馬云燕，馬 燕，李順寶，張相芬

(上海師范大學a.信息與機電工程學院;b.數(shù)理學院，上海200030)

基于圓對稱性的離焦模糊圖像還原方法

馬云燕a，馬 燕a，李順寶b，張相芬a

(上海師范大學a.信息與機電工程學院;b.數(shù)理學院，上海200030)

針對離焦模糊圖像，圓盤離焦模型和高斯離焦模型的還原效果并不理想，提出基于圓對稱性的離焦模糊圖像還原算法。通過刃邊函數(shù)估算模糊半徑，利用信噪比還原圖像，進而計算圖像的信號功率譜。提出改進的DCT分塊加權(quán)清晰度評價函數(shù)，對DCT系數(shù)作指數(shù)加權(quán)優(yōu)化，并根據(jù)圓對稱性模型檢測出的多個模糊半徑還原出多個圖像，并篩選出最清晰圖像作為還原結(jié)果。實驗結(jié)果顯示，與傳統(tǒng)的還原方法相比，該方法提高了還原圖像的清晰度和分辨率。

離焦模糊圖像;還原;清晰度評價方法;權(quán)重

離焦模糊圖像的還原技術(shù)一直是國內(nèi)外圖像處理領域研究熱點之一。傳統(tǒng)離焦模糊圖像還原方法中的離焦模糊模型主要有兩種，高斯離焦模型和圓盤離焦模型。雖然這兩個模型可以簡化問題，但都存在不足: 1)對于圓盤離焦模型，它假定存在一理想點光源，在無任何干擾情況下，它的像也應該是一個點。但在非理想情況下，則得到的像就不是一個點，會呈現(xiàn)為一個灰度均勻的彌散盤，且為圓盤形狀。由于光的屬性(波粒二重性)，因此圓盤離焦模型太簡單，無法達到實用性要求，只能對離焦嚴重的圖像有較理想效果。2)對于高斯離焦模型，它未經(jīng)理論推導，只是一種近似模型，不能很好地表示離焦模型。因此，傳統(tǒng)的離焦模糊圖像還原方法不能獲得很好的還原效果。

另外，有學者提出盲復原算法，利用Hough變換檢測離焦模糊圖像的直線邊緣，再基于圖像的空域統(tǒng)計特征和改進的Grubbs檢驗法［1］，定位出階躍或近似階躍的直線邊緣，在該基礎上自適應計算擴散函數(shù)，最終利用線擴散函數(shù)求取離焦半徑，進而用Wiener濾波還原圖像。還有學者提出基于Wiener濾波頻域的復原方法，采用局部的加權(quán)模板與原始的圖像信號進行迭代卷積，在每一次的迭代過程中，各個像元點的加權(quán)系數(shù)是根據(jù)像遠點的梯度函數(shù)而改變［2］。

目前，有學者提出用維納濾波器還原離焦模糊圖像［3］，但因其計算模糊半徑誤差較大，信噪比計算不準確，圖像還原效果不理想。因此，本文提出運用刃邊函數(shù)求模糊半徑，利用多個模糊半徑還原離焦模糊圖像，并運用改進的DCT分塊加權(quán)清晰度評價函數(shù)來篩選最清晰的圖像。

1 還原算法

定義域為二維空間的函數(shù)，假若只與離參考點的距離有關(guān)，則此函數(shù)具有圓對稱性，針對線性移不變函數(shù)，考慮到幾何光學，離焦模糊圖像的退化過程可表示為

式中:*代表卷積運算;f(x，y)是離焦模糊圖像;h(x，y)是退化函數(shù)系統(tǒng)的點擴散函數(shù);g(x，y)是經(jīng)過退化函數(shù)系統(tǒng)形成的圖像(即立交模糊圖像);n(x，y)是退化函數(shù)系統(tǒng)的隨機噪聲［4-5］。

