張健　朱沁美

【摘 要】小波分析是目前數(shù)學(xué)中一個迅速發(fā)展的新領(lǐng)網(wǎng)域，它同時具有理論深刻和應(yīng)用十分廣泛的雙重意義。小波變換的概念是由法國從事石油信號處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過物理的直觀和信號處理的實際需要經(jīng)驗的建立了反演公式，當時未能得到數(shù)學(xué)家的認可。本文結(jié)合GPS數(shù)據(jù)處理，分析了多尺度分析和小波變換的基本原理及其應(yīng)用，對于GPS觀測數(shù)據(jù)優(yōu)化提供一種可能性方法。

【關(guān)鍵詞】小波分析；GPS；多尺度分析

1 多尺度分析

尺度是空間數(shù)據(jù)的重要特征，指數(shù)據(jù)表達的空間范圍的相對大小和時間的相對長短，不同尺度所表達的信息密度有很大的差異。一般而言，尺度變大信息密度變小，但并不是等比例變化。地球系統(tǒng)是由各種不同級別的子系統(tǒng)組成的復(fù)雜巨系統(tǒng)，各種規(guī)模的系統(tǒng)都有尺度概念，作為描述各種尺度中地理特征的空間數(shù)據(jù)自然也有尺度特征。多尺度分析又稱多分辨率分析，是指隨著尺度由大到小的變化， 對信號可由粗到精的觀察。GPS 動態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)是涉及多種因素相互作用的復(fù)雜系統(tǒng)，這些復(fù)雜系統(tǒng)最本質(zhì)的特征是以多尺度性為核心。小波分析是一種多尺度的信號分析工具，低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，而在高頻部分則具有較低的頻率分辨率和較高的時間分辨率。

空間數(shù)據(jù)的多尺度可以從兩方面說明。

（1）空間多尺度

空間數(shù)據(jù)以其表達的空間范圍大小，分為不同的層次，即不同的尺度。這種特征表現(xiàn)在數(shù)據(jù)的可綜合上，亦即根據(jù)數(shù)據(jù)內(nèi)容表達的規(guī)律性、相關(guān)性及其自身規(guī)則，有相同的數(shù)據(jù)源形成再現(xiàn)不同尺度規(guī)律的數(shù)據(jù)。

（2）時間多尺度

時間多尺度指數(shù)據(jù)表示的時間周期及數(shù)據(jù)形成周期有不同的長短。從一定意義上講，時間尺度與空間尺度是一致的，即較大的空間尺度往往對應(yīng)于較長的時間周期。

2 小波變換的概述及基本原理

2.1 小波變換概述

小波分析是當前應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程學(xué)科中一個迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，經(jīng)過近10年的探索研究，重要的數(shù)學(xué)形式化體系已經(jīng)建立，理論基礎(chǔ)更加扎實。與Fourier變換相比，小波變換是空間（時間）和頻率的局部變換，因而能有效地從信號中提取信息。通過伸縮和平移等運算功能可對函數(shù)或信號進行多尺度的細化分析，解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題。小波變換聯(lián)系了應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)、計算機科學(xué)、信號與信息處理、圖像處理、地震勘探等多個學(xué)科。數(shù)學(xué)家認為，小波分析是一個新的數(shù)學(xué)分支，它是泛函分析、Fourier分析、樣調(diào)分析、數(shù)值分析的完美結(jié)晶；信號和信息處理專家認為，小波分析是時間—尺度分析和多分辨分析的一種新技術(shù)，它在信號分析、語音合成、圖像識別、計算機視覺、數(shù)據(jù)壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學(xué)意義和應(yīng)用價值的成果。

2.2 小波變換的基本原理

小波變換將時域的一維信號變換為時間2尺度（時間2頻率） 的二維空間，具有多分辨率的特點，而且在時域、頻率都具有表征信號局部特征的能力，一些在原時間域上因混疊而不易觀察的信號特征，能夠在頻率域的某個尺度上進行分離，并且得到顯著地體現(xiàn)，達到獲取有效信號的目的。小波變換的思想是用一簇函數(shù)去表示或逼近一信號或函數(shù)，這一族函數(shù)稱為小波函數(shù)系，由一基本小波函數(shù)（母小波） 通過平移和伸縮構(gòu)成。由函數(shù)h經(jīng)伸縮和平移得一簇函數(shù)：hab（x）=a1/2/h[（x-b）/a]a，b∈R；a≠0式中，a 為伸縮因子，b 為平移因子?？筛鶕?jù)h 函數(shù)和參數(shù)a、b 的選取來進行連續(xù)和離散小波變換。則小波分析基底的定義為：

