鐘揚(yáng)威,王良明

(南京理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院,江蘇南京 210094)

基于曲面地表的彈箭射程計(jì)算方法

鐘揚(yáng)威,王良明

(南京理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院,江蘇南京 210094)

為了研究地表曲面對彈箭射程的影響,基于Kane方法建立計(jì)及地表曲面、重力加速度大小和方向變化的改進(jìn)剛體彈道模型,將大地線的概念引入到彈箭射程計(jì)算中,討論大地主題反解法、正球體兩點(diǎn)距算法、橢球體兩點(diǎn)距算法、高斯投影距算法4種在曲面地表情況下計(jì)算射程的方法,比較改進(jìn)剛體彈道模型和普通剛體彈道模型計(jì)算射程的差異。計(jì)算結(jié)果表明,在300 km范圍內(nèi),橢球體兩點(diǎn)距算法計(jì)算射程具有較高的精度,可作為曲面地表上的射程計(jì)算方法;考慮地表曲面后,采用改進(jìn)剛體彈道模型比普通剛體彈道模型精度更高。

兵器科學(xué)與技術(shù);曲面地表;彈道模型;射程

0 引言

在彈箭的彈道計(jì)算過程中,通常假設(shè)地表為平面,即認(rèn)為地表與地面坐標(biāo)系y=0平面重合,重力加速度方向也始終豎直向下。實(shí)際上,地球表面是一個(gè)曲面。在考慮曲面地表后,彈道的落點(diǎn)并不是地面坐標(biāo)系的y=0,并且重力加速度的大小和方向也是時(shí)刻變化的,因此,橢球地表會對彈箭的射程產(chǎn)生影響。目前,在外彈道計(jì)算和射表編制中,多采用修正理論對此偏差進(jìn)行處理。許多學(xué)者為解決這一問題做了研究,文獻(xiàn)[1]給出了考慮正常重力和橢球地表的彈道模型,雖然很精確,但其模型復(fù)雜,計(jì)算量大,使用起來不是很方便。文獻(xiàn)[2]中提出了使用射向內(nèi)切圓逼近橢球地表的圓球地表模型,這種方法簡單,具有一定的精度,但其只適用于射程在100 km以內(nèi)的彈道。文獻(xiàn)[3]設(shè)計(jì)了一種落點(diǎn)坐標(biāo)系彈道模型,計(jì)算表明對質(zhì)點(diǎn)彈道精度很高,但對6自由度彈道的精度沒有考慮。本文給出了一個(gè)計(jì)及曲面地表和重力加速度大小、方向變化的改進(jìn)剛體彈道模型,分析了射程計(jì)算方法,比較了兩種彈道模型的計(jì)算差異。計(jì)算結(jié)果表明,在300 km范圍內(nèi),橢球體兩點(diǎn)距算法精度較高且公式簡便,可作為曲面地表上的射程計(jì)算方法。曲面地表對彈箭的射程影響較大,在100 km范圍內(nèi)最大差異可達(dá)1 km,且其影響隨射程、緯度和射向的變化而不同。為了減小射程計(jì)算差異,可采用本文建立的改進(jìn)剛體彈道模型及射程計(jì)算方法。

1 坐標(biāo)系及其轉(zhuǎn)換關(guān)系

1.1 坐標(biāo)系的定義

1)慣性坐標(biāo)系Oexiyizi:不隨地球自轉(zhuǎn),Oe為地心,Oezi軸沿地球自轉(zhuǎn)軸,Oexi和Oeyi軸在赤道平面內(nèi),指向太陽系外的任意恒星,構(gòu)成右手正交系。忽略地球公轉(zhuǎn)。

2)地心坐標(biāo)系Oexeyeze:Oe為地心,Oeze軸沿地球自轉(zhuǎn)軸,Oexe軸在赤道平面內(nèi),與零度子午線相交,Oeye軸與Oeze軸和Oexe軸構(gòu)成右手正交系。