光學的分析表明:光學系統(tǒng)離焦造成的圖像降晰相應的點擴散函數(shù)是一個均勻分布的光斑。降晰函數(shù)一般定義為

式中:r為退化函數(shù)系統(tǒng)里面的參數(shù)，參數(shù)未知。為方便計算處理，對退化圖像離散化。若退化圖像為M×N，此時退化圖像可表示為

式中:f(x，y)是離焦模糊圖像;h(x，y)是退化函數(shù)系統(tǒng)的點擴散函數(shù);g(x，y)是經(jīng)過退化函數(shù)系統(tǒng)形成的圖像(即離焦模糊圖像);n(x，y)是退化函數(shù)系統(tǒng)的隨機噪聲。

1.1 維納濾波

離焦模糊圖像的退化模型可以抽象為一個圓盤系統(tǒng)，其對應的圓盤半徑是需要計算的退化模型參數(shù)(即模糊半徑)，利用已知的模糊圖像的線擴散函數(shù)來估計模糊半徑，采用維納濾波對離焦模糊圖像進行還原。退化過程的函數(shù)的頻域表達式為

式中:F(u，v)是未失真圖像的離散傅里葉變換;H(u，v)是退化模型的離散傅里葉變換;G(u，v)是模糊圖像的離散傅里葉變換;N(u，v)是噪聲的離散傅里葉變換。

由維納濾波器得到的原圖像估計為

式中:G(u，v)是模糊圖像的離散傅里葉變換;H(u，v)是退化模型的離散傅里葉變換;H*(u，v)表示H(u，v)的復共軛;Pf(u，v)和Pn(u，v)分別表示圖像信號和噪聲的功率譜。

一般情況下，信噪比可近似為一常數(shù)γ，即為γ，雖然該方法簡單可行，但還原圖像過于平滑，未充分利用圖像信息，所以還原效果還可作提升［6］。Lagendijk建議在已知圖像上找到一塊相對平坦的區(qū)間，在該區(qū)間上計算出噪聲方差，也就是計算局部方差和平均值［7-8］。但這樣的平坦區(qū)域在圖像中不一定存在，即使存在，也會產(chǎn)生較大誤差。本文提出利用信噪比γ還原圖像f(u，v)，按式(6)通過原圖像和還原圖像計算噪聲功率譜，信號功率譜按式(7)計算。

式中:g(x，y)是經(jīng)過退化函數(shù)系統(tǒng)形成的圖像;f'(x，y)為復原圖像;F'(u，v)為f'(x，y)的傅里葉變換; h(x，y)是退化函數(shù)系統(tǒng)的點擴散函數(shù);Pf(u，v)和Pn(u，v)分別表示圖像信號和噪聲的功率譜;M和N為圖像尺寸。

1.2 清晰度評價函數(shù)

清晰度評價函數(shù)可以評價一幅圖像的清晰程度，傳統(tǒng)的清晰度評價函數(shù)［9-11］主要分為4種:1)灰度變化函數(shù)，它就是典型的VAR算子，該算子表示圖像像素灰度分布的離散程度。2)梯度函數(shù)，常用的梯度函數(shù)主要有Roberts算子、LOG算子，這兩個算子表示灰度變化率大小。3)圖像灰度熵函數(shù)，即信息熵，圖像灰度熵大小表示圖像像素灰度分布的離散程度。4)頻域類函數(shù)，常用的頻域函數(shù)有離散傅里葉變換、離散余弦變換(DCT)，頻域函數(shù)是提取頻域中的高頻能量作為標準［9］。因Sobel算子具有好的無偏性和高敏感度，因此得到廣泛應用。

