鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽(yáng) 122500)

時(shí)間常量是高等學(xué)校教材如電子線路、電工基礎(chǔ)和電磁學(xué)中與暫態(tài)電路密切相關(guān)的一個(gè)比較重要的物理量.暫態(tài)電路的充電或放電過(guò)程屬于瞬態(tài)過(guò)程，而時(shí)間常量是瞬態(tài)過(guò)程的一個(gè)特征量，不同的瞬態(tài)過(guò)程具有不同的時(shí)間常量公式.下面按3種情況舉例分析.

1 在線性力作用下的物體做變速直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程的時(shí)間常量

包括兩種情形，一是物體受恒定動(dòng)力和線性阻力共同作用的變加速直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程；二是物體只受線性阻力作用的變減速直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程，都為瞬態(tài)過(guò)程.而線性力是指與速度成正比的力f=kv.

【例1】如圖1所示，光滑U型金屬導(dǎo)軌PQMN水平固定在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)軌的寬度為l，QM之間接有阻值為R的電阻，其余部分電阻不計(jì).一質(zhì)量為m，電阻也為R的金屬棒ab放在導(dǎo)軌上，給棒一個(gè)水平向右的初速度v0使之開(kāi)始滑行，最后停在導(dǎo)軌上.由以上條件，在此過(guò)程中可求出的物理量有[1]

圖1

A.在電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱

B.通過(guò)電阻R的總電荷量

C.ab棒的運(yùn)動(dòng)位移

D.ab棒的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

解析[2]：由能量守恒定律可知焦耳熱為

金屬棒所受合外力為安培力

F=Bli

電流隨時(shí)間而變化，則安培力對(duì)時(shí)間的平均值為

由動(dòng)量定理有

可得總電荷量為

電路中的電流為

金屬棒受到的安培力為

令

則安培力的沖量為

因此由動(dòng)量定理有

-ks=0-mv0

所以位移為

故答案為選項(xiàng)A，B，C.

那么“選項(xiàng)D”為什么不可求？下面進(jìn)行分析.

由牛頓第二定律列微分方程為

可變形為常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式

穩(wěn)態(tài)速度為v=0，利用瞬態(tài)過(guò)程的結(jié)論[3]可得速度與時(shí)間的關(guān)系式為

圖2

利用積分公式

可知圖像與坐標(biāo)軸在區(qū)間[0,t]上圍成圖形的面積為

(1)

因此在全區(qū)間的最大面積為

這表明，按指數(shù)規(guī)律遞減的速度圖像的面積即位移等于速度初始值與時(shí)間常量之積.

在數(shù)學(xué)上，運(yùn)動(dòng)時(shí)間趨于無(wú)窮大，但運(yùn)動(dòng)位移卻為有限值.這與無(wú)窮遞減等比數(shù)列的和相似，如

雖然項(xiàng)數(shù)無(wú)限，但其和為定值1[2].

對(duì)于

由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可知

(2)

可見(jiàn)式(1)、(2)相似，都為遞減指數(shù)函數(shù)，因此只有當(dāng)自變量無(wú)限大時(shí)，和才為有限值.由于關(guān)系式中的時(shí)間變量在數(shù)學(xué)上為無(wú)窮大，所以不可求.

2 暫態(tài)電路充電和放電過(guò)程的時(shí)間常量

2.1 RL暫態(tài)電路

【例2】如圖3所示為RL串聯(lián)電路，電阻R與純電感線圈串聯(lián)，線圈的自感系數(shù)為L(zhǎng)，直流電源內(nèi)電阻不計(jì)，那么當(dāng)閉合開(kāi)關(guān)的瞬時(shí)，電路中的電流將如何變化呢[4]？

圖3

解析：當(dāng)開(kāi)關(guān)S閉合后，由于電路中的電流從無(wú)到有，突然增大，則線圈產(chǎn)生自感電動(dòng)勢(shì)為

它將阻礙線圈中電流的增大，使電流不能立刻達(dá)到最大值，而是經(jīng)歷一定的時(shí)間才能達(dá)到最大值，所以電流的變化過(guò)程是瞬態(tài)過(guò)程.由基爾霍夫電壓定律列出回路電壓方程為

E-UR-UL=0

即

變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式

i=i+(i

對(duì)函數(shù)關(guān)系式取導(dǎo)數(shù)并將t=0代入，可得過(guò)圖像起點(diǎn)切線的斜率為

表明圖像的切線與漸近線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為τ，等于時(shí)間常量.