3)地理坐標(biāo)系Cxgygzg:C為彈箭質(zhì)心,Cyg軸垂直當(dāng)?shù)厮矫?沿當(dāng)?shù)卮咕€向上為正,Cxg軸和Czg軸在當(dāng)?shù)厮矫鎯?nèi),分別沿當(dāng)?shù)亟?jīng)線和緯線的切線方向,Cxg軸指向北,Czg軸指向東。

4)發(fā)射坐標(biāo)系Cxfyfzf:C為彈箭質(zhì)心,發(fā)射坐標(biāo)系由地理坐標(biāo)系繞Cyg軸轉(zhuǎn)動(dòng)-ψ0角得到。Cxfyf稱為射擊面,ψ0角稱為射擊方位角。

5)彈軸坐標(biāo)系Cξηζ:C為彈箭質(zhì)心,Cξ軸沿彈軸方向,Cη軸和Cζ軸在垂直彈軸的平面內(nèi),與Cξ軸構(gòu)成右手正交系。彈軸坐標(biāo)系可視為由發(fā)射坐標(biāo)系按3-2次序轉(zhuǎn)動(dòng)φ1和-φ2角得到。

1.2 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系

根據(jù)以上坐標(biāo)系的定義,坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換可用四元數(shù)來表示。

從地理坐標(biāo)系到發(fā)射坐標(biāo)系的四元數(shù)qψ為

2 改進(jìn)剛體彈道模型

2.1 彈箭運(yùn)動(dòng)方程組

利用彈箭Kane動(dòng)力學(xué)原理,考慮地表為橢球面,經(jīng)過推導(dǎo),得到彈箭的一般運(yùn)動(dòng)方程組,可表示為

式中:x=[u1u2u3u4u5u6φ1φ2γ B L H]T,其中u1、u2、u3表示彈丸在地理坐標(biāo)系3個(gè)方向上的速度,u4、u5、u6表示彈丸在彈軸坐標(biāo)系3個(gè)方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度,φ1、φ2和γ分別為彈軸高低角、彈軸方位角和滾轉(zhuǎn)角,B、L和H分別為地理緯度、地理經(jīng)度及高度。

2.2 慣性矩陣、廣義力矩陣和廣義慣性力矩陣

矩陣mpq、fp和Δf*

p中元素的求法如下:

式中:I、vp、ωp、at、εt分別為彈箭的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣、偏速度向量、偏角速度向量、加速度向量和角加速度向量;F和M分別為彈箭所受合力和合力矩向量;m為彈箭質(zhì)量。

2.3 偏速度、偏角速度和加速度及角加速度

彈箭的偏速度vp和偏角速度ωp按表1計(jì)算,表中:iE、iN、iU分別表示地理坐標(biāo)系三軸的單位向量;iξ、iη、iζ分別表示彈軸坐標(biāo)系三軸的單位向量。

表1 偏速度和偏角速度Tab.1 Partial velocity and partial angular velocity

式中:R0為某緯度上考慮了該緯度的離心加速度影響所選取的有效地球半徑[4],通?？扇榈厍虻钠骄霃?g0為海平面處的重力加速度,根據(jù)1979年國際地球物理及大地測量聯(lián)合會推薦的正常重力公式為

3 曲面地表時(shí)的彈箭射程及計(jì)算方法

大地線是連接橢球面上兩點(diǎn)的最短線,它具有平面上的直線和球面上的大圓弧類似的特性。因此,考慮地表為橢球面時(shí),彈箭的射程應(yīng)當(dāng)是橢球地表上,介于彈道起點(diǎn)和落點(diǎn)之間的大地線長度。

3.1 大地主題反解法

橢球面上點(diǎn)的大地經(jīng)度L、大地緯度B和兩點(diǎn)間的大地線長S叫做大地元素。已知兩點(diǎn)的經(jīng)緯度,計(jì)算它們之間的大地線長,叫做大地主題反解。

