徐志軍， 張 博， 王 凱， 鄭俊杰

(1.河南工業(yè)大學(xué) 土木建筑學(xué)院，河南 鄭州 450001；2. 華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430074 )

在可靠度理論中，一次可靠度方法被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠度分析中。一次可靠度法的優(yōu)點(diǎn)在于，對于同一工程實(shí)例，當(dāng)功能函數(shù)發(fā)生變化時(shí)，利用一次可靠度方法計(jì)算出的可靠度指標(biāo)不變。Kiureghian[1]利用一次可靠度理論提出了一種改進(jìn)的二次可靠度方法。Juang[2]將一次可靠度方法應(yīng)用于地震荷載下砂土液化可靠度研究，得出了地震荷載下可靠度指標(biāo)變化規(guī)律。Huang[3]針對一次可靠度的不足，提出了一種改進(jìn)的可靠度計(jì)算方法，并將該方法應(yīng)用于巖石力學(xué)中。徐志軍[4]利用一次可靠度理論研究了基樁在豎向和水平荷載下的可靠度優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。Xiang[5]利用一次可靠度方法提出了動荷載下結(jié)構(gòu)的疲勞可靠度研究方法。Shinozuka[6], Ang[7], Madsen[8]和其他相關(guān)學(xué)者研究了一次可靠度方法。但以上研究將功能函數(shù)中的隨機(jī)變量假設(shè)為正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布，并采用圖1中的計(jì)算方法計(jì)算可靠度指標(biāo)。當(dāng)功能函數(shù)的非線性程度較高，或隨機(jī)變量不服從正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布時(shí)，采用以上現(xiàn)有研究成果無法保證計(jì)算效率和計(jì)算精度。

圖1 一次可靠度方法示意

為了解決以上問題，Zhao[9]研究了隨機(jī)變量的取值范圍，提出了一種通用的一次可靠度和二次可靠度方法。Low和Tang[10]利用Excel軟件提出了面向?qū)ο笏惴ǖ囊淮慰煽慷确椒āelchers[11], Zhao[12]和其他相關(guān)學(xué)者研究了改進(jìn)的一次可靠度方法，取得了一些有意義的成果。但這些研究成果要么計(jì)算過程繁瑣，要么可能因不收斂導(dǎo)致無法計(jì)算可靠度指標(biāo)。

為了提高一次可靠度方法的計(jì)算精度和計(jì)算效率，本文利用Beta分布擬合功能函數(shù)中的隨機(jī)變量概率分布。并采用蒙特卡洛模擬法比較了利用不同概率分布的一次可靠度計(jì)算精度。最后，利用實(shí)例分析給出了本文方法的有效性。

1 隨機(jī)變量的概率分析

1.1 正態(tài)分布與對數(shù)正態(tài)分布

正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布是工程中常用的兩種概率分布。設(shè)Z=(Z1,Z2,L,Zn)為一隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，均值和標(biāo)準(zhǔn)方差分別為μZ和σZ，則隨機(jī)變量Z的概率密度函數(shù)為

-∞

(1)

如果隨機(jī)變量Z服從對數(shù)正態(tài)分布，則概率密度函數(shù)為

(2)

劉勇[13]通過詳細(xì)研究每種概率分布的不足，介紹了Beta分布及各參數(shù)的確定方法，并通過實(shí)例分析驗(yàn)證了Beta分布擬合精度高于其他分布。

1.2 Beta分布

本文利用Beta分布擬合隨機(jī)變量Z的概率分布。Beta分布的概率密度函數(shù)表達(dá)式為

fZ(Z)=

(3)

式中：Be(γ,η)為含有兩個(gè)形參γ和η的Beta函數(shù)；m和n分別為隨機(jī)變量的最小值和最大值。

令歸一化變量為

(4)

則式(3)可轉(zhuǎn)化為

(5)

式(5)是標(biāo)準(zhǔn)的Beta分布，其均值和方差分別為[7]

(6)

(7)

式中：μBe和varBe分別為fT(t)的均值和方差。根據(jù)式(6)和式(7)得，兩個(gè)形參γ和η的計(jì)算公式分別為

(8)

(9)

對于不同的形參得出不同的曲線見圖2～圖5。由圖2～圖5可知，Beta分布能夠接受大多數(shù)概率分布。劉勇通過詳細(xì)的研究得出，Beta分布的擬合精度比常見的概率分布的擬合精度高。本文擬利用Beta分布擬合隨機(jī)變量的概率分布。

圖2 “凸”形Beta分布

圖3 “凹”形Beta分布

圖4 “凹”形Beta分布

圖5 “凹”形Beta分布

2 一次可靠度法

在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，一次可靠度法就是在失效面中找到一個(gè)點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離最短，這個(gè)最短距離就是可靠度指標(biāo)(β)。其計(jì)算過程見圖1，計(jì)算公式為

(10)

也可以用下面的計(jì)算公式

(11)

式中：μ為X的均值；C為協(xié)方差矩陣；R為相關(guān)系數(shù)矩陣；F為失效區(qū)域；μi為xi的均值；σi為xi的標(biāo)準(zhǔn)方差。式(10)實(shí)際上是個(gè)優(yōu)化過程，具體的計(jì)算過程可采用Excel軟件或Matlab編程完成。

在式(10)中，當(dāng)Z服從正態(tài)分布時(shí)，二次型的(Z-μ)TC-1(Z-μ)是一個(gè)非正指數(shù)型多變量正態(tài)概率密度函數(shù)。Z服從其他概率分布的情況在第3部分詳細(xì)給出。