圖4

對(duì)于指數(shù)函數(shù)

x=x+(x0-x

若x=0，則有

如高中的斷電自感實(shí)驗(yàn)，在斷開(kāi)電源之后，通過(guò)線圈的感應(yīng)電流變化規(guī)律為

其中

可見(jiàn)，放電電流隨著時(shí)間變化的關(guān)系為單調(diào)遞減，其圖像與圖2相似.從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，斷電后感應(yīng)電流持續(xù)的時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)；而在實(shí)際上，經(jīng)過(guò)時(shí)間5τ時(shí)，感應(yīng)電流i=0.006 7i0，一般就可以認(rèn)為電流已減弱為零了，即感應(yīng)時(shí)間也是有限的，所以物理上把這一過(guò)程稱(chēng)之為暫態(tài)過(guò)程[1].

對(duì)于指數(shù)函數(shù)

x=x+(x0-x

若

x0-x=b>0

則

x=x

表明圖像起點(diǎn)的切線與漸近線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)間常量τ.

圖5

所以，瞬態(tài)過(guò)程的變量隨時(shí)間呈指數(shù)規(guī)律變化的圖像是以x=x=f()為漸近線的指數(shù)曲線，指數(shù)曲線起點(diǎn)的切線與漸近線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)間常量τ.若從變化率的角度而言，則初始變化率等于變化量的最大值與時(shí)間常量之比.

如圖4中的A點(diǎn)，當(dāng)t=τ時(shí)，有

則iA=0.63i.這表明，時(shí)間常量是表示瞬態(tài)過(guò)程的變量已經(jīng)變化了總量(瞬態(tài)過(guò)程變化量的最大值)的63%所經(jīng)歷的時(shí)間[4].

由于最大變化量x，x0或b=x0-x是一定的，則時(shí)間常量τ越小，指數(shù)曲線就越陡直，變量的變化就越快；反之，時(shí)間常量τ越大，指數(shù)曲線就越平緩，變量的變化就越慢.因此時(shí)間常量是反映瞬態(tài)過(guò)程變化快慢的物理量.

以上幾方面是暫態(tài)電路時(shí)間常量的含義，也是瞬態(tài)過(guò)程中時(shí)間常量的含義.

2.2 RC暫態(tài)電路

【例3】如圖6所示的閃光燈電路中，電源的電動(dòng)勢(shì)為E，電容器的電容為C，當(dāng)閃光燈兩端電壓達(dá)到擊穿電壓U時(shí)，閃光燈才有電流通過(guò)并發(fā)光，正常工作時(shí)，閃光燈周期性短暫閃光，求電容器兩端的電壓uC如何變化.試畫(huà)出uC-t圖像[5].

圖6

解析：(1)在電容器充電過(guò)程中，閃光燈相當(dāng)于開(kāi)路，電容器與電阻R串聯(lián)，組成RC串聯(lián)電路.

已知電容器電壓的初始值為u0=0，當(dāng)瞬時(shí)值為uC時(shí)，電容器中增加的電荷量為q=CuC，則充電電流為

對(duì)RC串聯(lián)電路由閉合電路的歐姆定律有E=iR+uC.即

這是關(guān)于uC的一階常系數(shù)微分方程.由此可知電壓穩(wěn)態(tài)值為u=E，時(shí)間常量為τ=RC，而電容器電壓的初始值為u0=0，利用瞬態(tài)過(guò)程的結(jié)論可知電容器兩端電壓隨時(shí)間的變化規(guī)律為

表明在充電過(guò)程中電容器兩端電壓隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律變化.

那么電壓的最大值和最小值分別是多少呢？下面通過(guò)圖像來(lái)說(shuō)明.

閃光燈與電容器并聯(lián)，其兩端電壓等于電容器兩端電壓.在RC串聯(lián)電路充電過(guò)程中，當(dāng)電容器兩端電壓升高到一定值U2時(shí)，閃光燈開(kāi)始導(dǎo)通，相當(dāng)于開(kāi)關(guān)閉合，電容器開(kāi)始放電，因此電壓的最大值為U2.