橢球面上的大地主題解算比平面和球面上的相應(yīng)計(jì)算復(fù)雜,這是因?yàn)闄E球面上的數(shù)學(xué)性質(zhì)比平面和球面復(fù)雜。由于對計(jì)算精度的要求不同及計(jì)算工具和技術(shù)的發(fā)展,許多測量學(xué)者提出了種類繁多的解算公式和方法。文獻(xiàn)[5]中介紹了幾種典型的計(jì)算公式和方法。本文在下面的計(jì)算中采用的是高斯平均引數(shù)大地主題反解公式和貝塞爾大地主題反解公式計(jì)算兩點(diǎn)間的大地線長。

3.2 近似計(jì)算

由于大地主題解算公式復(fù)雜,且常需要進(jìn)行迭代,計(jì)算不是很方便,目前發(fā)展了多種計(jì)算橢球面上兩點(diǎn)間距離的近似算法。

3.2.1 正球體兩點(diǎn)距算法

設(shè)地球上彈道起點(diǎn)O的經(jīng)緯度坐標(biāo)為(LO, BO)、彈道落點(diǎn)C的經(jīng)緯度坐標(biāo)為(LC,BC),當(dāng)將地球視為正球體時(shí),則兩點(diǎn)的距離D的計(jì)算公式為

式中:R取地球平均半徑。

3.2.2 橢球體兩點(diǎn)距算法

地球參考橢球上的任意一點(diǎn)的大地經(jīng)緯度和高度坐標(biāo)(L,B,H)與地心直角坐標(biāo)(x,y,z)的變換關(guān)系式為[6]

考慮地表為曲面,則使用兩點(diǎn)間的貼地面弧長D作為兩點(diǎn)間的距離更接近實(shí)際情況,修正弧長

3.2.3 高斯-克呂格投影距算法

高斯-克呂格投影屬于地圖投影的一種,地圖投影是建立橢球面與平面上點(diǎn)與點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系,其按投影面、投影變形性質(zhì)的分類方法很多,文獻(xiàn)[5]中介紹了幾種常用的投影計(jì)算公式。

本文計(jì)算采用高斯六度帶投影法,空間大地坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換成平面直角坐標(biāo)系的計(jì)算公式為

4 計(jì)算結(jié)果與比較

4.1 不同射程計(jì)算模型計(jì)算比較

為比較幾種不同的射程計(jì)算方法計(jì)算射程的差異,在不同緯度上選取起點(diǎn),在不同距離上選取落點(diǎn),起點(diǎn)經(jīng)度都選取為東經(jīng)115°,用上文4種方法計(jì)算兩點(diǎn)間距離,其中橢球體取1975年國際地球物理及大地測量聯(lián)合會推薦的橢球參數(shù),正球體半徑取地球平均半徑,結(jié)果如表2所示。

由大地主題反解法算出的距離精度最高,可作為標(biāo)準(zhǔn)值。由表2可以看出,在不同緯度和不同距離上,由橢球體兩點(diǎn)距算法算出的距離和標(biāo)準(zhǔn)值基本相同。正球體兩點(diǎn)距算法有明顯的偏差,最大相對偏差為0.24%,中緯度上偏差小于低緯度和高緯度。高斯投影距算法在不同緯度和距離上與大地主題反算法計(jì)算出的結(jié)果基本吻合,最大相對偏差為0.02%,可以看出高斯投影距算法計(jì)算精度較高。在精度允許的范圍內(nèi),橢球體兩點(diǎn)距算法公式簡便,可作為彈箭射程的計(jì)算方法。

表2 不同計(jì)算方法射程計(jì)算差異Tab.2 The ranges calculated by different calculation methods

4.2 不同彈道模型計(jì)算比較

為了考察改進(jìn)剛體彈道模型與文獻(xiàn)[4]中6自由度剛體彈道模型計(jì)算射程的差異,以某型火箭彈為研究對象進(jìn)行對比計(jì)算(通過改變火箭的裝藥質(zhì)量來改變其射程),計(jì)算結(jié)果如表3所示。表中Xc、Xi分別為6自由度剛體彈道模型和本文的改進(jìn)剛體彈道模型計(jì)算得到的射程,ΔX=Xc-Xi為兩種模型計(jì)算的射程差。改進(jìn)剛體彈道模型中,彈道起點(diǎn)經(jīng)度為東經(jīng)115°.

