孫群濤

（湖南交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南長沙 410132）

斜拉索是斜拉橋的主要承重部件，因其具有柔性大、阻尼小的特點(diǎn)，當(dāng)橋面在風(fēng)、車輛及地震等作用振動(dòng)時(shí)，若橋面的振動(dòng)頻率與某一拉索的固有頻率成倍數(shù)，微小的橋面振動(dòng)即可引起拉索的大幅振動(dòng)［1］。在工程中，由拉索大幅振動(dòng)造成的工程事故也頻頻發(fā)生。1996年4月，荷蘭的Erasmus大橋通車僅一個(gè)多月，就因索的大幅振動(dòng)被迫關(guān)閉；在1994～1995年南浦大橋曾3次因拉索的振動(dòng)而導(dǎo)致減振器的脫落。因此，參數(shù)振動(dòng)問題已引起有關(guān)學(xué)者的高度重視，他們對參數(shù)振動(dòng)的機(jī)理和控制方法進(jìn)行了廣泛的研究，并取得了許多具有工程價(jià)值的研究成果。Fujino［2］建立了索－橋耦合2自由度振動(dòng)模型。亢戰(zhàn)［3］建立了索－橋耦合2自由度振動(dòng)模型，且運(yùn)用多尺度法，得到了拉索的主參數(shù)共振。分析結(jié)果表明：拉索與橋面的振幅此消彼長，且拉索的振幅遠(yuǎn)大于其初值，而橋面的振幅與其初值接近。汪至剛［4－5］取拉索的一階振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行了分析，計(jì)算了拉索的主共振和參數(shù)共振情況，并提出了在拉索根部安裝被動(dòng)質(zhì)量阻尼器的減振方法。趙躍宇［6］建立了小垂度斜拉索在端部軸向正弦激勵(lì)下的振動(dòng)模型，考慮拉索的一階振動(dòng)模態(tài)，分析了3種情況（激勵(lì)與拉索頻率比分別為1∶1，1∶2及2∶1）下的振動(dòng)。陳水生［7］等人對拉索軸向激勵(lì)下的面內(nèi)參數(shù)振動(dòng)進(jìn)行了分析，得到了使拉索產(chǎn)生參數(shù)共振的最小激勵(lì)幅值，并對瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)索的內(nèi)力變化進(jìn)行了分析。趙躍宇［8］等人采用斜拉索受軸向激勵(lì)的力學(xué)模型，用多尺度法，對拉索穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定進(jìn)行了分析。

作者擬根據(jù)拉索軸向激勵(lì)下的模型并運(yùn)用哈密頓變分原理，求解拉索的參數(shù)振動(dòng)方程。不同于大部分學(xué)者所利用經(jīng)典的牛頓運(yùn)動(dòng)定律的微分方法。該方法是以積分方程來由局部求整體的，通過求解系統(tǒng)作用量的平穩(wěn)值，更準(zhǔn)確地表達(dá)了系統(tǒng)對于任何微擾隨時(shí)間的演變，具有較強(qiáng)的時(shí)間、空間連續(xù)性。采用變分法，計(jì)算整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。采用多尺度法，對系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行分析。采用標(biāo)準(zhǔn)四階龍格—庫塔數(shù)值方法，求解運(yùn)動(dòng)方程。并用MATLAB編程，進(jìn)行參數(shù)分析，分析影響拉索參數(shù)振動(dòng)的因素頻率比、激勵(lì)振幅、拉索阻尼比及索力對斜拉索主共振和參數(shù)振動(dòng)的影響。

1 建立拉索面內(nèi)參數(shù)振動(dòng)方程

為方便研究且能體現(xiàn)問題本質(zhì)，假設(shè)：①忽略垂度對拉索質(zhì)量重分布的影響，認(rèn)為斜拉索的垂度曲線為拋物線；②忽略拉索的抗彎剛度、抗扭剛度及抗剪剛度；③不考慮材料非線性，變形本構(gòu)關(guān)系服從胡克定律，且各點(diǎn)受力均勻；④不計(jì)橋面和橋塔對拉索的影響；⑤拉索只發(fā)生面內(nèi)振動(dòng)。

建立如圖1所示的坐標(biāo)系，拉索的靜態(tài)線形為y（x）。拉索振動(dòng)時(shí)，x和y方向離開靜平衡位置的位移分別為u（x，t）和v（x，t），拉索軸向位移激勵(lì)

圖1 軸向激勵(lì)下斜拉索面內(nèi)振動(dòng)模型Fig.1 Stayed－cable in－plane vibration model caused by axial excitation

