邊少鋒,李忠美,李厚樸

海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系,湖北武漢 430033

極區(qū)非奇異高斯投影復(fù)變函數(shù)表示

邊少鋒,李忠美,李厚樸

海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系,湖北武漢 430033

在高斯投影復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)上,引入復(fù)變等角緯度的概念,避免等量緯度在極點(diǎn)的奇異性。其次,在復(fù)變等角緯度的基礎(chǔ)上引入復(fù)變等角余緯度,并將極點(diǎn)作為高斯投影的坐標(biāo)原點(diǎn),建立了極區(qū)非奇異高斯投影復(fù)變函數(shù)表示形式。最后,與傳統(tǒng)高斯投影冪級(jí)數(shù)及以往復(fù)變函數(shù)表示式相比較,驗(yàn)證了該公式的準(zhǔn)確性。新的極區(qū)高斯投影表達(dá)式克服了傳統(tǒng)高斯投影分帶的缺陷,使得高斯投影在極區(qū)有一個(gè)統(tǒng)一的完整的“一體化表示形式”。

高斯投影;非奇異公式;復(fù)變函數(shù);極區(qū);余緯度

1 引 言

近年來(lái),隨著極區(qū)的戰(zhàn)略地位越來(lái)越受到國(guó)際關(guān)注,我國(guó)也日益重視極地考察工作,但與美俄等國(guó)相比,仍存在較大差距。為保障我國(guó)在極區(qū)事務(wù)中的國(guó)際地位及相關(guān)權(quán)益,須重視和加強(qiáng)極區(qū)的科學(xué)研究[1-3]。選擇合適的投影方式對(duì)極區(qū)航海及科考圖的繪制至關(guān)重要。極區(qū)通常采用日晷投影[4-5],該投影以極點(diǎn)為中心,且投影變形有對(duì)稱(chēng)的優(yōu)點(diǎn),但日晷投影僅與地球橢球相切于一點(diǎn),隨著極距增加投影變形也逐漸變大。而高斯投影與地球橢球相切于經(jīng)圈,故在極區(qū)的長(zhǎng)度變形必定小于日晷投影,且其在中央子午線(xiàn)上無(wú)投影變形。再考慮高斯投影具有保角優(yōu)勢(shì),可正確反映極區(qū)的方位關(guān)系?？梢哉f(shuō),極區(qū)高斯投影對(duì)于極區(qū)航海及科考圖的繪制具有較重要的參考價(jià)值。然而傳統(tǒng)高斯投影公式被表示成經(jīng)差的冪級(jí)數(shù)形式,投影區(qū)域通常被劃分為3°或6°帶,使得極區(qū)難以形成完整的表達(dá)[6-7]。針對(duì)這一問(wèn)題,文獻(xiàn)[8—11]研究了高斯投影的復(fù)變函數(shù)表示,可使高斯投影避免分帶現(xiàn)象,但因表達(dá)式中的等量緯度在極點(diǎn)存在奇異問(wèn)題,不便于在極區(qū)應(yīng)用。因此,既不受限于帶寬又適用于極區(qū)的高斯投影公式仍待推導(dǎo)。又陸圖通常采用高斯投影,海圖在非極區(qū)使用墨卡托投影,在極區(qū)采用日晷投影,多種投影方式使得海圖、陸圖難以統(tǒng)一[12-15]。鑒于此,本文推導(dǎo)出極區(qū)非奇異高斯投影復(fù)變函數(shù)表示式,該表達(dá)式使得極區(qū)無(wú)需分帶且便于極區(qū)陸圖與海圖的統(tǒng)一應(yīng)用,非常適于南極洲及北冰洋海域的一體化表示,可為極區(qū)科考及航海制圖提供重要參考。

2 等角緯度的解析開(kāi)拓

欲研究高斯投影,離不開(kāi)等量緯度,由文獻(xiàn)[16]可知,等量緯度q與大地緯度B有如下數(shù)學(xué)關(guān)系

式中,arctanh(·)表示反雙曲正切函數(shù)。

考慮到復(fù)變函數(shù)在解決等角映射問(wèn)題中具有不可替代的作用[17],將上式拓展至復(fù)數(shù)域,以等量緯度q與經(jīng)差l組成的復(fù)變量w＝q＋il代替q,則式(3)等號(hào)右端等角緯度φ開(kāi)拓為復(fù)變等角緯度,記為φ,因此有