由表3可以看出,在相同的初始條件下,改進(jìn)剛體彈道模型計(jì)算的射程隨著緯度的升高而減小。在不同射程和緯度上,普通6自由度剛體彈道模型計(jì)算射程比改進(jìn)剛體彈道模型計(jì)算的射程大,其差異隨著射程的增大而增大,在100 km時(shí)最大射程差可達(dá)到1 000 m.射程越遠(yuǎn),地表曲面對射程的影響越大。正北和正西射向時(shí)的射程差異大于正東和正南射向。正北和正西射向時(shí)的射程差異隨緯度的升高而增大,而正東和正南射向時(shí)的射程差異隨緯度的升高而減小。

表3 不同彈道模型射程計(jì)算差異Tab.3 The ranges calculated by different ballistic models

5 結(jié)論

本文建立了基于地表曲面的改進(jìn)剛體彈道模型,定義了地表曲面上的射程。討論了射程計(jì)算方法,比較了兩種彈道模型計(jì)算射程的差異。不同射程計(jì)算方法計(jì)算結(jié)果表明,在300 km范圍內(nèi),大地主題反解法和橢球體兩點(diǎn)距算法精度最高,高斯投影距算法精度也較高,最大偏差為0.02%,正球體兩點(diǎn)距算法偏差較大,最大偏差可達(dá)0.24%.在精度允許的范圍內(nèi),橢球體兩點(diǎn)距算法計(jì)算公式簡單,因此在射程計(jì)算時(shí)可采用該方法。兩種彈道模型計(jì)算結(jié)果顯示,曲面地表對彈箭的射程影響隨射程、緯度和射向的變化而不同。射程越遠(yuǎn),影響越大。正北和正西射向時(shí)的影響大于正東和正南射向。正北和正西射向時(shí)的影響隨緯度的升高而增大,而正東和正南射向時(shí)影響相反。本文建立的改進(jìn)剛體彈道模型及射程計(jì)算方法對于射表編制、試驗(yàn)射程標(biāo)準(zhǔn)化及彈箭設(shè)計(jì)有一定的參考價(jià)值。

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Method of Calculation on the Range of Projectiles and Rockets Based on Curved Earth's Surface

ZHONG Yang-wei,WANG Liang-ming
(School of Energy and Power Engineering,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,Jiangsu,China)

To study the effects of curved earth's surface on the ranges of projectiles and rockets,a modified rigid body trajectory model is built based on Kane method in which the curved earth's surface and the changes in both the size and direction of the gravity acceleration are considered.The concept of geodesic line is introduced to the range calculation of projectiles or rockets.Four calculation methods for the range under the condition of curved earth's surface are discussed,such as inverse solution of geodetic problem and so on.The range errors calculated with the modified rigid body trajectory model and the ordinary rigid body trajectory model are compared.The result shows that the spheroidal distance algorithm has a high calculation precision in the range of 300 km,and can be used to calculate the range on the curves earth's surface.The modified rigid body trajectory model is more accurate than the ordinary rigid body trajectory model in the consideration of the curved earth's surface.

ordnance science and technology;curved earth's surface;trajectory model;range

TJ012.2

:A

:1000-1093(2014)08-1187-06

10.3969/j.issn.1000-1093.2014.08.008

2013-07-22

鐘揚(yáng)威(1989—),男,博士研究生。E-mail:zyw_601@163.com;王良明(1963—),男,教授,博士生導(dǎo)師。E-mail:lmwang802@163.com