拉索單位索長質(zhì)量、彈性模量、截面面積、初始曲線長度、初張力及阻尼系數(shù)分別為m，E，A，L，T0及μ，靜態(tài)和動(dòng)態(tài)弧長微段分別為ds和ds′，則

則拉索的動(dòng)應(yīng)變?chǔ)艦椋?/p>

拉索的動(dòng)能和勢能分別為：

運(yùn)用Hamilton原理，有：

根據(jù)模型可知，時(shí)間邊界條件為：

幾何邊界條件為：

靜力平衡條件為：

根據(jù)式（7）～（9），分別計(jì)算T和V的變分，得：

將式（10）和式（11）代入式（6），得：

根據(jù)已知邊界條件可知，索的動(dòng)應(yīng)變只與時(shí)間有關(guān)，由于縱向振動(dòng)相對于橫向振動(dòng)較小，因此，忽略二階小量近似認(rèn)為ds≈dx，得到動(dòng)應(yīng)變：

由圖1可知，本模型位移邊界條件為：

對式（13）進(jìn)行積分，并根據(jù)邊界條件，得：

由于拉索接近張緊弦，近似取索的振動(dòng)模態(tài)為標(biāo)準(zhǔn)弦的模態(tài)。根據(jù)Tagata實(shí)驗(yàn)，張緊弦的端激勵(lì)振動(dòng)中，基本模態(tài)占主要地位，故進(jìn)行一階模態(tài)截?cái)?，?/p>

根據(jù)靜力平衡條件，得：

將式（16），（17）及（18）代入式（12），并近似認(rèn)為ds≈dx，得：

運(yùn)用Galerkin方法，進(jìn)行方程解耦。在方程兩邊同時(shí)乘以在［0，L］區(qū)間內(nèi)進(jìn)行積分，得：

式中：2ξ1ω1＝μ／m；ξ1為拉索的阻尼比；ω1為考慮綜合效應(yīng)后的一階固有頻率（2／π）4／2）；λ2為索的垂度系數(shù)，λ2＝4EABL2／T；ω0為不考慮垂度影響的一階固有頻率，

2 多尺度法求解

為方便研究，引入無量綱小參數(shù)ε，將方程（20）改寫為：

式中：ε2χ1＝－2ξ1ω1；ε2f＝－a；εg＝－d。

引入不同尺度時(shí)間變量：

本研究只討論二次近似解，令

展開后，令ε的同次冪系數(shù)為零，得到各階近似的線性偏微分方程。

ε階：

ε2階：

ε3階：

方程（24）的解可寫為負(fù)數(shù)形式：

將（27）代入（25），得：

為了保證有周期解，需要消除久期項(xiàng)，得：

2.1 非內(nèi)共振情況

將式（27）和式（30）代入（26），得：

消除式（31）久期項(xiàng)，得：

2.2 內(nèi)共振情況

將式（34）代入方程（31）并消去久期項(xiàng)，得：

將復(fù)函數(shù)A寫為指數(shù)形式，得：

式中：α（t）和θ（t）的解為t的實(shí)函數(shù)。代入式（35），分離實(shí)部、虛部，并令γ＝ε2σT0－θ，得：

方程組（37），（38）的非零常值特解αs和γs對應(yīng)于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期運(yùn)動(dòng)。令導(dǎo)出αs和γs應(yīng)滿足的條件：

消去γs，得：

由式（41）移項(xiàng)，得：

可見，振幅αs有穩(wěn)態(tài)解的條件是此時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)不斷的運(yùn)動(dòng)。在滿足αs有穩(wěn)態(tài)解的條件下，如果則αs有一個(gè)穩(wěn)態(tài)解；如果則αs存在兩個(gè)穩(wěn)態(tài)解。

為判斷振動(dòng)的穩(wěn)定性，引入擾動(dòng)變量ξ＝ααs，η＝γ－γs，得到在奇點(diǎn)（αs，γs）附近的一次近似方程：

該線性擾動(dòng)方程為：

3 參數(shù)分析

本研究以涪豐石高速烏江特大橋拉索FDB19為例進(jìn)行分析，拉索參數(shù)為：m＝72.8kg／m；T0＝5 352.2kN；A＝9 270.065×10－6m2；θ＝32.732°；L＝179.412m；f＝0.750 1Hz；E＝1.95×105MPa。