在小波變換去噪中，變形信號表現(xiàn)為低頻信號或是一些比較平穩(wěn)的信號，而噪聲信號則主要集中在小波分解的高頻層。因此，需要選擇合理的閾值去掉噪聲信號，利用保留下來的小波分解系數(shù)進行重構(gòu)，就能得到有效的變形信號，繼而獲得變形體的變形信息。

3 小波分析的應(yīng)用

小波變換不但能夠?qū)υ紨?shù)據(jù)進行有用信號和噪聲的分離，而且能夠有效地剔除信號中的噪聲部分，對原始信號很好地進行重構(gòu)，從而較大程度地減少誤差對數(shù)據(jù)的影響。小波去噪依據(jù)觀測序列中有用信號和噪聲時頻特性的不同，實現(xiàn)了對監(jiān)測數(shù)據(jù)中噪聲的有效分離，從而很大程度上減小誤差的影響，獲得變形的真實信息。因此，小波去噪在GPS 動態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中是可靠的。但小波變換的本質(zhì)是窗口可調(diào)的傅里葉變換，本身也具有一定的局限性，這些都將是以后進一步要研究的內(nèi)容。

[責任編輯：曹明明]

【摘 要】小波分析是目前數(shù)學(xué)中一個迅速發(fā)展的新領(lǐng)網(wǎng)域，它同時具有理論深刻和應(yīng)用十分廣泛的雙重意義。小波變換的概念是由法國從事石油信號處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過物理的直觀和信號處理的實際需要經(jīng)驗的建立了反演公式，當時未能得到數(shù)學(xué)家的認可。本文結(jié)合GPS數(shù)據(jù)處理，分析了多尺度分析和小波變換的基本原理及其應(yīng)用，對于GPS觀測數(shù)據(jù)優(yōu)化提供一種可能性方法。

【關(guān)鍵詞】小波分析；GPS；多尺度分析

1 多尺度分析

尺度是空間數(shù)據(jù)的重要特征，指數(shù)據(jù)表達的空間范圍的相對大小和時間的相對長短，不同尺度所表達的信息密度有很大的差異。一般而言，尺度變大信息密度變小，但并不是等比例變化。地球系統(tǒng)是由各種不同級別的子系統(tǒng)組成的復(fù)雜巨系統(tǒng)，各種規(guī)模的系統(tǒng)都有尺度概念，作為描述各種尺度中地理特征的空間數(shù)據(jù)自然也有尺度特征。多尺度分析又稱多分辨率分析，是指隨著尺度由大到小的變化， 對信號可由粗到精的觀察。GPS 動態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)是涉及多種因素相互作用的復(fù)雜系統(tǒng)，這些復(fù)雜系統(tǒng)最本質(zhì)的特征是以多尺度性為核心。小波分析是一種多尺度的信號分析工具，低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，而在高頻部分則具有較低的頻率分辨率和較高的時間分辨率。

空間數(shù)據(jù)的多尺度可以從兩方面說明。

（1）空間多尺度

空間數(shù)據(jù)以其表達的空間范圍大小，分為不同的層次，即不同的尺度。這種特征表現(xiàn)在數(shù)據(jù)的可綜合上，亦即根據(jù)數(shù)據(jù)內(nèi)容表達的規(guī)律性、相關(guān)性及其自身規(guī)則，有相同的數(shù)據(jù)源形成再現(xiàn)不同尺度規(guī)律的數(shù)據(jù)。

（2）時間多尺度

時間多尺度指數(shù)據(jù)表示的時間周期及數(shù)據(jù)形成周期有不同的長短。從一定意義上講，時間尺度與空間尺度是一致的，即較大的空間尺度往往對應(yīng)于較長的時間周期。

