徐鵬， 肖建， 楊奕， 李山

(1.西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，四川成都610031;2.重慶理工大學(xué)電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，重慶400054)

0 引言

經(jīng)典系統(tǒng)辨識(shí)理論通常假設(shè)系統(tǒng)的輸入輸出采樣數(shù)據(jù)均是在同一操作頻率(單率)下獲得。隨著各種工業(yè)過(guò)程的發(fā)展和生產(chǎn)需求的提高，受客觀物理因素的限制，如輸入輸出變量的頻率特性、設(shè)備傳感器特性等，輸入與輸出變量需要采用不同的采樣(保持)頻率采集過(guò)程數(shù)據(jù)，從而出現(xiàn)多率采樣系統(tǒng)。多率采樣系統(tǒng)理論研究技術(shù)起步于20世紀(jì)50年代，隨后逐步應(yīng)用于通信系統(tǒng)、信號(hào)處理、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、過(guò)程工業(yè)控制等領(lǐng)域。隨著被控對(duì)象復(fù)雜度的加深，多率采樣系統(tǒng)更多用于各類控制系統(tǒng)中，而多率采樣系統(tǒng)的建模與辨識(shí)先于控制成為研究的熱點(diǎn)［1］。

永磁同步電機(jī)(permanent magnet synchronous motors，PMSM)具有體積小、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、效率高等諸多優(yōu)點(diǎn)，使得其在數(shù)控機(jī)床、醫(yī)療器械、航空航天等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。然而與其他交流電機(jī)一樣，由于受噪聲、溫度和磁場(chǎng)等因素影響，永磁同步電動(dòng)機(jī)是一個(gè)參數(shù)不確定、非線性、強(qiáng)耦合和多變量高階復(fù)雜系統(tǒng)，為保證相關(guān)的控制算法有效運(yùn)行，首先需要獲得電機(jī)相關(guān)參數(shù)，目前常用的電機(jī)參數(shù)辨識(shí)方法主要有最小二乘法［2－8］、卡爾曼濾波法［9－12］、模型參考自適應(yīng)法［13－16］以及人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法［17－20］。最小二乘法具有算法簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，因此被廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)辨識(shí)中。它既可以用于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)也可以用于靜態(tài)系統(tǒng);既可以用于線性系統(tǒng)，也可以用于非線性系統(tǒng);既可以用于離線估計(jì)，也可以用于在線估計(jì)。文獻(xiàn)［5］用帶有遺忘因子的最小二乘法對(duì)轉(zhuǎn)子慣性常數(shù)、阻尼常數(shù)進(jìn)行了估計(jì)，并采用極點(diǎn)配置理論設(shè)計(jì)的實(shí)時(shí)PI控制器在參數(shù)變化的情況下對(duì)永磁同步電機(jī)進(jìn)行了精確控制。文獻(xiàn)［6］采用帶有遺忘因子的最小二乘法對(duì)定子電阻、轉(zhuǎn)子磁通和電機(jī)銅損電阻進(jìn)行了辨識(shí)，通過(guò)采用輸入、輸出反饋控制和滑模觀測(cè)器觀測(cè)轉(zhuǎn)子速度和位置實(shí)現(xiàn)永磁同步電機(jī)的無(wú)速度傳感器控制。文獻(xiàn)［7－8］論述了采用帶有遺忘因子的最小二乘法對(duì)Rd，Rq，Ld，Lq在有短路情況下引起較大溫升時(shí)的參數(shù)變化進(jìn)行了辨識(shí)，以檢測(cè)定子繞組匝間短路。

本文采用多項(xiàng)式變換技術(shù)推導(dǎo)出永磁同步電機(jī)雙率采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)模型，而變換后原單率系統(tǒng)模型中的白噪聲變成有色噪聲，針對(duì)帶有色噪聲的雙率采樣模型，推導(dǎo)出辨識(shí)永磁同步電機(jī)雙率采樣系統(tǒng)基于殘差增廣最小二乘算法(DR－RELS)，并對(duì)算法進(jìn)行收斂性分析，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明DR－RELS辨識(shí)算法對(duì)永磁同步電機(jī)雙率采樣系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)一致收斂。

1 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

永磁同步電動(dòng)機(jī)具有多變量、強(qiáng)耦合、非線性的性質(zhì)，要獲得良好的調(diào)速性能需在控制時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)象的近似解耦。因此常采用轉(zhuǎn)子磁鏈定向同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(即d－q軸旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系)對(duì)永磁同步電動(dòng)機(jī)性能進(jìn)行分析研究。在建立永磁同步電機(jī)d－q軸數(shù)學(xué)模型前對(duì)電機(jī)本體及外界影響做出一些假設(shè)，永磁同步電動(dòng)機(jī)在d－q軸旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的電壓方程［21－22］為