采用標(biāo)準(zhǔn)四階龍格—庫塔法［7］，求解式（20）。為方便計(jì)算，在計(jì)算過程中，進(jìn)行了參數(shù)修改，分析不同情況下拉索的振動(dòng)。運(yùn)用MATLAB，進(jìn)行編程［8］。

假定索的初始擾動(dòng)V1（0）＝10－4m，激勵(lì)幅值U（0）＝0.1m，暫不考慮阻尼的影響，作出激勵(lì)頻率與拉索頻率在［0.1，3］內(nèi)拉索的跨中振幅變化曲線，如圖（2）所示，其中ωr＝

圖2 斜拉索跨中振幅與頻率比關(guān)系曲線Fig.2 The curve between the cable－stayed span amplitude and the frequency ratio

圖3 ／ω1＝1時(shí)，位移時(shí)程曲線Fig.3 The displacement versus time when／ω1＝1

圖4 ／ω1＝2時(shí)，位移時(shí)程曲線Fig.4 The displacement versus time whenω－／ω1＝2

圖5 斜拉索跨中響應(yīng)幅值與激勵(lì)幅值的關(guān)系曲線Fig.5 The curve between the cable－stayed span amplitude and the excitation amplitude

從圖5中可以看出，拉索的跨中響應(yīng)隨激勵(lì)幅值的增大而增大，呈非線性增大關(guān)系。隨著激勵(lì)幅值的增大，拉索在參數(shù)振動(dòng)下的最大響應(yīng)幅值將大于主共振最大幅值。當(dāng)激勵(lì)幅值較小時(shí)，主共振為影響較大。當(dāng)激勵(lì)幅值較大時(shí)，參數(shù)共振的影響將超過主共振，必須引起高度重視。

從圖6，7中可以看出，斜拉索阻尼比與跨中振幅整體呈非線性遞減關(guān)系。當(dāng)時(shí)，在一定范圍內(nèi)，阻尼比的增大對減振作用顯著。隨著阻尼的增大，振幅減小緩慢。當(dāng)且阻尼比達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，將會(huì)引起跨中響應(yīng)振幅的急劇下降。當(dāng)激勵(lì)振幅較小時(shí)，小阻尼即可引起拉索跨中響應(yīng)振幅的急速下降，激勵(lì)幅值越大，引起拉索跨中響應(yīng)振幅驟降的阻尼比越大。當(dāng)跨中響應(yīng)振幅減小到某一數(shù)值之后，跨中響應(yīng)振幅與阻尼比接近線性關(guān)系，且衰減緩慢。

圖6 ω－／ω1≈1時(shí)，斜拉索跨中振幅與阻尼比關(guān)系曲線Fig.6 The curve between the cable－stayed span amplitude and the damping ratio when／ω1≈1

圖7 ω－／ω1≈2時(shí)斜拉索跨中振幅與阻尼比關(guān)系曲線Fig.7 The curve between the cable－stayed span amplitude and the damping ratio when／ω1≈2

拉索跨中最大振幅與索力關(guān)系曲線如圖8所示。從圖8中可以看出，無論是主共振還是參數(shù)共振，拉索跨中最大響應(yīng)振幅都隨索力的增大而減小。當(dāng)索力達(dá)到某一數(shù)值之后，索力變化對參數(shù)振動(dòng)的最大響應(yīng)振幅影響將減小。

圖8 拉索跨中最大振幅與索力關(guān)系曲線Fig.8 The curve between the cable－stayed maximum span amplitude and the cable tension

4 結(jié)論

2）拉索的振動(dòng)出現(xiàn)“拍”現(xiàn)象，且由于垂度效應(yīng)拉索振動(dòng)的正、負(fù)振幅不對稱。在文獻(xiàn)［3～5，9］中，用牛頓定律建立的方程得到了相同結(jié)論。

3）拉索振動(dòng)的振幅與激勵(lì)振幅呈非線性增大關(guān)系，因此控制激勵(lì)振幅可以有效地控制拉索振動(dòng)。在文獻(xiàn)［3，5，7，9］中，用牛頓定律建立的方程得到了相同結(jié)論。

4）拉索的阻尼比與跨中振幅呈非線性遞減關(guān)系，則控制拉索的阻尼比可以有效地控制拉索的振動(dòng)，但當(dāng)阻尼比達(dá)到一定值之后，再增大阻尼比的意義不大。

5）拉索的索力與跨中振幅呈非線性遞減關(guān)系。這說明增大索力可以控制拉索的振動(dòng)，特別是主共振，但是索力還需結(jié)合其他條件確定。

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