胡志坤， 劉斌， 林勇， 王文祥， 彭小奇

(1.中南大學物理與電子學院，湖南長沙410083;2.湖南科力遠高技術(shù)股份有限公司，湖南長沙410083)

0 引言

電池的荷電狀態(tài)(state of charge，SOC)估計對電池的有效使用具有重要的意義，也是電池管理系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)之一。由于SOC是不可直接測量，且是非線性量，還受許多其他因素的影響，因此對其估計的難度很大，提高估計精確度很難。

目前在工程上常用的方法是電流積分法(安時法)［1］，但該方法對SOC的初值敏感且容易產(chǎn)生累積誤差;實驗上采用的開路電壓法有較好的確精度，但是需要電池長時間的靜置，在車況中難以實現(xiàn)［2］;神經(jīng)網(wǎng)絡法可以應用于任何電池，但需要大量的訓練數(shù)據(jù)［3－4］。擴展的卡爾曼濾波(extended Kalman filter，EKF)算法需要計算Jacobians矩陣使模型線性化，從而引入了不必要的線性化誤差，無極卡爾曼濾波(unscented Kalman filter，UKF)算法是一種新的非線性濾波方法，相對EKF精確度得到了提高，但有數(shù)字不穩(wěn)定性的缺點，而平方根無極卡爾曼濾波(square root unscented Kalman filter，SR － UKF)算法不僅與UKF有相同的精確度且增加了數(shù)字穩(wěn)定性和狀態(tài)協(xié)方差的半正定性［5］，但是SR－UKF算法把噪聲協(xié)方差看作常量，不能滿足噪聲的實時更新特性，從而影響了估計精確度。

為了解決噪聲協(xié)方差的時變性帶來的誤差，本文在SR－UKF算法的基礎上進行了改進，將每次測量的輸出值與模型估計得到的輸出值的殘差及各狀態(tài)Sigma點估算得到的輸出值的殘差的加權(quán)和作為新息來估計當前時刻的噪聲協(xié)方差，讓其隨時間而更新，實時反饋，從而提高精確度。本文以目前仍在混合動力汽車上廣泛使用的鎳氫電池為實驗對象，利用改進(平方根無極卡爾曼濾波)算法——自適應平方根無極卡爾曼濾波算法(adpatived square root unscented Kalman filter，ASR －UKF)對其放電過程中的SOC進行了估計。

1 自適應平方根無極卡爾曼濾波算法

自適應平方根無極卡爾曼濾波是在SR－UKF的基礎上利用模型輸出的殘差序列作為新息估算當前的噪聲的協(xié)方差的方法［6－7］，使得噪聲協(xié)方差隨著時間的更新而更新，實時反饋，從而提高了算法精確度。

首先給定離散非線性動態(tài)系統(tǒng)模型的基本結(jié)構(gòu)，其形式為

式中:xk為系統(tǒng)狀態(tài)向量;uk為已知的外部輸人;yk為系統(tǒng)的觀測向量;wk為動態(tài)系統(tǒng)的過程噪聲;vk為觀測噪聲，它們都是高斯白噪聲(協(xié)方差矩陣為半正定性矩陣)，F(xiàn)(xk，uk)和 H(xk，uk)都是 xk和uk的函數(shù)。平方根無極卡爾曼濾波算法使用了3種強大的線性代數(shù)方法，即QR分解，Cholesky因式分解，最小二乘法［8］。

自適應平方根無極卡爾曼濾波算法同SRUKF一樣包含了4個部分:初始化、Sigma點的計算、時間更新方程和測量更新方程，測量更新方程包括計算卡爾曼增益、狀態(tài)估計和狀態(tài)協(xié)方差及噪聲處理。可用于系統(tǒng)的狀態(tài)估計和參數(shù)估計。

算法描述如下:

1)初始化

2)計算Sigma點

每個Sigma點表示在估計值的小零域內(nèi)的有效值，χk－1表示各 Sigma 點的集合。

3)時間更新

利用k－1時刻的狀態(tài)估計的Sigma點估算得到的 k時刻的狀態(tài)向量 χk|k－1，即

式中 χi，k|k－1表示第 i個由 k －1 時刻的狀態(tài)估計的Sigma點估算得到的k時刻的狀態(tài)值表示各狀態(tài)估計值的加權(quán)和。然后計算k時刻的狀態(tài)估計誤差的協(xié)方差的平方根，即UKF算法的狀態(tài)估計誤差協(xié)方差的各部分平方根，由式(8)、式(9)求得。

輸出的更新值為

式中:yk|k－1表示由狀態(tài)量的各sigma點算出的k時刻的輸出值向量;yi，k|k－1表示第 i個 sigma點計算得到的k時刻的輸出估計值，即yk|k－1中的元素表示各估計值的加權(quán)和，用來作為新時刻的輸出估計值。

4)測量更新

同式(8)、式(9)一樣，式(13)、式(14)用來計算輸出殘差的協(xié)方差的平方根Syk，Pxk，yk表示狀態(tài)估計誤差和輸出值估計誤差的互協(xié)方差。

(a)計算卡爾曼增益［8］

(b)狀態(tài)估計

由式(15)和式(16)可得

(c)狀態(tài)誤差協(xié)方差更新

式中:U表示狀態(tài)估計誤差的協(xié)方差加權(quán)和，用來計算狀態(tài)誤差協(xié)方差更新。

由于過程噪聲和測量噪聲都是實時的，為了讓噪聲協(xié)方差實時更新，做了如下改進，即

其中 μk和(yi，k|k－1－ yk)分別是測量輸出量的殘差和各Sigma點估算得到的測量輸出量的殘差，

下面證明式(21)～式(23)。

由式(2)可知

則式(20)、式(25)是vk的估計值。Fk是測量量的殘差協(xié)方差，各殘差的協(xié)方差和的均值Rvk便可以作為測量噪聲協(xié)方差的估計值。由式(1)可知

