巖 穩(wěn) 王新春 祝飛霞 王昆林 司民真

(楚雄師范學(xué)院 云南 楚雄 675000)

楊氏模量是表征固體材料性質(zhì)的重要物理量，是工程技術(shù)中機(jī)械構(gòu)件選材時的重要參數(shù)，也是理工類大學(xué)物理實驗的重要內(nèi)容之一[1].楊氏模量的測定是大學(xué)物理實驗中的重要實驗.在傳統(tǒng)鏡尺法[2]基礎(chǔ)之上，逐步形成了一些新的實驗方法[3～6]，但這些新的實驗方法普遍存在著實驗系統(tǒng)相對復(fù)雜，實驗成本較高的情況，或者易受外界環(huán)境(溫度、濕度、電磁)的影響.因此，高等學(xué)校實驗教材中普遍采用的還是傳統(tǒng)的靜態(tài)拉伸實驗方法，但該方法處理實驗數(shù)據(jù)的方法較為陳舊，即實驗引入的不確定度的置信概率較低(一般為正態(tài)分布的68.3%).為此，用置信率為95%的不確定度對實驗數(shù)據(jù)及其結(jié)果進(jìn)行分析與評定，引入SPSS[7]曲線估計功能分析實驗數(shù)據(jù)，試圖減小人為因素和儀器因素帶來的偶然誤差和系統(tǒng)誤差，提高對實驗數(shù)據(jù)及實驗結(jié)果分析的精度，可得到更為理合理的實驗結(jié)果.

1 實驗儀器及調(diào)試

實驗裝置如圖1所示，實驗儀器主要由YMC-1型楊氏模量測定儀、JCW-1型尺讀望遠(yuǎn)鏡、光杠桿、砝碼等組成.旋緊上卡頭固定鋼絲，調(diào)節(jié)減震臺與下卡頭等高，選定鋼絲在合適的長度內(nèi)，將水平儀放置于防震臺的不同位置，反復(fù)調(diào)節(jié)支架螺釘使楊氏模量測定儀處于平衡狀態(tài)，加上本底砝碼，調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡與光杠桿鏡面使其等高，采用逐步增減砝碼的測量方案進(jìn)行測量，測量時增減砝碼要注意輕拿輕放，盡量減少實驗過程中的誤差.

圖1 楊氏模量測定儀器

2 實驗原理

2.1 測量原理

(1)

(2)

式(2)表達(dá)了金屬材料抵抗外力拉伸(或壓縮)形變的能力. 由于在外力F作用下金屬絲的微小伸長量δ比較小,不容易測準(zhǔn)，因而,利用光放大原理對δ進(jìn)行測量.

圖2 光放大原理

如圖2所示，b為光杠桿前、后足尖的垂直距離，D為光杠桿平面鏡到直尺之間的距離，d為金屬絲的直徑，設(shè)加砝碼m金屬絲伸長δ，加砝碼前(已有本底砝碼，目的是使金屬絲伸直)望遠(yuǎn)鏡中標(biāo)尺讀數(shù)為a0，加砝碼后望遠(yuǎn)鏡中標(biāo)尺的讀書為am.am-a0為標(biāo)尺的刻度變化范圍，在2θ很小時，有

tan2θ≈2θtanθ≈θ

而

那么

則

(3)

若負(fù)重F=mg，由式(2)、(3)可得

(4)

在式(4)中，令標(biāo)尺刻度差W=(am-a0)，長度-質(zhì)量復(fù)合量

可簡化得

Z=EW

(5)

實驗中，用5 m卷鋼尺測得L和D，用50分度游標(biāo)卡尺測得b，螺旋測微器測得d，從而,可得長度-質(zhì)量復(fù)合量(Zi)，用望遠(yuǎn)鏡和光杠桿可讀出am和a0，因而可得Wi.應(yīng)用SPSS的曲線估計功能，試圖分析標(biāo)尺刻度差(Wi)與長度-質(zhì)量復(fù)合量(Zi)的線性相關(guān)性，由此標(biāo)定出鋼絲的楊氏模量，并對其不確定度進(jìn)行估算.