2 小波變換的概述及基本原理

2.1 小波變換概述

小波分析是當前應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程學(xué)科中一個迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，經(jīng)過近10年的探索研究，重要的數(shù)學(xué)形式化體系已經(jīng)建立，理論基礎(chǔ)更加扎實。與Fourier變換相比，小波變換是空間（時間）和頻率的局部變換，因而能有效地從信號中提取信息。通過伸縮和平移等運算功能可對函數(shù)或信號進行多尺度的細化分析，解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題。小波變換聯(lián)系了應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)、計算機科學(xué)、信號與信息處理、圖像處理、地震勘探等多個學(xué)科。數(shù)學(xué)家認為，小波分析是一個新的數(shù)學(xué)分支，它是泛函分析、Fourier分析、樣調(diào)分析、數(shù)值分析的完美結(jié)晶；信號和信息處理專家認為，小波分析是時間—尺度分析和多分辨分析的一種新技術(shù)，它在信號分析、語音合成、圖像識別、計算機視覺、數(shù)據(jù)壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學(xué)意義和應(yīng)用價值的成果。

2.2 小波變換的基本原理

小波變換將時域的一維信號變換為時間2尺度（時間2頻率） 的二維空間，具有多分辨率的特點，而且在時域、頻率都具有表征信號局部特征的能力，一些在原時間域上因混疊而不易觀察的信號特征，能夠在頻率域的某個尺度上進行分離，并且得到顯著地體現(xiàn)，達到獲取有效信號的目的。小波變換的思想是用一簇函數(shù)去表示或逼近一信號或函數(shù)，這一族函數(shù)稱為小波函數(shù)系，由一基本小波函數(shù)（母小波） 通過平移和伸縮構(gòu)成。由函數(shù)h經(jīng)伸縮和平移得一簇函數(shù)：hab（x）=a1/2/h[（x-b）/a]a，b∈R；a≠0式中，a 為伸縮因子，b 為平移因子。可根據(jù)h 函數(shù)和參數(shù)a、b 的選取來進行連續(xù)和離散小波變換。則小波分析基底的定義為：

在小波變換去噪中，變形信號表現(xiàn)為低頻信號或是一些比較平穩(wěn)的信號，而噪聲信號則主要集中在小波分解的高頻層。因此，需要選擇合理的閾值去掉噪聲信號，利用保留下來的小波分解系數(shù)進行重構(gòu)，就能得到有效的變形信號，繼而獲得變形體的變形信息。

3 小波分析的應(yīng)用

小波變換不但能夠?qū)υ紨?shù)據(jù)進行有用信號和噪聲的分離，而且能夠有效地剔除信號中的噪聲部分，對原始信號很好地進行重構(gòu)，從而較大程度地減少誤差對數(shù)據(jù)的影響。小波去噪依據(jù)觀測序列中有用信號和噪聲時頻特性的不同，實現(xiàn)了對監(jiān)測數(shù)據(jù)中噪聲的有效分離，從而很大程度上減小誤差的影響，獲得變形的真實信息。因此，小波去噪在GPS 動態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中是可靠的。但小波變換的本質(zhì)是窗口可調(diào)的傅里葉變換，本身也具有一定的局限性，這些都將是以后進一步要研究的內(nèi)容。

[責任編輯：曹明明]

【摘 要】小波分析是目前數(shù)學(xué)中一個迅速發(fā)展的新領(lǐng)網(wǎng)域，它同時具有理論深刻和應(yīng)用十分廣泛的雙重意義。小波變換的概念是由法國從事石油信號處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過物理的直觀和信號處理的實際需要經(jīng)驗的建立了反演公式，當時未能得到數(shù)學(xué)家的認可。本文結(jié)合GPS數(shù)據(jù)處理，分析了多尺度分析和小波變換的基本原理及其應(yīng)用，對于GPS觀測數(shù)據(jù)優(yōu)化提供一種可能性方法。

【關(guān)鍵詞】小波分析；GPS；多尺度分析

1 多尺度分析

尺度是空間數(shù)據(jù)的重要特征，指數(shù)據(jù)表達的空間范圍的相對大小和時間的相對長短，不同尺度所表達的信息密度有很大的差異。一般而言，尺度變大信息密度變小，但并不是等比例變化。地球系統(tǒng)是由各種不同級別的子系統(tǒng)組成的復(fù)雜巨系統(tǒng)，各種規(guī)模的系統(tǒng)都有尺度概念，作為描述各種尺度中地理特征的空間數(shù)據(jù)自然也有尺度特征。多尺度分析又稱多分辨率分析，是指隨著尺度由大到小的變化， 對信號可由粗到精的觀察。GPS 動態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)是涉及多種因素相互作用的復(fù)雜系統(tǒng)，這些復(fù)雜系統(tǒng)最本質(zhì)的特征是以多尺度性為核心。小波分析是一種多尺度的信號分析工具，低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，而在高頻部分則具有較低的頻率分辨率和較高的時間分辨率。

