張 力，楊東升，王允森，李海英

(1.中國科學院 沈陽計算技術研究所，沈陽 110168;2.中國科學院大學，北京 100049)

0 引言

目前，參數(shù)曲線(曲面)廣泛應用于航空、模具等制造領域中，復雜曲線(曲面)的加工技術一直是研究的重點。NURBS 曲線插補也成為數(shù)控插補中一項重要技術，對于高速高精數(shù)控加工更是如此。在高速加工時，如果刀具的進給方向發(fā)生突變而進給速度沒有及時降低，就會引起過切，所以在加工中又引入了前瞻技術，預先獲得待加工零件輪廓進給方向的突變點及通過該突變點最佳進給速度等控制信息，使得當插補到這些突變點之前能及時修調進給速度，避免出現(xiàn)過切。目前，國內外對于前瞻技術進行了大量研究。Du等［1］提出了一種自適應的前瞻插補算法，在對速度進行自適應控制的同時進行前瞻控制，找出速度變化超過允許范圍的敏感點，提前進行加減速規(guī)劃。但是這種方法沒有對加加速度進行控制。曹宇男等［2］設計了一種基于S 型加減速的前瞻控制算法，算法中設定了最大前瞻段數(shù)，并根據實際插補軌跡的幾何特性實現(xiàn)了加減速的控制。但是在對復雜曲線進行加減速控制時，其前瞻距離的確定有一定的困難。彭芳瑜等［3］利用二次遺傳算法對NURBS 曲線進行預處理，找到曲線上的曲率極大值點集，并建立機床動力學性能和曲線幾何性能的混合約束條件，生成曲線插補的前瞻控制信息，實時優(yōu)化進給速度。但對最優(yōu)速度求解過于復雜且并不是全局最優(yōu)解。Lin 等［4］提出了動態(tài)NURBS插補的前瞻算法，對加速度和加加速度受限的S 型加減速進行討論，但是七段S 型曲線較為復雜，也不能保證加速度平滑。

本文在以上研究基礎上，提出了一種三次多項式加減速型NURBS 曲線前瞻算法。該算法實現(xiàn)了加速度平滑，改善了加加速度突變次數(shù)過多問題。首先對加工曲線進行預處理，找到加工中的速度敏感點并對曲線分段，然后采用基于回溯的方法修正速度，保證系統(tǒng)能夠減速到速度敏感點，然后對分段進行速度前瞻并保證加速度平滑過渡。最后對提出的算法進行仿真驗證其可行性。

1 NURBS 曲線的定義

NURBS 曲線是基于分段有理B 樣條多項式基函數(shù)定義的。一條k次的NURBS 曲線定義為:

其中，u為NURBS 曲線的自變量，Ci(i=0，1…n)為控制頂點，共有n+1 個，wi(i=0，1…n)為控制頂點的權因子，其中首末權因子w0，wn＞0，其余wi≥0，Ni，k(u)是k次非均勻有理B 樣條基函數(shù)，由節(jié)點矢量U=(ui，ui+1…ui+k)確定。

2 預處理

2.1 速度敏感點判別

速度敏感點應位于曲線的曲率極大值點處并且該插補點的曲率值大于設定閾值kthr，則該點為速度敏感點［5］。

其中Amax，F(xiàn)為系統(tǒng)允許最大加速度和最大進給速度。

2.2 速度敏感點處的最優(yōu)速度求解

考慮以弓高誤差對速度進行限制。用圓弧近似的方法來求出弓高誤差與進給速度以及曲率之間的關系，如圖1 所示，其中ρi為曲率半徑，弓高誤差為δ，設V(ui)為實際進給速度。

圖1 高曲率點處的弓高誤差

通過幾何關系可以求出:

根據公式(3)，若假設加工所要求的最大弓高誤差為δmax，則該誤差約束下的速度Ve(ui)為:

若設定加工時的編程速度為F，則實際的插補速度為:

在預處理模塊中，將曲線按速度敏感點把NURBS曲線劃分為n段曲線，每一段的長度可以用下列公式得出:

公式(6)中，m為每一段的標號，Nm為第m段曲線中插補點的個數(shù)。在預插補中求得分段開始和結束點處的最優(yōu)速度、每段的最大速度Vmax以及每段的長度Lms eg存儲在緩存中。

3 三次多項式型前瞻算法

3.1 三次多項式型加減速模型

對于三次多項式加減速，假設v(t)為速度曲線，a(t)為加速度曲線，j(t)為加加速度曲線，vs、ve分別為起點和終點速度，如圖2 所示。此時速度曲線v(t)的表達式可寫為［6］:

其中t為速度曲線v(t)的時間參數(shù)，tm為進給速度從vs變化到ve所需要的加減速時間。邊界條件為:

圖2 三次多項式加減速模型

將公式(8)代入公式(7)速度曲線v(t)中可計算出四個系數(shù)為:

加速度曲線a(t)是以tm/2 為對稱軸的二次曲線，因而其極值出現(xiàn)在tm/2 時?？傻霉剑?］:

可計算出進給速度從vs變化到ve所需的最短距離為:

3.2 前瞻距離的確定

前瞻距離分為加工前瞻距離和預前瞻距離，加工前瞻距離為以當前點的速度能夠減速到0 的距離，即預前瞻距離是消除后續(xù)的速度敏感點對前面速度變化的影響，即所以前瞻距離為［8］:

3.3 轉接速度的修正

圖3 轉接點速度修正

根據速度突變點，將NURBS 曲線劃分為曲線段，對已前瞻過的分段進行回溯修正，保證以當前點速度能夠減速到其后的任意速度敏感點。對已前瞻的距離中需進行轉接速度修正的j條軌跡段如圖3 所示，P為當前插補點，Qj為前瞻的終點。其中vjmax為速度敏感點j處所允許的最大轉接速度，sj-1j為軌跡段Qj-1Qj的長度，vjj-1為Qj處速度反向加速到Qj-1時獲得的進給速度。具體過程如下［9］:

步驟1:對前瞻路徑中的轉接點進行速度修正，即以轉接點處修正后的速度為起始速度反向加速到速度敏感點Qj-1處時所能獲得的最大速度vjj-1為:

步驟2:判斷vjj-1與Qj-1處所允許的最大速度vjmax之間的大小，則修正后的速度為:

步驟3:判斷j的大小。若過程還沒到初始點，則j=j-1，轉到步驟1 繼續(xù)進行，若到初始點則結束回溯過程。

流程圖如圖4。

圖4 速度修正流程圖

3.4 進給速度的前瞻控制

加速階段可以達不到段末處速度，但是減速階段必須保證能夠減速到速度敏感點。當加工剩余長度小于理論減速距離時則進入減速階段。而本段減速區(qū)長度的計算和減速過程又由預處理中得到的該段起點、終點處的速度和段長決定。為簡化計算，將減速點的求解轉化對段內最大速度的求解［10］。從而得到減速所需的最短路徑。設軌跡段為Q1Q2，長度為l12，v1c、v2c分別為速度敏感點Q1、Q2處修正后的最優(yōu)速度。以下分六種情況進行討論。

(1)速度、加速度曲線如圖5a 所示，Q1Q2之間為加速階段。判別條件為①v1c＜v2c，②v2c≥v12。v12為加速到點Q2處所能達到的最大理論速度:

進給速度曲線v(t)的表達式為:

(2)速度、加速度曲線如圖5b 所示，Q1Q2之間存在加速和減速過程。判別條件為①v1c＜v2c，②v2c＜v12，③vm＜Vmax。v12的值為公式(15)，vm為段內所能達到的最大理論速度，Vmax為預處理中記錄的本段最大速度。

則t1點處即為減速點，則理論減速距離為:

(3)速度、加速度曲線如圖5c 所示，Q1Q2之間還存在勻速過程。判別條件為①v1c＜v2c，②vm≥Vmax。vm的值為公式(17)。則t2處即為減速點，最大速度達到預處理中記錄的最大速度值。則理論減速距離為:

用v1dec2表示Q1減速到Q2處所能獲得的最小速度公式為:

經過轉接速度的修正，進給速度v2c＜v1dec2這種情況不存在。

(4)速度、加速度曲線如圖5d 所示，本段為減速段。判別條件為①v1c＞v2c，②v2c=v1dec2，③λ ≥0 。本段為減速階段，進給速度曲線為:

(5)速度曲線如圖5e 所示，判別條件為①v1c＞v2c，②v2c＞v1dec2或者λ＜0 ，③vm＜Vmax。vm的值為公式(17)。t1點為減速點，計算公式和情況(2)中公式類似。

(6)速度曲線如圖5f 所示，判別條件為①v1c＞v2c，②v2c＞v1dec2或者λ＜0 ，③vm≥Vmax。t2點為減速點，計算公式和情況(3)中公式類似。

圖5 速度和加速度曲線

4 實驗仿真驗證

為了驗證算法的可行性，選擇二維的NURBS 曲線進行仿真，如圖6 所示，曲線參數(shù)如表1。仿真時編程速度為F=200mm/s，插補周期為T=2ms，最大加速度為A=0.0005m/s2，最大加加速度J=0.00004m/s3，最大弦高誤差為Emax=0.0004mm。

圖6 NURBS 曲線

表1 NURBS 曲線參數(shù)列表

本文算法誤差曲線如圖7 所示，算法滿足加工的精度要求，即所有插補點的弓高誤差都控制在Emax以內，算法具有可行性。

圖7 本文算法的弓高誤差

對比本文算法在加速度和加加速度方面的優(yōu)點，選取S 型加減速前瞻算法進行對比。本文提出的算法在插補過程中，進給速度限制在編程速度F內，加速度和加加速度也都限制在最大加速度A和最大加加速度J的范圍內，如圖8a 所示，本文算法和S 型加減速前瞻算法都能夠保證在速度敏感點前提前減速，敏感點處速度優(yōu)化良好，能實現(xiàn)速度平滑變化。圖8 b～e 中的加速度曲線和加加速度曲線可以看出本文算法的優(yōu)點，仿真的曲線包含減速段、勻速段和加速段，圖8b 顯示本文算法在減速段和加速段的加速度曲線能實現(xiàn)平滑變化，而圖8c中S 型加減速前瞻算法只能保證加速度曲線連續(xù)變化。加速度代表了機床的受力情況，加速度的平滑變化保證了機床的受力均勻變化。圖8d 顯示本文算法的加加速度局部連續(xù)變化，而圖8e 中S 型加減速前瞻算法突變次數(shù)較多，具體的在一個加減速階段內，S 型加減速前瞻算法的加加速度突變次數(shù)比本文算法多兩次。而加加速度代表的是機床受力的變化頻率，突變次數(shù)較多必然給機床帶來更大沖擊，引起更大的誤差。

實驗結果驗證了本文算法的正確性和有效性，可以保證加工時的速度平滑變化，減少加加速度突變，減小了機床振動，符合柔性加工的要求。證速

圖8 仿真結果對比圖

5 結束語

在研究了各種前瞻算法的基礎上，提出了一種針對NURBS 曲線的基于三次多項式型加減速前瞻控制算法，算法能夠提前預測速度敏感點，并依據速度敏感點類型來計算轉接點處的最優(yōu)速度。前瞻步驟可以分為前瞻路徑的確定，速度敏感點處的速度回溯以及對回溯完的路徑進行速度前瞻控制。所提出的前瞻算法能保度連續(xù)、加速度在加減速過程中連續(xù)變化并且減少了加加速度在一個加減速過程中的突變次數(shù)，避免突變給機床造成的振動。

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