3 復(fù)變等角緯度表示的高斯投影正解

復(fù)變等角緯度表示的高斯投影正解可在子午線(xiàn)弧長(zhǎng)展開(kāi)的基礎(chǔ)上經(jīng)解析開(kāi)拓得到。首先,寫(xiě)出用大地緯度表示的子午線(xiàn)弧長(zhǎng)展開(kāi)式為

式中,a、e分別為地球橢球長(zhǎng)半軸和第一偏心率;系數(shù)a0、a2、…、a8可表示為橢球偏心率的冪級(jí)數(shù),具體見(jiàn)文獻(xiàn)[18]。

又大地緯度表示的等角緯度展開(kāi)式為

式中,各系數(shù)b2、b4、b6、b8表達(dá)式具體可見(jiàn)文獻(xiàn)[18]。

采用符號(hào)迭代法[19]推導(dǎo)出等角緯度反解展開(kāi)式,并將展開(kāi)式代入式(6)。最后,借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Mathematica[20]對(duì)之進(jìn)行級(jí)數(shù)展開(kāi)和化簡(jiǎn),則式(6)可變形為

將解析開(kāi)拓后的復(fù)變等角緯度φ代入式(8),并將等式左端相應(yīng)改寫(xiě)為高斯投影的復(fù)數(shù)坐標(biāo)

式(11)的正確性可進(jìn)一步闡述如下:

(1)因?yàn)橛蓋所決定的φ及由φ所決定的z均為初等函數(shù),且在其主值范圍內(nèi)是單值單葉解析函數(shù),而解析函數(shù)必然滿(mǎn)足保角映射條件,即高斯投影“正形”條件得以保證。

(2)l＝0時(shí),式(11)虛部消失,即橫坐標(biāo)y＝0,縱坐標(biāo)x即為子午線(xiàn)弧長(zhǎng)公式。高斯投影條件“中央子午線(xiàn)投影后為直線(xiàn)”和“中央子午線(xiàn)投影后長(zhǎng)度不變”得以保證。

因此,式(11)滿(mǎn)足了高斯投影的全部條件。但與傳統(tǒng)的高斯投影相比,避免了冪級(jí)數(shù)展開(kāi)和分帶現(xiàn)象。

4 極區(qū)非奇異高斯投影復(fù)變函數(shù)表示

由于式(11)中的復(fù)變等角緯度φ是通過(guò)式(5)得到的,在極點(diǎn)時(shí)等量緯度趨近于無(wú)窮,會(huì)出現(xiàn)無(wú)法計(jì)算的奇點(diǎn),但事實(shí)上這種只是數(shù)學(xué)定義上出現(xiàn)的可去奇點(diǎn),將尋求另外的方法解決這一問(wèn)題。

因此,復(fù)變等角余緯度表達(dá)式已知。

式(17)中θ表達(dá)式是根據(jù)建立極區(qū)球近似推算出的。通過(guò)引入復(fù)變等角余緯度的概念,式(14)在極區(qū)應(yīng)用時(shí)無(wú)奇異性問(wèn)題,也無(wú)需分帶。因此,本文稱(chēng)之為“極區(qū)非奇異高斯投影一體化復(fù)變函數(shù)表示”。

5 算 例

以CGCS2000參考橢球[22-23](a＝6 378 137 m,α＝1/298．257 222 101)為例,在極區(qū)范圍內(nèi)對(duì)以往高斯投影公式與本文推導(dǎo)出的極區(qū)非奇異公式進(jìn)行比較并分析。(記x、x1、x2分別為本文推導(dǎo)的極區(qū)高斯投影復(fù)變函數(shù)、傳統(tǒng)高斯投影冪級(jí)數(shù)、高斯投影復(fù)變函數(shù)縱坐標(biāo),y、y1、y2分別為這3個(gè)公式的橫坐標(biāo)。)

