張萍

摘 要： 對(duì)任意一個(gè)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)的基本前提是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，而在單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)中常用的三種數(shù)學(xué)模型分別是微分方程、傳遞函數(shù)和方塊圖。由于微分方程的直接求解比較困難，因此又引入了傳遞函數(shù)的概念。本文主要介紹兩種最基本的求取傳遞函數(shù)的方法，一種是利用微分方程法求取，另一種是利用復(fù)阻抗法求得，以供參考。

關(guān)鍵詞： 傳遞函數(shù) 拉氏變換 微分方程法 復(fù)阻抗法

引言

無(wú)論是對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析還是設(shè)計(jì)，都要設(shè)法先建立起較精確的生產(chǎn)過程數(shù)學(xué)模型，然后以數(shù)學(xué)模型為研究對(duì)象，應(yīng)用經(jīng)典或現(xiàn)代控制理論所提供的方法分析它的性能并研究改進(jìn)系統(tǒng)性能的途徑。在此基礎(chǔ)上，再應(yīng)用這些研究成果和結(jié)論指導(dǎo)對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的分析和改進(jìn)。因此，建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是分析和研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的出發(fā)點(diǎn)。

系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型就是指描述系統(tǒng)或元件的輸入量、輸出量，以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。而要建立系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型，通常要選用合適的數(shù)學(xué)工具和方法，還常常要忽略系統(tǒng)的一些固有特性，特別是在考慮非線性特性的線性化、分布參數(shù)的集中處理時(shí)，得到的模型也不可避免地具有一定的近似性，但只要它能反映系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)本質(zhì)并具有一定的精度，就可以認(rèn)為是合適的。

SISO（Single Input Single Output單輸入單輸出）線性定常系統(tǒng)中常用的三種數(shù)學(xué)模型是微分方程、傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖。使用微分方程分析系統(tǒng)時(shí)，在給定外作用及初始條件下，求出系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。這種方法比較直觀，特別是借助現(xiàn)代電子設(shè)備可以迅速準(zhǔn)確地求得結(jié)果。但是如果系統(tǒng)的參數(shù)改變或結(jié)構(gòu)變化時(shí)，就要重新列寫并求解微分方程，這樣不但麻煩還不便于對(duì)系統(tǒng)不同時(shí)刻性能的分析。而且隨著微分方程階次的升高，計(jì)算越來(lái)越復(fù)雜。因此，僅僅用微分方程分析設(shè)計(jì)系統(tǒng)就比較困難，從而引入了以拉普拉斯變換為基礎(chǔ)得到的傳遞函數(shù)，它能把時(shí)域中以線性微分方程對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行描述的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為控制系統(tǒng)在復(fù)頻域的數(shù)學(xué)模型，不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，還可以用來(lái)研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響，且比微分方程更簡(jiǎn)單明了，運(yùn)算更方便。求取傳遞函數(shù)的方法很多，比如用微分方程經(jīng)過拉普拉斯變換就可求得，也可使用方塊圖的化簡(jiǎn)求得，還可以通過畫信號(hào)流圖應(yīng)用梅遜公式求得。本文主要介紹兩種最基本的求取傳遞函數(shù)的方法，一種是利用微分方程經(jīng)過拉普拉斯變換求得，另一種是利用復(fù)阻抗的方法求得。

1.拉普拉斯變換

在利用微分方程求取傳遞函數(shù)的過程中，常會(huì)用到拉普拉斯變換的幾個(gè)定理：①線性定理。線性定理包含線性比例和線性疊加定理。線性比例定理是指常數(shù)與函數(shù)乘積的拉氏變換等于常數(shù)乘以函數(shù)的拉氏變換；線性疊加定理是指函數(shù)相加的拉氏變換等于各個(gè)函數(shù)拉氏變換之和。②微分定理。微分定理是指一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)后取拉氏變換，等于這個(gè)函數(shù)的拉氏變換乘以參數(shù)s再減去這個(gè)函數(shù)的初值。③積分定理。積分定理是指一個(gè)函數(shù)積分后取拉氏變換，等于這個(gè)函數(shù)的拉氏變換除以參數(shù)s。微分定理和積分定理都可以推廣至多重微分和多重積分的情形中使用。

2.傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)一般是復(fù)變函數(shù)，最常用的形式是有理分式形式。在使用傳遞函數(shù)分析或設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，有幾點(diǎn)需要說(shuō)明的地方：①傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，分子的階次一般低于或等于分母的階次，且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)。②傳遞函數(shù)與微分方程有相通性，可經(jīng)簡(jiǎn)單置換而轉(zhuǎn)換，且傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)。③一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出的關(guān)系，所以傳遞函數(shù)只適用于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述，而且傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況。④傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時(shí)刻之前，系統(tǒng)對(duì)所給定的平衡工作點(diǎn)處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

3.傳遞函數(shù)的求取

3.1微分方程法

采用微分方程法求取SISO線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，具體步驟是：

（1）列寫出系統(tǒng)的微分方程或微分方程組；

（2）在零初始條件下求各微分方程的拉氏變換，將它們轉(zhuǎn)換為s域的代數(shù)方程組；

（3）消去中間變量，從而得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

3.2復(fù)阻抗法

3.3舉例說(shuō)明

例：已知一RLC電路，如圖1所示，試求該電路的傳遞函數(shù)。

結(jié)語(yǔ)

顯然，利用復(fù)阻抗法求取單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)要比利用微分方程法簡(jiǎn)單、快速。本文只討論了針對(duì)單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)求取傳遞函數(shù)兩種最基本的方法，還有利用方塊圖的化簡(jiǎn)求取傳遞函數(shù)及通過畫信號(hào)流圖結(jié)合梅遜公式求取傳遞函數(shù)等方法，有興趣的學(xué)生或同行可以通過參考書籍獲取相關(guān)知識(shí)，本文不再贅述。

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