3 實(shí)例分析

文獻(xiàn)[3]給出了一個(gè)平面應(yīng)變模型，平面的每個(gè)單位受力情況見圖6。在圖6中，σ3=1.0。由于受各種不確定因素的影響，排水強(qiáng)度參數(shù)即黏聚力和內(nèi)摩擦角應(yīng)視為一隨機(jī)變量，兩者的均值分布為μc=0.1和μtanφ=0.3。盡管兩者的變異系數(shù)處于0.05到0.5之間，為了方便研究，兩者的變異系數(shù)取

0

圖6 單位單元的平面應(yīng)變示意

利用摩爾庫倫失效準(zhǔn)則，可得如下公式

σ1f=σ3ftan2(45°+φ/2)+2ctan(45°+φ/2)

(12)

式中：c和φ分別為土的黏聚力和內(nèi)摩擦角。

定義如下的安全系數(shù)

(13)

為了利用一次可靠度法計(jì)算平面應(yīng)變的可靠度指標(biāo)，將黏聚力c和φ內(nèi)摩擦角視為隨機(jī)變量，基于摩爾庫倫失效準(zhǔn)則，建立如下的極限狀態(tài)方程

(14)

本文將基于式(14)討論平面應(yīng)變的可靠度指標(biāo)。表1給出了不同軸向荷載下安全系數(shù)?；诒?中的數(shù)值，利用VBA語言得出式(10)的數(shù)組公式為

“=sqrt(mmult(transpose(nx),mmult (minverse(crmat);nx)))”

(15)

在本文中，將重點(diǎn)研究正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和Beta分布的擬合精度。由概率理論可知，正態(tài)概率分布特性(均值和方差)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率分布的特性計(jì)算公式為

(16)

μN(yùn)=x-σNΦ-1[F(x)]

(17)

式中：x為原始的非正態(tài)變量；Φ-1[·]為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的逆；F(x)和f(x)分別為x的概率分布函數(shù)和密度函數(shù)；φ{(diào)·}為標(biāo)準(zhǔn)概率分布的密度函數(shù)。

由式(16)和式(17)，利用VBA將對數(shù)正態(tài)分布變量和Beta分布變量轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布。

表1 不同安全系數(shù)下 σ1 的計(jì)算結(jié)果

為了對比計(jì)算精度，利用蒙特卡羅模擬法對比各種概率分布的計(jì)算結(jié)果?；赩BA語言，利用圖1和圖7計(jì)算出當(dāng)c和tanφ分別服從正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布時(shí)平面應(yīng)變的可靠度指標(biāo)見圖8。由圖8可看出，當(dāng)c和tanφ服從對數(shù)正態(tài)分布時(shí)利用一次可靠度計(jì)算結(jié)果高估了可靠度指標(biāo)；當(dāng)c和tanφ服從正態(tài)分布時(shí)，利用一次可靠度計(jì)算結(jié)果低估了可靠度指標(biāo)。譬如，當(dāng)安全系數(shù)FOS=1.25，變異系數(shù)COV=1.50時(shí)，當(dāng)c和tanφ服從對數(shù)正態(tài)分布時(shí)，計(jì)算出的可靠度指標(biāo)為0.671；當(dāng)c和tanφ服從正態(tài)分布時(shí)，計(jì)算出的可靠度指標(biāo)為0.417，兩者之間的差值為0.254。在圖7中，當(dāng)COV=1.50時(shí)，利用兩種概率分布計(jì)算出的可靠度指標(biāo)之間的差值都在0.200以上，這在工程中是不容許的[7]。

為了提高計(jì)算精度，本文利用Beta分布擬合c和tanφ的概率分布。圖8和圖9分別給出了當(dāng)c和tanφ服從對數(shù)正態(tài)分布和正態(tài)分布分別與Beta分布的對比計(jì)算結(jié)果。從圖8和圖9可看出，利用Beta分布的計(jì)算精度高于對數(shù)正態(tài)分布和正態(tài)分布。在圖8和圖9中，利用Beta分布和其他兩種分布的計(jì)算結(jié)果之間的差值介于0.008～0.01之間。因此，本文提出的Beta分布擬合隨機(jī)變量的概率不僅大大提高了計(jì)算精度，而且在保證迭代收斂的前提下提高了計(jì)算效率。

圖 7 變量服從正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布時(shí)的計(jì)算結(jié)果

圖 8 變量服從對數(shù)正態(tài)分布和Beta分布時(shí)的計(jì)算結(jié)果

圖9 變量服從正態(tài)分布和Beta分布時(shí)的計(jì)算結(jié)果

4 結(jié) 論

利用常用的概率分布(對數(shù)正態(tài)分布和正態(tài)分布)擬合工程數(shù)據(jù)存在著擬合精度不高的問題。本文利用beta分布擬合工程數(shù)據(jù)的概率分布，并利用平面應(yīng)變問題驗(yàn)證了本文方法的有效性，得到以下結(jié)論：

(1)當(dāng)c和tanφ服從對數(shù)正態(tài)分布時(shí)利用一次可靠度計(jì)算結(jié)果高估了可靠度指標(biāo)；當(dāng)c和tanφ服從正態(tài)分布時(shí)，利用一次可靠度計(jì)算結(jié)果低估了可靠度指標(biāo)。

(2)利用Beta分布的計(jì)算精度高于對數(shù)正態(tài)分布和正態(tài)分布。本文提出的Beta分布擬合隨機(jī)變量的概率不僅大大提高了計(jì)算精度，而且在保證迭代收斂的前提下提高了計(jì)算效率。

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