二維DCT變換方法因忽略局部高頻分量的變化，所以效果不好。對于基于中心分塊加權(quán)DCT，雖然考慮了圖像中心區(qū)域的重要性，但其忽略了當圖像分塊后，每塊區(qū)域內(nèi)部像素的重要性是不一樣的，從而降低了評價函數(shù)的評價質(zhì)量。本文對基于中心分塊加權(quán)DCT的清晰度評價函數(shù)進行改進，提出“中心分塊圖像DCT系數(shù)加權(quán)”的思想，不僅考慮中心區(qū)域在整個圖像上的重要性，還考慮每塊區(qū)域局部高頻分量的變化，突出每塊區(qū)域局部高頻部分的重要性，該方法不僅對圖像塊賦予權(quán)重，如圖像的大小為M×N，每塊的大小為t×t，分塊的坐標為(i，j)，圖1分塊圖像中的“1”，“2”，“3”表示了圖像分塊得到的順序，“1”是先得到，“3”是最后得到，同時“1”，“2”，“3”也表示在該區(qū)域的重要性［9］，“1”表示最重要，“2”其次，“3”重要性最低。圖像分塊的加權(quán)模板函數(shù)為

圖1 分塊圖像

式中:H(i，j)為分塊圖像的加權(quán)模板函數(shù);i，j為分塊圖像的坐標，0≤i≤t-1，0≤j≤t-1，t為每塊圖像的尺寸。

本文為圖像塊內(nèi)像素也賦予權(quán)重。每塊圖像距中心區(qū)域的距離作為權(quán)重的衡量指標，距離越大，權(quán)重越小，而每塊圖像內(nèi)像素的權(quán)重取決于DCT變換系數(shù)的位置，因為進行DCT變換的圖像，其系數(shù)分布規(guī)律是一定的，大體上沿著左上到右下的方向，DCT系數(shù)(絕對值)依次遞減。一個圖像的DCT低頻系數(shù)分布在DCT系數(shù)矩陣的左上角，而高頻系數(shù)分布在右下角，所以，本文利用加權(quán)模板函數(shù)，其表達式為

式中:H(i，j)為加權(quán)模板函數(shù);i，j是每塊里面的坐標，0≤i≤t-1，0≤j≤t-1，t為每塊圖像的尺寸。

1.3 基于圓對稱性的離焦模糊圖像還原算法

本文的基于圓對稱性的離焦模糊圖像還原算法由下列步驟組成:

1)尋找梯度最大點。梯度最大值點Gmax可初步認為是圖像邊緣點，但也可能是噪聲，所以首先需要對模糊離焦圖像進行中值濾波，去除噪聲點，再進行梯度最大值點Gmax運算。

2)求刃邊函數(shù)。刃邊函數(shù)是利用梯度最大值點Gmax的梯度方向角來確定刃邊函數(shù)的像素走向，因為梯度最大值點在刃邊函數(shù)上，所以可用來確定刃邊函數(shù)，但是上述方法獲得的刃邊函數(shù)有較大的誤差，為提高刃邊曲線的檢測精度，本文對同一點的多條刃邊函數(shù)作均值處理，再采用最小二乘擬合法進行擬合，最終得到刃邊函數(shù)，記作e(x)。

3)求線擴散函數(shù)。經(jīng)擬合得到的刃邊函數(shù)求微分，得到線擴散函數(shù)l(x)。

4)求離焦半徑R。本文根據(jù)線擴散函數(shù)l(x)，人工初步估計l(x)=δ，從而獲得對應半徑R，根據(jù)對應半徑R按照表1查找，找出半徑。本文實驗中的半徑R范圍為［0，15］。

表1 半徑校正

表1中，R為初始檢測的半徑;R1，R2，R3為對應初始檢測出的半徑R的模糊半徑。

5)用維納濾波還原圖像。維納濾波的運算需要半徑R和功率譜參數(shù)。功率譜參數(shù)計算有較大誤差，為減小誤差，本文先估計出信號功率譜和噪聲功率譜的比值為K，通過R和K對模糊離焦圖像進行還原，對還原圖像進行逆變換，再與原始模糊離焦圖像作差值，計算出噪聲功率譜，而信號功率譜可通過對還原圖像作傅里葉變換得到［6-8］。

6)運用清晰度評價函數(shù)挑選最優(yōu)還原圖像。通過維納濾波還原的圖像有多張，且每張圖像對應的還原半徑各不相同，本文利用改進的清晰度評價函數(shù)對還原圖像作比較，從中找到清晰度最高的一張。

