付文鋒，王藍婧，李 飛，楊勇平

（1.華北電力大學 電站設備狀態(tài)監(jiān)測與控制教育部重點實驗室，保定071003；2.華北電力大學 計算機系，保定071003）

汽輪機組的給水回熱系統(tǒng)既是汽輪機熱力系統(tǒng)的基礎，也是電廠熱力系統(tǒng)的核心，它對機組和電廠的熱經濟性起著決定性的作用，合理選擇給水回熱循環(huán)的熱力參數，使之達到最佳配合是有效降低發(fā)電廠能耗的關鍵［1-2］.其中，給水在各加熱器中的焓升分配是影響回熱循環(huán)熱經濟性的重要參數之一，實現對加熱器給水焓升分配的優(yōu)化，可以在不增加設備投資和材料消耗的情況下獲得一定的經濟效益.因此，針對給水回熱分配問題，曾有學者進行了大量的研究工作，提出了多種尋找最佳回熱分配的方法.經典的分配方法有焓降分配法、平均分配法和幾何級數法等［3］，這些方法通過簡化循環(huán)、推導通式，為之后的研究工作提供了理論指導.一些學者在此基礎上，考慮實際系統(tǒng)中的各種具體因素，應用循環(huán)函數或等效焓降等方法［4-5］，結合規(guī)劃原理或遺傳算法等尋優(yōu)方法對現有熱力系統(tǒng)進行優(yōu)化，取得了一定的成果［6-7］.但是，現有的這些方法相對繁瑣、復雜且通用性和精度不高，目前還沒有出現一種精確、簡單、通用且行之有效的方法來解決這一問題.

粒子群優(yōu)化（PSO）［8-9］算法作為一種基于群智能的啟發(fā)式進化算法，具有搜索效率高、計算簡潔和易于實現等優(yōu)點，已被廣泛應用于函數優(yōu)化、神經網絡訓練、系統(tǒng)控制、工作調度和工業(yè)設計等諸多領域，并表現出良好的性能.但是，PSO 算法也表現出一些缺點，如求解高維復雜問題時容易早熟收斂；在進化后期，由于缺乏有效的機制使算法逃離局部極值，使得算法的收斂速度變慢，當接近最優(yōu)解時，算法停滯，導致精確度受到限制.為解決這些問題，許多學者進行了各種嘗試，其中一種方式是通過調整慣性權重來改進算法性能，如線性遞減權重［10］、模糊自適應權重［11］、非線性權重［12］、隨機權重［13］和動態(tài)自適應權重［14］等.

筆者將PSO 算法應用于汽輪機組給水回熱分配優(yōu)化問題，首先對基于進化狀態(tài)的自適應粒子群算法進行了改進，提出了新的慣性權重更新策略，并構造了基于PSO 算法的汽輪機組給水回熱分配的計算框架，最后將改進算法應用于某1 000 MW 汽輪機組給水回熱分配問題.

1 標準PSO 算法

PSO 算法起源于對鳥類覓食行為的模擬，由Eberhart和Kennedy于1995年提出.算法初始化時，對每個粒子的狀態(tài)隨機賦值，然后根據式（1）和式（2）來更新它們的速度和位置.

式中：c1和c2為加速系數，一般取c1＝c2＝2；r1和r2為2 個獨立的均勻分布在［0，1］內的隨機數；vi∈［-Vmax，Vmax］，Vmax是為了遏止過度漫游粒子而定義的一個常數；ptid為第i個粒子在t次迭代中搜索到的最好位置在第d維的分量；gtid為整個群體在t次迭代中搜索到的最好位置在第d維的分量.

為了提高算法的收斂性能，Shi通過修改式（1）對原始的PSO 算法進行了如下改進

式中：ω為慣性權重因子.

上述POS 算法在大多數文獻中被稱為標準PSO 算法.