2.2 楊氏模量的不確定度分析[9]

對于直接測量量y，不確定度用A類、B類進(jìn)行評定.測量平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為

(6)

對A類，若測量為6次，測量結(jié)果服從t分布，當(dāng)p=0.95時，tp=2.57，即

(7)

(8)

式(8)中的k可分別代表L,D,b,d,am-a0,其合成不確定度為

(9)

對間接測量k=f(y1,y2,…,yi,…,ym)，則y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(k)為

(10)

k的相對不確定度ur(k)為

(11)

根據(jù)式(5)、(11)，楊氏模量E的合成不確定度ur(E)為

(12)

3 實驗數(shù)據(jù)處理及結(jié)果

3.1 數(shù)據(jù)測量及其結(jié)果表示

表1 對D,L,b,d長度的測量結(jié)果

表2 不同負(fù)重質(zhì)量對應(yīng)的標(biāo)尺刻度值

表3 系統(tǒng)Wi與Zi的實驗數(shù)據(jù)

3.2 用SPSS分析Z-W定標(biāo)曲線

將表3中Wi,Zi的實驗數(shù)據(jù)輸入SPSS中，以Wi為自變量，Zi為因變量，應(yīng)用曲線估計功能，可得出Z-W曲線方程為

Z=2.018 444 625 805 671×1011W+

5.521 624 104 91×107

(13)

由式(13)，得其特性曲線，如圖3所示.

圖3 Z-W定標(biāo)曲線

3.3 對楊氏模量不確定度的估算

根據(jù)圖3的Z-W特性曲線，在斜線上取樣點(W1,Z1)和(W2,Z2)，估算E的不確定度，由曲線方程式(13)可得

u(Zi)=

2.018 444 625 805 671×1011u(Wi)

(14)

由圖3斜線上不確定度取樣點(W1，Z1)和(W2，Z2)值可得

(15)

由式(15)可得E的不確定度公式為

ur(E)=

(16)

由不確定度取樣點(W1,Z1)和(W2,Z2)，結(jié)合式(14)、(16)可得楊氏模量實驗結(jié)果,如表4所示.

表4 楊氏模量實驗結(jié)果

4 分析與結(jié)論

從測量原理所得式(5)可知，只要測量條件具備，理論上有系統(tǒng)長度、質(zhì)量的復(fù)合量(Z)與系統(tǒng)標(biāo)尺刻度差(W)應(yīng)該具有線性關(guān)系，若能從實驗的角度研究出Zi-Wi關(guān)系曲線，必然可以標(biāo)定出鋼絲的楊氏模量，這在實驗的測量原理上是一個創(chuàng)新.

由表3實驗數(shù)據(jù)，利用SPSS的曲線估計功能得定標(biāo)方程式(13)及其圖3的Z-W定標(biāo)曲線圖.驗證了系統(tǒng)長度、質(zhì)量的復(fù)合量(Zi)與系統(tǒng)標(biāo)尺刻度差(Wi)具有線性關(guān)系，實驗所得定標(biāo)方程式(13)及圖3實驗曲線與理論分析的式(5)具有一致性.

由表3數(shù)據(jù)，應(yīng)用SPSS曲線估計功能得定標(biāo)方程式(13)，可得鋼絲楊氏模量2.02×1011N·m-2，對比手冊[10]中鋼絲楊氏模量2.018×1011N·m-2，二者具有較好吻合度，表明擬合的W-Z直線是客觀的.

為了能較好地實現(xiàn)實驗數(shù)據(jù)線性分析的合理性.實驗中選擇本底砝碼為5 kg(保證鋼絲平直)，鏡尺距離D控制在4 m條件下(保證數(shù)據(jù)的測量質(zhì)量)，負(fù)重砝碼(mi)以每組2 kg為標(biāo)準(zhǔn)遞增、遞減，所對應(yīng)的望遠(yuǎn)鏡初始標(biāo)尺刻度a0i為12.00 cm，具有較好的重復(fù)性，ami從13.0 cm變化到24.00 cm，有不同的標(biāo)尺刻度差(ami-a0i).由圖3可以看出，表2測量數(shù)據(jù)的可靠性較高，從而使得實驗結(jié)果更為合理.

手冊中鋼絲的楊氏模量為2.01×1011N·m-2,對照表4所得鋼絲楊氏模量的實驗結(jié)果為2.018×1011N·m-2，二者吻合度較高.尤其查看表4中楊氏模量的實驗結(jié)果，由該實驗方案所得楊氏模量的實驗值只在千分位上可疑，而以往用采用的實驗方案所得楊氏模量的實驗值一般為十分位或百分位可疑.應(yīng)用SPSS的曲線分析估計標(biāo)定的楊氏模量，可以提高測量數(shù)據(jù)及實驗結(jié)果的分析精度，且數(shù)據(jù)的處理過程及結(jié)果直觀有效.因此，該實驗方案值得推廣.

參考文獻(xiàn)

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9 劉才明.大學(xué)物理實驗中測量不確定度的評定與表示.大學(xué)物理,1997,16(8):21～23

10 沈佳旺, 王新春,等.定標(biāo)法求鋼絲楊氏模量的實驗研究.技術(shù)物理學(xué),2012,20(2):86～90