劉紅梅 汪 瑜 徐 瑩

(空軍航空大學(xué)基礎(chǔ)部 吉林 長春 130022)

對(duì)于保守力的概念，在書中基本上都是從討論重力、萬有引力、彈簧彈力做功角度出發(fā)，觀察共同特點(diǎn)得出兩種表述方式：一種是做功只與始、末位置有關(guān)，與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)歷的路徑無關(guān)，把具有這種做功性質(zhì)的力稱為保守力；另一種表述即質(zhì)點(diǎn)沿任意閉合路徑運(yùn)動(dòng)一周，保守力對(duì)它所做的功為零，數(shù)學(xué)表達(dá)式

A=∮lF·dl=0

課本上這樣講解之后，學(xué)生并不能真正理解什么樣的力是保守力，只能片面地記住以上3種力是保守力，并且別人問為什么時(shí)，只把前面概念重復(fù)一下，對(duì)于保守力并沒有深刻的認(rèn)識(shí).本文從力的數(shù)學(xué)表達(dá)式出發(fā)，把抽象的保守力概念形象起來.

先來看幾個(gè)力的表達(dá)式，為方便我們把它們用直角坐標(biāo)表示出來，判斷這幾個(gè)力中哪些是保守力，如：(1)F=(4-2y)i；(2)F=yi+yj；(3)F=3.5x2+x+5；(4)F=x2i+yj；(5)F=2i-yj+2zk.在這幾個(gè)力中(1)、(2)是非保守力，(3)、(4)、(5)是保守力.在文獻(xiàn)[1]中有一道讓學(xué)生認(rèn)識(shí)功是過程量的實(shí)例，我們從此實(shí)例出發(fā)，歸納其中的特點(diǎn).

【例題】[1]一質(zhì)點(diǎn)沿如圖1所示的路徑運(yùn)動(dòng)，求力F=(4-2y)i(SI)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)所做的功：

(1)沿ODC；(2)沿OBC.

圖1

解析：(1)質(zhì)點(diǎn)沿ODC從O運(yùn)動(dòng)到C

由題意知Fx=4-2y,Fy=Fz=0，在O到D的路徑上，y=0,x從零變到2 m；在D到C的路徑上，力F與路徑垂直而不做功.因此,F所做的功為

(2)質(zhì)點(diǎn)沿OBC從O運(yùn)動(dòng)到C

同理，在O到B的路徑上力F與路徑垂直而不做功；在B到C的路徑上y=2 m，x從零變到2 m.因此，F(xiàn)所做的功為

可見此力做功與路徑有關(guān)，力F=(4-2y)i為非保守力.

依照上題的解法，如果力的表達(dá)式變化了，讀者可以自行證明上述5個(gè)力的表達(dá)式中，哪些力做功與路徑無關(guān)，哪些有關(guān)，可以清楚地看出之前結(jié)論的正確性.

下面我們總結(jié)一下，如何從數(shù)學(xué)表達(dá)式上來看一個(gè)力是不是保守力.理論很簡單，來源于功的定義：力所做的功(含義1)等于力與力方向上位移的乘積.想讓力所做的功與路徑無關(guān)只與始末位置有關(guān)，只需要這個(gè)力在任一方向上的分量滿足一個(gè)條件，即如果力在某一方向上的分量是某一變量的函數(shù)，則要求這一變量必須為此方向變量,比如上述5個(gè)力表達(dá)式中(3)、(4)、(5)在x軸上的分量分別為變量3.5x2+x+5，x2和常量2，均為x的變量；在y軸上的分量分別為常量零和變量y，-y，均為y的變量；在z軸上的分量分別為常量零，零和變量2z，均為z的變量，所以保守力的函數(shù)應(yīng)為

F=f(x)i+f(y)j+f(z)k

以上結(jié)論可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)保守力的認(rèn)識(shí)，更好地理解什么樣的力做功與路徑無關(guān)，保守力的特性如何在坐標(biāo)系中體現(xiàn)出來，更直觀、形象.但我們也要清醒地認(rèn)識(shí)到這一結(jié)論僅是保守力的充分條件，并不是所有的保守力都能寫成上述形式.

參考文獻(xiàn)

1 康穎. 大學(xué)物理(第二版).北京：科學(xué)出版社，2010 . 54～55