè)，數(shù)學建模課程已被評為校級精品課，越來越多的學生也開始對數(shù)學建模這門課程產(chǎn)生了興趣。但這門課程對數(shù)學素質(zhì)的要求比較高，很多學生在學習中很難理解和接受，尤其經(jīng)濟、管理類專業(yè)的學生，覺得這門課程枯燥乏味，晦澀難懂，和本專業(yè)好像聯(lián)系不大，從而產(chǎn)生厭學思想。本文根據(jù)筆者多年教學實踐和探索，將身邊的經(jīng)濟問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，用數(shù)學方法加以解決，讓學生對數(shù)學建模產(chǎn)生興趣，在講解經(jīng)濟數(shù)學的同時掌握了常見的數(shù)學建模方法，這樣極大地提高了學生學習數(shù)學的興趣，取得了較好的教學效果。

二、教學案例

（一）是買還是租

隨著人們生活水平的提高，越來越多的人們開始擁有了私家車，隨著買車市場的繁榮，租車市場也日漸興起。那么，到底是買車劃算還是租車劃算呢，下面我們用建模的思想對此問題加以解決。

假設(shè)購買一輛家用汽車需要15萬元現(xiàn)金，使用壽命15年；如果租一輛汽車，每年需要支付1.5萬元租金，租金以貨幣流的方式支付，若銀行的年利率是4%，問購買還是租用汽車劃算，如果銀行的年利率是8%，結(jié)論又是如何呢？

分析：購買一輛汽車可以使用15年，但需要馬上支付15萬元，而同樣租一輛汽車使用15年，則需要以貨幣流的方式支付15年的租金，年流量為1.5萬元。兩種方案所支付的價值無法直接比較，必須將它們都化為同一時刻的價值才可以比較。我們以當前的價值為準，購買一輛汽車的當前價格為15萬元。

下面計算均勻貨幣流的當前價格。

設(shè)t=0時向銀行存入Ae-rT元，若按連續(xù)復利計算，T年后在銀行的存款恰好為A元。那么，對流量為a的均勻貨幣流，在[t，t+△t]時所存入的元a△t元，在t=0時價值是a△tge-rt=ae-rt△t。

所以，15年的租金在當前的價值為：

此時租汽車比購買汽車劃算。

（二）用“循環(huán)經(jīng)濟”理念制定發(fā)展規(guī)劃

制定一個地區(qū)的規(guī)劃，不同的理念將導致不同的結(jié)果，或成功或失敗。以科學發(fā)展觀為指導思想，應(yīng)用循環(huán)經(jīng)濟理念制定發(fā)展規(guī)劃，越來越為人們所接收。

下面用陸鐘武教授提出的基于IPAT方程的環(huán)境負荷控制模型加以分析。

IPAT方程可表達為：

I=P×A×T

此模型簡單實用，它是西方學者經(jīng)過多年反復討論、經(jīng)過驗證確定下來的。其中I表示環(huán)境負荷，P表示人口，A表示人均GDP，T表示單位的GDP環(huán)境負荷。例如：

例如:設(shè)我國2013年人口為13.5×108人，人均為6000美元；2023年人口為15×108人，人均為11000美元。若此期間不允許環(huán)境負荷上升，問萬美元GDP環(huán)境負荷應(yīng)降低多少?

分析：設(shè)2013年，環(huán)境負荷為I0，萬美元GDP環(huán)境負荷為T0，則：

即在此期間，萬美元GDP環(huán)境負荷應(yīng)降低2.04倍。

以上是筆者在經(jīng)濟數(shù)學課程教學中將數(shù)學建模融入其中的幾個教學案例，當然還有很多需要完善和改進的地方。用數(shù)學定量地解決經(jīng)濟、管理科學和經(jīng)濟、管理實踐中的問題，恰當?shù)亟⒂谶@些問題有關(guān)的數(shù)學模型是關(guān)鍵。培養(yǎng)學生具有一定的數(shù)學素養(yǎng)、掌握一定的數(shù)學建模能力，對當前培養(yǎng)創(chuàng)新型和應(yīng)用型人才顯得尤為重要。

[1]母麗華，周永芳.數(shù)學建模[M].科學出版社，2011

[2]彭紅軍，張偉，李媛.微積分[M].機械工業(yè)出版社，2013

[3]譚永基等.經(jīng)濟管理數(shù)學模型案例教程[M].高等教育出版社，2006

[4]錢和平，徐青舟.數(shù)學建模融入經(jīng)濟數(shù)學教學中的案例及分析[J].大學數(shù)學，2012（6）

（作者單位：黑龍江科技大學理學院 黑龍江哈爾濱 150022）

（責編:賈偉）

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1004-4914（2014）04-268-01