表1是針對離焦模糊圖像算出來的半徑進行縮小誤差操作，若程序初始階段算出來的半徑為R，則根據(jù)表1，程序自動查找到該圖像的模糊半徑為R1，R2，R3，根據(jù)這3個模糊半徑，系統(tǒng)還原出對應的圖像M1，M2，M3。在這3幅圖像中，本文采用清晰度評價函數(shù)篩選出最清晰的一張，作為最終還原圖像。

2 實驗結(jié)果

本文算法在MATLAB 8.0上實現(xiàn)，實驗圖像是使用單反相機，手工調(diào)焦拍攝的幾組模糊和清晰圖像，圖像分辨率為800×600，實驗中使用改進的DCT分塊加權(quán)清晰度評價函數(shù)篩選出最清晰的一張作為還原圖像，此清晰度評價函數(shù)計算得出的清晰度數(shù)據(jù)與人的主觀判斷最為接近。

實驗中，為了驗證圓對稱性的離焦模糊圖像還原算法，共拍攝5組圖片，每組2張圖片，分別是清晰圖片和離焦模糊圖像，最后根據(jù)這5組圖像用圓對稱還原算法對離焦模糊圖像進行還原，得到5組還原圖像，如圖2所示，實驗證明，使用圓對稱模型還原圖像與原圖相似度平均達到70%。

本文同時使用圓盤模型和高斯模型對相同尺寸的離焦模糊圖像進行還原，使用算法評估還原后的圖像，計算與原圖的相似度(兩個圖像的差值［12］)，實驗結(jié)果如表2所示。通過實驗結(jié)果可以看出，圓對稱模型的清晰度評價值最高，圖像的相似度值最大，其次是圓盤模型，最差的是高斯模型，在忽略實驗誤差的基礎上，圓對稱模型明顯優(yōu)于圓盤模型和高斯模型。

圖2 圖像還原實驗

表2 實驗比較結(jié)果

3 總結(jié)

本文方法求得的點擴散函數(shù)更準確地逼近實際的離焦點擴散函數(shù)，本文采用清晰度評價函數(shù)對還原結(jié)果進行評價，實驗結(jié)果說明，基于圓對稱性的離焦模糊圖像的還原方法是一種非常好的的評價方法，與人的主觀能動性評價基本一致。

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李順寶(1963—)，碩士生導師，主研計算機應用技術(shù);

張相芬(1977—)，女，碩士生導師，主研圖像處理等。

Restoration of Defocus Blurred Image Based on Circular Symmetry

MA Yunyana，MA Yana，LIShunbaob，ZHANG Xiangfena
(a.Information and Electrical Engineering College;b.Mathematics＆Science College，Shanghai Normal University，Shanghai200030，China)

For the defocus blurred image，the restoration result of disc defocusmodel and Gaussian defocusmodel is unsatisfied.This paper presents defocus blur image restoration algorithms based on circular symmetry.Blur radius is estimated by blade edge function.The image is restored by using SNR，and then the signal power spectrum of the image is calculated.Itpresents clarity evaluation function based on improved weighted DCT block.The DCT coefficients are calculated by exponentialweighting.The clearest image is chosen as a resultby filtering several imageswhich are restored by blur radius based on circular symmetrymodel.The experimental results show that，compared with the traditional restoration method，the proposed method improves the image clarity and resolution.

defocus blurred image;restoration;clarity evaluation method;weight

TP391.41

A

馬云燕(1989—)，女，碩士生，主研數(shù)字圖像處理;

馬 燕(1970—)，女，碩士生導師，主要研究方向為模式識別和圖像處理等;

?? 雯

2013-10-27

【本文獻信息】馬云燕，馬燕，李順寶，等.基于圓對稱性的離焦模糊圖像還原方法［J］.電視技術(shù)，2014，38(23).

國家自然科學基金項目(61373004)