機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程

2 永磁同步電機(jī)雙率增廣最小二乘算法

多輸入多輸出多率采樣系統(tǒng)可以分解為若干個(gè)單輸入單輸出雙率采樣系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行研究。國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者研究多率采樣系統(tǒng)時(shí)，往往從雙率采樣系統(tǒng)出發(fā)，然后將研究成果推廣至多率采樣系統(tǒng)。針對(duì)一類單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)，其輸入量的保持頻率與輸出量的采樣頻率不同，如圖1所示，Pc為連續(xù)時(shí)間過(guò)程，由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的離散控制信號(hào)u(tT1)經(jīng)過(guò)周期為T1=ph的零階保持器HT1產(chǎn)生的連續(xù)信號(hào)uc作為連續(xù)過(guò)程Pc的輸入，受噪聲v影響的輸出yc經(jīng)過(guò)采樣周期T2=qh的采樣器ST2產(chǎn)生離散輸出信號(hào)y(tT2)(p和q互質(zhì)，h為基周期)。

圖1 雙率采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)Fig.1 Dual-rate sampled-data system

多項(xiàng)式變換技術(shù)是除提升技術(shù)以外的唯一能夠獲得雙率辨識(shí)模型的方法，這種方法通過(guò)對(duì)單率模型作一定的轉(zhuǎn)換，使其可以直接使用雙率數(shù)據(jù)辨識(shí)出系統(tǒng)模型，然后在辨識(shí)出的雙率模型參數(shù)的基礎(chǔ)上結(jié)合雙率數(shù)據(jù)得出采樣間輸出的估計(jì)，最后實(shí)現(xiàn)雙率系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)［1，23］。

設(shè)定采樣基周期為h=T，輸入采樣周期為T，輸出采樣周期為2T，即p=1，q=2，引入多項(xiàng)式

式(3)兩邊左乘D(z)得到

為簡(jiǎn)化問(wèn)題分析，下面僅分析d軸電流，并設(shè)定q軸電流無(wú)噪聲干擾，即vq(k)=0，整理得

代換參數(shù)得

式中:

定義參數(shù)向量

那么式(6)可以寫成下列回歸形式

用qt代替k得到

式中:

φ0(qt)包含可測(cè)得的雙率采樣輸入輸出數(shù)據(jù){i(qt)，u(t)}，同時(shí)也包含不可測(cè)的噪聲項(xiàng)v(qti)，無(wú)法采用標(biāo)準(zhǔn)的最小二乘算法估計(jì)參數(shù) ?。φ0(qt)中的未知項(xiàng) v(qt－i)用殘差 v^(qt－i)來(lái)代替，則φ0(qt)用下面的信息向量代替

殘差估計(jì)值可由下式計(jì)算得到

其中y(qt－i)=id(qt－i)，由于i=1不是q的整數(shù)倍，式(9)中 y(qt－i)和 φT(qt－i)均不可測(cè)，則無(wú)法通過(guò)式(9)來(lái)計(jì)算殘差估計(jì)。為此，需要將不可測(cè)的輸出采樣中間值y(qt－i)用其估計(jì)y^(qt－i)來(lái)代替，其計(jì)算過(guò)程如下:

由式(3)得

設(shè)

則式(10)可寫成如下形式

用qt代換k

式中:

殘差估計(jì)值可由下式求得，

可得針對(duì)永磁同步電機(jī)雙率采樣系統(tǒng)模型公式(7)的參數(shù)?辨識(shí)算法，即基于殘差增廣最小二乘(DR－RELS)辨識(shí)算法

算法初始化設(shè)置:P(0)=p0I，p0為很大的正整數(shù)，I為單位陣，?^(0)為很小的實(shí)向量。

做法：1.取水淀粉加入熱水中，將手浸泡15分鐘，然后用清水洗凈，涂抹大量的含有維生素A的軟膏。2.用保鮮膜包裹手部，戴上手套或保鮮膜保持一夜，第二天早上再洗凈即可。

3 算法性能分析

設(shè){v(t)，F(xiàn)t}為定義在概率空間{Ω，F(xiàn)，P}的鞅差分序列，其中{Ft}是由{v(t)}產(chǎn)生的代數(shù)序列，比如，F(xiàn)t=σ(v(t)，v(t－1)，v(t－2)，…)或 Ft=σ(y(t)，y(t－1)，y(t－2)，…)［24］。

對(duì)于噪聲序列{v(t)}，假設(shè)其滿足下列條件:

算法收斂性的驗(yàn)證需要以下引理。

引理1 對(duì)于DR－RELS算法式(12)～式(21)，下列不等式成立:

證明參考文獻(xiàn)［25］中引理2的證明，此處從略。

定義

那么可得

引理2 對(duì)于雙率采樣系統(tǒng)公式(8)和DRRELS算法式(12)～式(21)，假設(shè)條件(A1)和(A2)成立，且

(A3)H(z):=D－1(z)－嚴(yán)格正實(shí)

則

這里(A3)保證了S(qt)≥0成立。

證明參考文獻(xiàn)［1］中引理2.2.2的證明，此處從略。

定理3 對(duì)于雙率系統(tǒng)式(8)和DR－RELS式(12)～(21)算法，假設(shè)引理2中的條件都滿足，那么對(duì)于任意c＞1，有

證明結(jié)合文獻(xiàn)［1］，對(duì)于結(jié)論1，設(shè)