空間數(shù)據(jù)的多尺度可以從兩方面說明。

（1）空間多尺度

空間數(shù)據(jù)以其表達的空間范圍大小，分為不同的層次，即不同的尺度。這種特征表現(xiàn)在數(shù)據(jù)的可綜合上，亦即根據(jù)數(shù)據(jù)內(nèi)容表達的規(guī)律性、相關(guān)性及其自身規(guī)則，有相同的數(shù)據(jù)源形成再現(xiàn)不同尺度規(guī)律的數(shù)據(jù)。

（2）時間多尺度

時間多尺度指數(shù)據(jù)表示的時間周期及數(shù)據(jù)形成周期有不同的長短。從一定意義上講，時間尺度與空間尺度是一致的，即較大的空間尺度往往對應(yīng)于較長的時間周期。

2 小波變換的概述及基本原理

2.1 小波變換概述

小波分析是當前應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程學(xué)科中一個迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，經(jīng)過近10年的探索研究，重要的數(shù)學(xué)形式化體系已經(jīng)建立，理論基礎(chǔ)更加扎實。與Fourier變換相比，小波變換是空間（時間）和頻率的局部變換，因而能有效地從信號中提取信息。通過伸縮和平移等運算功能可對函數(shù)或信號進行多尺度的細化分析，解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題。小波變換聯(lián)系了應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)、計算機科學(xué)、信號與信息處理、圖像處理、地震勘探等多個學(xué)科。數(shù)學(xué)家認為，小波分析是一個新的數(shù)學(xué)分支，它是泛函分析、Fourier分析、樣調(diào)分析、數(shù)值分析的完美結(jié)晶；信號和信息處理專家認為，小波分析是時間—尺度分析和多分辨分析的一種新技術(shù)，它在信號分析、語音合成、圖像識別、計算機視覺、數(shù)據(jù)壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學(xué)意義和應(yīng)用價值的成果。

2.2 小波變換的基本原理

小波變換將時域的一維信號變換為時間2尺度（時間2頻率） 的二維空間，具有多分辨率的特點，而且在時域、頻率都具有表征信號局部特征的能力，一些在原時間域上因混疊而不易觀察的信號特征，能夠在頻率域的某個尺度上進行分離，并且得到顯著地體現(xiàn)，達到獲取有效信號的目的。小波變換的思想是用一簇函數(shù)去表示或逼近一信號或函數(shù)，這一族函數(shù)稱為小波函數(shù)系，由一基本小波函數(shù)（母小波） 通過平移和伸縮構(gòu)成。由函數(shù)h經(jīng)伸縮和平移得一簇函數(shù)：hab（x）=a1/2/h[（x-b）/a]a，b∈R；a≠0式中，a 為伸縮因子，b 為平移因子?？筛鶕?jù)h 函數(shù)和參數(shù)a、b 的選取來進行連續(xù)和離散小波變換。則小波分析基底的定義為：

在小波變換去噪中，變形信號表現(xiàn)為低頻信號或是一些比較平穩(wěn)的信號，而噪聲信號則主要集中在小波分解的高頻層。因此，需要選擇合理的閾值去掉噪聲信號，利用保留下來的小波分解系數(shù)進行重構(gòu)，就能得到有效的變形信號，繼而獲得變形體的變形信息。

3 小波分析的應(yīng)用

小波變換不但能夠?qū)υ紨?shù)據(jù)進行有用信號和噪聲的分離，而且能夠有效地剔除信號中的噪聲部分，對原始信號很好地進行重構(gòu)，從而較大程度地減少誤差對數(shù)據(jù)的影響。小波去噪依據(jù)觀測序列中有用信號和噪聲時頻特性的不同，實現(xiàn)了對監(jiān)測數(shù)據(jù)中噪聲的有效分離，從而很大程度上減小誤差的影響，獲得變形的真實信息。因此，小波去噪在GPS 動態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中是可靠的。但小波變換的本質(zhì)是窗口可調(diào)的傅里葉變換，本身也具有一定的局限性，這些都將是以后進一步要研究的內(nèi)容。

[責任編輯：曹明明]