為驗(yàn)證本文公式的準(zhǔn)確性和可靠性,首先與高斯投影傳統(tǒng)冪級(jí)數(shù)形式作比較,分別計(jì)算出二者在一個(gè)高斯條帶內(nèi)的x、y方向上的差異,如圖1、圖2所示。

圖1 本文公式與高斯投影冪級(jí)數(shù)間縱坐標(biāo)差異Fig．1 Differences ofxcoordinates between traditional power series and new expression of Gauss projection

圖2 本文公式與高斯投影冪級(jí)數(shù)間橫坐標(biāo)差異Fig．2 Differences ofycoordinates between traditional power series and new expression of Gauss projection

從圖1、圖2可以看出,在B∈[66．55°,90°]范圍內(nèi),本文推導(dǎo)出的“極區(qū)非奇異高斯投影一體化復(fù)變函數(shù)表示”與傳統(tǒng)高斯投影冪級(jí)數(shù)公式在λ∈[0,3°]內(nèi)的計(jì)算結(jié)果相比:地球橢球體上的點(diǎn)愈接近極點(diǎn),兩公式差異愈小;同一經(jīng)差上,縱坐標(biāo)值的差異隨著緯度的增大而漸趨于0;同一緯線(xiàn)圈上,橫坐標(biāo)值差異隨經(jīng)差的增大而增大;在極區(qū)一個(gè)高斯條帶內(nèi),兩公式縱坐標(biāo)差異在[－0．15× 10－3m,0]范圍內(nèi),橫坐標(biāo)差異在[0,5×10－6m]范圍內(nèi)。即本文推導(dǎo)出的“極區(qū)非奇異高斯投影一體化復(fù)變函數(shù)表示”在一個(gè)高斯投影條帶內(nèi)具有相當(dāng)高的準(zhǔn)確度。

為確保本文公式在極區(qū)無(wú)限制帶寬內(nèi)的適用性,除驗(yàn)證該公式在一個(gè)高斯投影條帶內(nèi)的準(zhǔn)確度之外,需與以往高斯投影復(fù)變函數(shù)表示式進(jìn)行比較。由于以往高斯投影復(fù)變函數(shù)表示式在極點(diǎn)附近不適用,故以下對(duì)B∈[66．55°,88°],λ∈[0, 90°]范圍內(nèi)它與本文公式的縱、橫坐標(biāo)進(jìn)行比較,如圖3、圖4所示。

圖3 本文公式與以往高斯投影復(fù)變函數(shù)表示式縱坐標(biāo)差異Fig．3 Differences ofxcoordinates between traditional expression by complex numbers and new expression of Gauss projection

圖4 本文公式與以往高斯投影復(fù)變函數(shù)表示式橫坐標(biāo)差異Fig．4 Differences ofycoordinates between traditional expression by complex numbers and new expression of Gauss projection

從圖3、圖4中可以看出,在該范圍內(nèi)本文公式與以往高斯投影復(fù)變函數(shù)表示間縱坐標(biāo)絕對(duì)差異最大點(diǎn)位于在北極圈上,經(jīng)差為0處,且該絕對(duì)差值小于0．000 15 m,即0．15 mm。而橫坐標(biāo)絕對(duì)差異最大點(diǎn)位于北極圈上,經(jīng)差為90°處,且該絕對(duì)差值小于0．000 2 m,即0．2 mm。故得出結(jié)論:極區(qū)范圍內(nèi),本文公式與以往高斯投影復(fù)變函數(shù)表示式在無(wú)限制帶寬間的差異非常小,可滿(mǎn)足極區(qū)測(cè)量及制圖要求,且避免了以往公式在極區(qū)難以應(yīng)用的問(wèn)題。