由 P－1(qt)的定義(20)可知 ln|P－1(qt)|為非遞減，利用引理2可得

應(yīng)用文獻(xiàn)［24］中的引理D.5.3可得

由于S(qt)≥0，上式表示

由 ln|P－1(qt)|=O(lnr(qt))=O(lnλmax［P－1(qt)］，則

對(duì)于結(jié)論2，3和4設(shè)

c＞1.則結(jié)論2，3和4可以用相似的方法得以證明。定理3證畢。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

永磁同步電機(jī)電磁參數(shù)見(jiàn)表1所示，系統(tǒng)基周期T=1e－6(s)，輸入采樣周期為 1e－6(s)，輸出采樣周期為2e－6(s)，p=1，q=2，電機(jī)調(diào)速采用雙閉環(huán)PI調(diào)節(jié)方式，轉(zhuǎn)速設(shè)定為ω=100(rad/s)，負(fù)載轉(zhuǎn)矩為7 N·m，轉(zhuǎn)速和d軸電流響應(yīng)如圖2，圖3所示。

表1 永磁同步電機(jī)電磁參數(shù)Table 1 Electromagnetic parameters of PMSM

由電機(jī)電磁參數(shù)可以得到永磁同步電機(jī)雙率采樣系統(tǒng)的參數(shù)真實(shí)值

圖2 轉(zhuǎn)速響應(yīng)Fig.2 Speed response

圖3 d軸電流響應(yīng)Fig.3 d-axis current response

結(jié)合參數(shù)?的值以及公式(8)φ0(qt)表達(dá)式，可以確定 αd1，βd1，βd2為辨識(shí)過(guò)程的關(guān)鍵參數(shù)，而 αd2，βd3，βd4參數(shù)相對(duì)極小，γd1辨識(shí)因采用殘差估計(jì)噪聲故不作為考察參數(shù)。故設(shè)定辨識(shí)過(guò)程的關(guān)鍵參數(shù)為噪聲信號(hào){v(t)}為零均值、方差為σ2白噪聲序列。不同噪聲方差σ2下應(yīng)用DR－RELS算法來(lái)估計(jì)參數(shù)?，并采用其估計(jì)值直接計(jì)算:=［的估計(jì)值，則參數(shù)估計(jì)和估計(jì)誤差見(jiàn)表2～表5和圖 4，其中 δ:= ‖－ ?k‖/‖?k‖，δs:= ‖－ θ‖/‖θ‖為歐幾里得范數(shù)計(jì)算參數(shù)估計(jì)誤差。

表2 DR-RELS算法的?k估計(jì)值(σ2=0.012)Table 2 DR-RELS estimates ?k(σ2=0.012)

表3 a1和b1估計(jì)值(σ2=0.012)Table 3 Estimates a1and b1(σ2=0.012)

表4 DR-RELS算法的?k估計(jì)值(σ2=0.022)Table 4 DR-RELS estimates ?k(σ2=0.022)

表5 a1和b1估計(jì)值(σ2=0.022)Table 5 Estimates a1and b1(σ2=0.022)

由表2～表5和圖4可以看出，隨著時(shí)間t的增加，參數(shù)估計(jì)誤差δ逐漸減小，參數(shù)估計(jì)值收斂于真實(shí)值。隨著噪聲方差σ2的減小，參數(shù)估計(jì)誤差δ在辨識(shí)初期的振蕩幅度逐漸減小。但因辨識(shí)參數(shù)值的差異性太大，如αd1遠(yuǎn)大于βd1，βd2，這就導(dǎo)致各個(gè)參數(shù)收斂速度的不均衡。結(jié)合圖3電流響應(yīng)，可以看出辨識(shí)初期電流值在零附近，噪聲信號(hào)影響較大，而噪聲的估計(jì)值不準(zhǔn)確性導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)誤差δ振蕩劇烈。

圖4 不同噪聲方差下參數(shù)估計(jì)誤差δFig.4 Comparison between σ2=0.012and 0.022:DR-RELS estimation error δ

采用DR－RELS雖然能有效辨識(shí)帶噪聲的永磁同步電機(jī)雙率采樣系統(tǒng)，但是由于采用多項(xiàng)式變換技術(shù)后待辨識(shí)參數(shù)的增加，使得應(yīng)用DR－RELS算法時(shí)增加了算法的計(jì)算量。

5 結(jié)論

采用多項(xiàng)式變換技術(shù)對(duì)多變量、強(qiáng)耦合永磁同步電機(jī)系統(tǒng)變換得基于雙率采樣數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型，并采用基于殘差增廣最小二乘算法(DR－RELS)對(duì)其變換后的模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，同時(shí)對(duì)算法進(jìn)行了性能分析，仿真結(jié)果證明該算法對(duì)永磁同步電機(jī)雙率采樣數(shù)據(jù)模型參數(shù)估計(jì)一致收斂性。

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