當(dāng)閃光燈導(dǎo)通時(shí)，電容器開(kāi)始放電，相當(dāng)于整個(gè)電路有兩個(gè)電源，但由于導(dǎo)通電阻r比分壓電阻R小得多，因此可近似認(rèn)為電阻R起斷路作用，將電源E與電容器隔離，那么電容器與閃光燈組成rC串聯(lián)電路，在閃光燈中產(chǎn)生放電電流，即

則由閉合電路的歐姆定律有uC=ir，即

可知時(shí)間常量為τ=rC，而放電初始電壓為U2，所以電容器兩端電壓隨時(shí)間的變化規(guī)律為

圖7

3 原子核衰變過(guò)程的時(shí)間常量

【例4】放射性強(qiáng)度定義為放射性物質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生衰變的原子核的數(shù)目，由統(tǒng)計(jì)規(guī)律可知，當(dāng)原子核數(shù)目足夠大時(shí)，在衰變過(guò)程中，放射性強(qiáng)度跟當(dāng)時(shí)存在的原子核數(shù)目成正比，其比例常數(shù)用λ表示，稱(chēng)為衰變常量.天然銣由穩(wěn)定同位素85Rb(占72.15%)和放射性同位素87Rb(占27.85%)組成，具有放射性，已知RbCl的分子量為120.92，由阿伏伽德羅常數(shù)可推出1 g的RbCl含有87Rb的初始原子核數(shù)N0.若實(shí)驗(yàn)測(cè)得質(zhì)量為1 g的RbCl的放射性強(qiáng)度是I0，試求87Rb在衰變過(guò)程中的衰變常量λ,時(shí)間常量τ,半衰期T和平均壽命t0(都用N0和I0表示)[6].

解析：設(shè)某時(shí)刻未衰變的放射性原子核總數(shù)為N，在很短時(shí)間dt內(nèi)，原子核的變化量為dN，因衰變時(shí)原子核數(shù)目減少，則增量dN為負(fù)值，帶上負(fù)號(hào)為正值，故原子核數(shù)變化率應(yīng)為

可得關(guān)于變量N的一階常系數(shù)線性微分方程為

可知穩(wěn)態(tài)值為f()=0，時(shí)間常量等于衰變常量的倒數(shù).

設(shè)初始值為f(0)=N0，利用瞬態(tài)過(guò)程的結(jié)論可知微分方程的解為

這就是原子核剩余量N隨時(shí)間t變化的關(guān)系即衰變規(guī)律的表達(dá)式，稱(chēng)為衰變定律[7]，圖像如圖8所示.

圖8

放射性強(qiáng)度即放射性原子核數(shù)目的變化率為

即I0=λN0.已知實(shí)驗(yàn)測(cè)得質(zhì)量為1 g的RbCl的放射性強(qiáng)度是I0，只有其中的87Rb具有放射性，因此87Rb的初始放射性強(qiáng)度是I0.而1 g的RbCl含有87Rb的初始原子核數(shù)N0，所以87Rb在衰變過(guò)程中的衰變常量為

那么時(shí)間常量為

每經(jīng)過(guò)一個(gè)半衰期的時(shí)間，原子核數(shù)量衰變一半，則剩余量為

可得87Rb的半衰期為

從衰變圖像可知，對(duì)于一定數(shù)量的原子核，在整個(gè)衰變過(guò)程中，有的一開(kāi)始就衰變了，存在的時(shí)間為零，則其壽命為零；有的經(jīng)過(guò)時(shí)間為τ時(shí)發(fā)生衰變，存在的時(shí)間為τ，則其壽命為τ；有的很久才衰變，存在的時(shí)間很長(zhǎng)，則壽命很長(zhǎng)；有極少數(shù)的經(jīng)過(guò)無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間發(fā)生衰變，則壽命為無(wú)限長(zhǎng).把各原子核衰變前存在時(shí)間的平均值，即放射性元素組成物質(zhì)的原子核壽命的平均值，稱(chēng)為放射性元素的平均壽命[7].從物理量的角度而言，對(duì)一個(gè)研究對(duì)象的過(guò)程量取平均值沒(méi)有意義，但這里的時(shí)間是各原子核對(duì)應(yīng)的時(shí)間，因此可以取平均值，即為整個(gè)衰變過(guò)程中各原子核存在時(shí)間的平均值.

在圖8中，遞減指數(shù)圖像與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積為S=N0τ，而矩形面積為S=N0t0，由二者相等可得時(shí)間的平均值為t0=τ，所以原子核的平均壽命在數(shù)值上等于衰變過(guò)程的時(shí)間常量，即

雖然衰變時(shí)間為無(wú)窮大，但圖像面積卻為定值，即原子核衰減圖像的面積等于初始值與時(shí)間常量之積.

以上幾方面是原子核衰變過(guò)程時(shí)間常量的含義.

由圖2和圖5可知，指數(shù)曲線與縱軸和漸近線圍成圖形的面積，等于變化量的最大值與時(shí)間常量之積，而且過(guò)曲線起點(diǎn)的切線平分該面積，這是指數(shù)瞬態(tài)過(guò)程時(shí)間常量的含義.

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