相對(duì)于傳統(tǒng)高斯投影冪級(jí)數(shù)形式僅適用于高斯投影中繪制條帶圖,而以往高斯投影復(fù)變函數(shù)表示式在極區(qū)難以應(yīng)用,本文推導(dǎo)出的極區(qū)非奇異高斯投影復(fù)變函數(shù)表示滿(mǎn)足以極點(diǎn)作為投影中心,對(duì)極區(qū)進(jìn)行連續(xù)投影作圖,可實(shí)現(xiàn)極區(qū)海、陸圖統(tǒng)一表示。又高斯投影具有保角優(yōu)勢(shì),能更好地體現(xiàn)極區(qū)的方位關(guān)系,對(duì)于擬定航線(xiàn)、制定航行計(jì)劃具有重要意義?；诒疚耐茖?dǎo)出的極區(qū)非奇異公式,可分別繪制出南北極地區(qū)具有海岸線(xiàn)數(shù)據(jù)的高斯投影示意圖,如圖5、圖6所示。

圖5 南極高斯投影示意圖Fig．5 The sketch of Gauss projection in Antarctica region

圖6 北極高斯投影示意圖Fig．6 The sketch of Gauss projection in Arctic region

6 結(jié) 論

本文通過(guò)引入復(fù)變等角緯度和復(fù)變等角余緯度的概念,討論了高斯投影在極區(qū)的復(fù)變函數(shù)表示,得出如下結(jié)論:

(1)本文推導(dǎo)出的公式克服了以往高斯投影復(fù)變函數(shù)表示在極區(qū)的奇異性,并避免傳統(tǒng)高斯投影展成經(jīng)差冪級(jí)數(shù)且需要分帶的缺陷,形成了比較完美的“極區(qū)非奇異高斯投影一體化復(fù)變函數(shù)表示”。

(2)與高斯投影傳統(tǒng)冪級(jí)數(shù)形式及以往復(fù)變函數(shù)表示作比較,驗(yàn)證了“極區(qū)非奇異高斯投影復(fù)變函數(shù)表示”的高準(zhǔn)確度與可靠性,解決了傳統(tǒng)高斯投影在極區(qū)難以應(yīng)用的問(wèn)題。

(3)“極區(qū)非奇異高斯投影復(fù)變函數(shù)表示”在一定程度上豐富了現(xiàn)代地圖投影數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ),對(duì)極區(qū)航海及科考制圖具有重要的參考價(jià)值。

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(責(zé)任編輯:宋啟凡)

The Non-singular Formula of Gauss Projection in Polar Regions by Complex Numbers

BIAN Shaofeng,LI Zhongmei,LI Houpu
Department of Navigation,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China

Based on expressions of Gauss projection by complex numbers,the conformal latitude by complex numbers was introduced to solve the singularity problem of isometric latitude in polar regions．Secondly,conformal colatitude by complex numbers was introduced on the basis of conformal latitude by complex numbers,with the polar point taken as the origin of coordinates in Gauss projection,the nonsingular formula of Gauss projection in polar regions by complex numbers was set up．Finally,compared with traditional power series and expressions by complex numbers of Gauss projection,the non-singular formula proved to be highly accurate．The new expression of Gauss projection in polar regions could overcome imperfection of zonation of traditional Gauss projection,which makes Gauss projection a uniform integrated form in polar regions．

Gauss projection;non-singular formula;complex numbers;polar regions;colatitude

BIAN Shaofeng(1961—),male,PhD,professor,PhD supervisor,majors in geodesy and satellite navigation．

LI Zhongmei

P282

A

1001-1595(2014)04-0348-05

2013-05-25

邊少鋒(1961—),男,博士,教授,博士生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)榇蟮販y(cè)量和衛(wèi)星導(dǎo)航。

E-mail:sfbian＠sina．com

李忠美

E-mail:15827116839＠163．com

BIAN Shaofeng,LI Zhongmei,LI Houpu．The Non-singular Formula of Gauss Projection in Polar Regions by Complex Numbers[J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(4):348-352．(邊少鋒,李忠美,李厚樸．極區(qū)非奇異高斯投影復(fù)變函數(shù)表示[J]．測(cè)繪學(xué)報(bào),2014,43(4):348-352．)

10．13485/j．cnki．11-2089．2014．0052

國(guó)家自然科學(xué)基金(41071295;41201478)

修回日期:2014-01-17