而式(17)可化為

又因為

所以

證畢。

ASR－UKF算法具有SR－UKF算法的優(yōu)點且有自適應的調(diào)節(jié)過程值和測量噪聲的協(xié)方差的能力，克服了SR－UKF算法的不足，剔除了EKF的線性化帶來的誤差，UKF的數(shù)字不穩(wěn)定性，提高了估算精確度。

2 建立電池模型

2.1 模型結(jié)構(gòu)

零狀態(tài)滯后電池模型常用來描述電池電壓特性的，該模型是一組合模型［9］，優(yōu)點在于無需考慮電池使用過程中其他因素的影響，常被用在基于卡爾曼濾波算法的電池SOC的估計中。其離散的狀態(tài)方程和輸出方程為

式中:S表示SOC;Cn為電池的額定容量;Δt是采樣時間間隔;下標k表示第k個采樣點;U和I分別代表輸出電壓和電流;R表示電池內(nèi)阻;w和ν分別表示過程噪聲和測量噪聲且均是高斯白噪聲;H是充放電變換時的滯后參數(shù);hk是滯后參數(shù)的系數(shù)，其取值為

K0，K1，K2，K3，K4是描述電池開路電壓(OCV)與SOC關(guān)系的5個未知參數(shù)。

2.2 模型參數(shù)的辨識

模型參數(shù)辨識是估計SOC關(guān)鍵的一步。通過用10節(jié)額定電壓為1.2 V，額定容量為30 Ah的鎳氫電池串聯(lián)組成測試對象。在常溫下對電池進行間歇性(周期20 min)恒流放電實驗，計算電池荷電狀態(tài)(SOC)值和靜置狀態(tài)下記錄電池OCV，得到SOC的實驗值如圖1所示，OCV與SOC的關(guān)系如圖2所示。

圖1 SOC實驗值Fig.1 Experimental values of SOC

圖2 開路電壓與SOC的關(guān)系Fig.2 Relationship between open-circuit voltage and SOC

利用開路電壓與SOC的關(guān)系，采用最小二乘法可以辨識出參數(shù) K0，K1，K2，K3，K4［9］。然后對電池組充電，再進行放電測試，對其放電過程的電流和端電壓進行采樣，采樣時間間隔為0.5 s，采樣得到的數(shù)據(jù)分別如圖3和圖4所示。

圖3 電流與時間的關(guān)系Fig.3 Relation between current and time

圖4 端電壓與時間的關(guān)系Fig.4 Relationship between voltage and time

在已知過程電流和端電壓的情況下聯(lián)立開路電壓與SOC的函數(shù)關(guān)系，同樣利用最小二乘法便可得出內(nèi)阻R和滯后參數(shù)H。

辨識算法如下:

圖5 開路電壓擬合圖Fig.5 Fitting chart of open-circuit voltage

另設:

則

辨識的效果如圖6和圖7所示。

圖6 辨識輸出值與測量值Fig.6 Measured and identified voltages

圖7 輸出電壓辨識誤差Fig.7 Output voltage errors

由圖7可以看出，辨識的誤差在0.12 V以內(nèi)，達到了所需精確度。

辨識的結(jié)果如表1所示。

表1 模型參數(shù)辨識結(jié)果Table 1 Identification results of model parameter

3 實驗與分析

為了驗證改進的算法估計SOC的精確度相對原算法有所提高，本文利用10節(jié)額定電壓為1.2 V，額定容量為30 Ah的鎳氫電池串聯(lián)在常溫下進行恒流放電實驗。放電的時間間隔為20 min;放電過程中通過51單片機對電流和端電壓進行周期為0.5 s的A/D采樣，將采樣值通過串口傳輸?shù)诫娔X并保存;同時將靜置時的開路電壓和積分法算出每個靜置時的電池SOC值也保存到電腦。通過電流檢測電路(使用霍爾傳感器)對電池放電電流進行檢測，檢測結(jié)果送給PWM控制芯片，控制芯片輸出適當寬度的脈沖，由開關(guān)管工作執(zhí)行，達到控制電流恒定的目的。

估算SOC時必須先設定初值，即初始化。設定的初值如表2所示。

表2 算法初值Table 2 Initial value of the algorithm

分別利用SR－UKF算法和ASR－UKF算法對鎳氫電池常溫下放電過程中的SOC進行估計。由模型的狀態(tài)方程可知算法中的L=1。得到的結(jié)果與實驗值比較如圖8所示。

圖8 SR-UKF和ASR-UKF估算SOC的結(jié)果與實驗值Fig.8 SOC estimation results of SR-UKF and ASR-UKF

實驗表明ASR－UKF算法相對SR－UKF算法提高了估算SOC的精確度(0.3≤YSOC≤0.9)，在區(qū)間0.2≤YSOC≤0.9內(nèi)誤差在1.5%以內(nèi)，如圖9所示。

圖9 SR－UKF和ASR－UKF估算SOC的誤差Fig.9 Estimation errors of SR-UKF and ASR-UKF

4 結(jié)語

利用自適應平方根卡爾曼濾波算法對在常溫下進行放電的鎳氫電池的SOC估算，結(jié)果表明ISRUKF算法相對SR－UKF算法的精確度在0.3≤YSOC≤0.9范圍內(nèi)得到了明顯提高。在電池工作區(qū)間0.2≤YSOC≤0.9內(nèi)誤差在1.5%以內(nèi)。另外算法是遞歸形式，滿足SOC的實時估計。

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