金亞?wèn)|，朱 鵬

(江蘇理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 常州 213001)

0 引言

1968年，Milnor猜想對(duì)于一個(gè)完備非緊黎曼流形Mn，若它具有非負(fù)Ricci曲率，則其基本群必是有限生成的[1]。至今，雖然有一些進(jìn)展，但這個(gè)猜想還沒(méi)有得到完全證[2－4]。

最近，Sormani證明[5]了若Mn的直徑增長(zhǎng)還滿足小的線性增長(zhǎng)條件，則基本群是有限生成。文獻(xiàn)[6]，[7]對(duì)文獻(xiàn)[5]中的萬(wàn)有常數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，得到了相應(yīng)的結(jié)果。張運(yùn)濤和徐栩證明[8]了若Mn的曲率滿足二次衰減條件下，則在Mn滿足小的直徑線性增長(zhǎng)條件下Mn一定具有有限的基本群，我們證明了Mn的曲率在滿足更一般的條件(極小截曲率二次衰減)下，具有相同的結(jié)果。

本文在極小截曲率二次衰減的條件下推廣了一致割引理，利用這一重要引理證明了此類流形在滿足直徑增長(zhǎng)條件下具有有限的基本群，即

定理A 設(shè)Mn是一個(gè)完備非緊黎曼流形，其極小截曲率關(guān)于常數(shù)C＞0二次衰減，且存在一個(gè)萬(wàn)有常數(shù)C1＞0，使得若，則Mn具有有限生成的基本群。

定理B 設(shè)Mn是一個(gè)完備非緊黎曼流形，其極小截曲率關(guān)于常數(shù)C＞0二次衰減，且存在一個(gè)萬(wàn)有常數(shù)C1＞0，使得若，則Mn具有有限生成的基本群。

1 主要引理

定義1[9]設(shè)0∈Mn為一個(gè)定點(diǎn)，Mn被稱作具有關(guān)于常數(shù)C＞0二次衰減極小截曲率，如果對(duì)任意的p∈Mn，其極小截曲率Kmino(p)滿足

為了研究曲率α次衰減的開(kāi)流形的基本群，需要一些引理。

引理1[5]設(shè)Mn是一個(gè)完備非緊Riemannian流形，其基本群為π1(M，x0)其中x0∈Mn，則存在π1(M，x0)的線性無(wú)關(guān)的生成元的有序集合{g1，g2，g3，…}，以及相應(yīng)長(zhǎng)度為dk的極小測(cè)地圈 γk，使得

下面敘述對(duì)本文兩個(gè)定理的證明起非常重要的引理(一致割引理)。

引理2 設(shè)Mn為關(guān)于常數(shù)C＞0二次衰減極小截曲率的完備非緊Riemannian流形，γ為基點(diǎn)在x0∈Mn，長(zhǎng)度為L(zhǎng)(γ)=D的不可縮測(cè)地圈，滿足下列條件:

(1)對(duì)于任意基點(diǎn)為x0且同倫與γ的測(cè)地圈σ，均有L(σ)≥D;

根據(jù)Toponogov比較定理和雙曲幾何中的余弦定理，有，從上面兩式可以得到

2 定理的證明

定理A的證明 假設(shè)Mn有無(wú)限生成的基本群π1(M，x0)，根據(jù)引理1，存在基本群的生成元序列g(shù)k，基點(diǎn)在x0的極小測(cè)地圈γk滿足引理3的條件，設(shè)dk=L(γk)，注意，此時(shí)dk→+∞(k→∞)。

這與定理A中的條件矛盾。

定理B的證明 證明方法與定理A的證明相類似，只要定理A的證明的γ變?yōu)闈M足下面等式中的

[1]Milnor J，A note on curvature and fundamental group[J].Journal of Differential Geometry，1968，2(1):1 －7.

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