楊躍東， 馮倩妮

(1.上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 上海 200234； 2.華東理工大學(xué) 理學(xué)院, 上海 200237)

0 引言

非等間距GM(1，1)模型的預(yù)測(cè)精度，取決于參數(shù)列Q，而Q中具體參數(shù)a和b的取值，則依賴(lài)于背景值z(mì)(1)(tm)的構(gòu)造形式.所以，背景值序列z(1)(t)的構(gòu)造，成為影響非等間距GM(1，1)模型普適性和預(yù)測(cè)精度的關(guān)鍵因素之一.

已有大量文獻(xiàn)對(duì)背景值構(gòu)造問(wèn)題進(jìn)行了研究，并提出了一些改進(jìn)方法[1-7].文獻(xiàn)[8]給出了用一次累加生成序列(1-AGO)x(1)(t)與x軸在有限區(qū)間[m,m+1]圍成實(shí)際面積作為背景值的構(gòu)造方法;文獻(xiàn)[9]提出了一種非等間距GM(1，1)模型背景值的構(gòu)造方法.該方法主要思想是用指數(shù)函數(shù)來(lái)對(duì)一次累加生成序列(1-AGO)進(jìn)行擬合;文獻(xiàn)[10]給出了通過(guò)積分來(lái)重新構(gòu)造GM(1,1)模型背景值的方法，同時(shí)證明了該構(gòu)造方法所得背景值更接近于真實(shí)值;文獻(xiàn)[11]的主要思想是用背景值代替中心值，將一次累加生成序列(1-AGO)進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算，進(jìn)而得到新序列,然后將中心值與背景值替換，最終得到基于中心化的非等間距模型,取得了較高的預(yù)測(cè)精度.

本文嘗試使用Lagrange插值多項(xiàng)式，對(duì)一次累加生成序列(1-AGO)進(jìn)行擬合，進(jìn)而利用該函數(shù)估計(jì)出一個(gè)更為精準(zhǔn)的背景值.同時(shí),還在理論上證明了該方法的有效性.并且將該方法應(yīng)用于人工降雨中不同時(shí)間播撒碘化銀時(shí)的降雹量的建模中，該應(yīng)用結(jié)果證明了本文所提出方法是有效的.

1 非等間距GM(1,1)模型背景值的改進(jìn)

1.1 非等間距GM(1,1)模型的建模步驟

定義1設(shè)非負(fù)遞增序列x(0)={x(0)(t1),x(0)(t2),…,x(0)(tn)}，若間距tm=tm-tm-1≠const，則稱(chēng)x(0)為非等間距序列.

定義3設(shè)非負(fù)遞增序列z(1)(t)={z(1)(t2),z(1)(t3),…,z(1)(tn)},其中z(1)(tm)=0.5x(1)(tm)+0.5x(1)(tm-1)為一次累加生成序列(1-AGO)的均值生成序列.

對(duì)一次累加生成序列(1-AGO)x(1)建立非等間距GM(1，1)模型，對(duì)應(yīng)的微分方程為：

(1)

其差分形式(灰色微分方程)為：

x(0)(tm)+az(1)(tm)=b

(2)

在式(2)中：z(1)(tm)為x(1)(tm)在相應(yīng)區(qū)間[tm-1,tm]上的背景值，而定義3中序列z(1)(t)稱(chēng)為一次累加生成序列(1-AGO)的背景值序列.

將式(2)改為矩陣形式為：

(3)

若規(guī)定x(1)(t1)=x(0)(t1),則灰色微分方程式(2)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)(離散解)：

m=1,2,…,n

還原得到擬合后的數(shù)據(jù)為：

x(0)(tm) =x(1)(tm)-x(1)(tm-1)

(4)

1.2 背景值的改進(jìn)

本文用Lagrange插值多項(xiàng)式，對(duì)一次累加生成序列(1-AGO)進(jìn)行擬合，進(jìn)而利用該函數(shù)估計(jì)出一個(gè)更為精準(zhǔn)的背景值.

btk

(5)

初始給定的背景值z(mì)(1)(tm)=0.5x(1)(tm)+0.5x(1)(tm-1)，最終的實(shí)質(zhì)是梯形面積近似代替積分值，是一個(gè)平滑公式.當(dāng)數(shù)據(jù)隨時(shí)間變化較為平緩時(shí)，估計(jì)偏差不大，但當(dāng)數(shù)據(jù)隨時(shí)間急劇增長(zhǎng)時(shí)，直接利用梯形面積來(lái)代替積分值顯然具有較大偏差，且在一定程度上會(huì)影響非等間距灰色模型的適用范圍.

對(duì)應(yīng)n個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)t1,t2,…,tn，其Lagrange插值多項(xiàng)式的n-1次插值基函數(shù)為：

由式(4～5)可得，其n-1次插值多項(xiàng)式為：

(6)

(7)

將式(7)代入式(3)，得到經(jīng)背景值修正后的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)(離散解)為：

2 應(yīng)用實(shí)例

人工影響天氣系統(tǒng)，是防災(zāi)減災(zāi)的重要措施之一，可在水資源的合理利用和防御減輕氣象災(zāi)害等中發(fā)揮重要作用.它主要是運(yùn)用云形成和降水發(fā)生的物理學(xué)原理，通過(guò)向云中播撒催化劑的方法，使局部地區(qū)天氣過(guò)程朝著有利方向發(fā)展的一種科學(xué)措施，能夠?qū)崿F(xiàn)防雹、消霧、消雨等目的.因此，建立GM(1,1)模型研究人工影響天氣中不同時(shí)間播撒碘化銀時(shí)的降雹量的變化趨勢(shì)具有十分重要的意義.

現(xiàn)通過(guò)傳統(tǒng)非等間距GM(1,1)模型和本文提出的經(jīng)背景值改進(jìn)的非等間距GM(1,1)模型,對(duì)不同時(shí)間播撒碘化銀時(shí)的降雹量(數(shù)據(jù)見(jiàn)表1所示)進(jìn)行建模，并將這兩種不同模型的擬合精度加以比較，結(jié)果見(jiàn)表1所示.

表1 不同模型擬合結(jié)果和相對(duì)誤差比較[12]

從表1我們可以看出，通過(guò)應(yīng)用本文所提出的經(jīng)背景值改進(jìn)的非等間距GM(1,1)模型擬合精度高于傳統(tǒng)的非等間距GM(1,1)模型，其平均相對(duì)誤差為2.67%，而傳統(tǒng)非等間距GM(1,1)模型的平均相對(duì)誤差為2.72%.可見(jiàn)，改進(jìn)模型結(jié)果可以更好地反應(yīng)降雹量隨著碘化銀播撒劑量改變時(shí)的真實(shí)值.

3 結(jié)束語(yǔ)

基于背景值的構(gòu)造理論，本文提出了一種提高非等間距GM(1,1)模型數(shù)據(jù)擬合精度的方法，并且在理論上給出了新背景值構(gòu)造的推理過(guò)程.同時(shí)還應(yīng)用實(shí)例運(yùn)算結(jié)果證明，本文所提出的經(jīng)背景值改進(jìn)的非等間距GM(1,1)模型的擬合精度要高于傳統(tǒng)的非等間距GM(1,1)模型.這為研究在人工影響天氣系統(tǒng)中，如何控制催化劑播撒量來(lái)達(dá)到理想的防雹、消霧、消雨等目的，在方法上提供了一些參考.

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