2 PSO 算法的改進

2.1 改進的PSO 算法

在動態(tài)自適應算法［14］中，基于收斂準則并不要求粒子速度最終趨于零，給出了如下粒子的速度和位置更新公式

與傳統(tǒng)PSO 算法相比，速度更新式（4）有2個不同的特點：（1）r1和r2的值僅隨粒子數量和迭代次數隨機改變，即在第t＋1 次迭代中，第i個粒子在每個維度中都有相同的隨機值；（2）慣性權重也隨著粒子數和迭代次數而不同.

進化速度因子和聚集度因子是動態(tài)自適應PSO 算法在搜索過程中的兩類特征參數，慣性權重值隨進化速度因子和聚集度因子的變化而不斷變化，變化的目的是使算法具有更出色的搜索能力和跳出局部最優(yōu)的能力.與文獻［14］中不同，筆者采用如下方法定義進化速度因子和聚集度因子.

進化速度因子：

式中：F（pt-1i）為pt-1i的適應值；h在［0，1］之間，h值越大，粒子的進化速度越快.

聚集度因子：

式中：Ft為第t次迭代中的最佳適應值；為第t次迭代中的平均適應值；N為種群規(guī)模；L為搜索空間的最長半徑；D為解空間的維數；pid為第i個粒子的第d維坐標；為所有粒子第d維坐標的平均值.

按照上述定義可知，s1和s2均在［0，1］之間，s1表征了粒子進化中體現在適應值上的分布狀態(tài)，s2表征了粒子進化中體現在空間距離上的分布狀態(tài).與文獻［14］相比，筆者通過2種聚集度因子可以從不同角度更全面地描述粒子的進化狀態(tài).

參考自然界中鳥類的覓食習慣：個體（如一個粒子）在搜索過程中，如果找到對象的可能性增加（即h相對較大），它將不急于加速到下一個位置，而是減速（即減小慣性權重）飛向最優(yōu)位置，這導致目前搜索區(qū)域的搜索強度增加，以便更快地找到最優(yōu)位置.否則，需要擴大搜索范圍繼續(xù)尋找.同時，為了加強算法跳出局部最優(yōu)的能力，當某一代的適應值趨于穩(wěn)定（即s1趨于較大值時），應增大粒子群的搜索空間（即增大慣性權重）.特別地，在進化后期（h相對較?。?，如果粒子沒有能夠迅速找到最優(yōu)位置，出現粒子之間相對集中而適應度值并不穩(wěn)定的情況時（即s2較大而s1較?。?，應收縮空間進行更細致的搜索（即減小慣性權重）.

綜上所述，在本文中慣性權重按下式給出

式中：α、β在［0，1］內選擇，取α＝β＝0.5；a、b為控制聚集度因子的閾值，一般取a＝0.9，b＝0.5.

2.2 算法測試與對比試驗

為了評價所提出的改進算法的求解性能，采用4個基準測試函數（見表1）進行分析.其中，x＊為全局最優(yōu)點，f（x＊）為全局最小值.這些測試函數具有不同的特點，可以充分考察算法對不同類型問題的優(yōu)化性能，并有效檢驗算法的全局搜索性能和避免早熟收斂的能力.

表1 4個標準測試函數Tab.1 Four benchmark functions used for assessment purpose

選取近年來提出的多個PSO 算法的變種與本文算法進行比較.為了清晰地對比各種算法對測試函數的性能，對表1中的基準函數設置了相同的參數（見表2）進行測試.

表2 測試函數的參數設置Tab.2 Parameter setting for the test functions

用于對比的多個PSO 算法變種描述如下：

（1）慣性權值線性遞減PSO 算法（PSO＿w）［10］；

（2）收 縮 因 子 局 部PSO 算 法（PSO＿cf＿local）［15］；

（3）基于適應度距離比例POS 算法（FDR＿PSO）［16］；

（4）互聯型PSO 算法（FIPS）［17］；

（5）綜合學習PSO 算法（CLPSO）［18］；

（6）動態(tài)自適應PSO 算法（DAPSO）［14］；

（7）本文算法（DAPSO＿ex）.

對f1～f4，每種算法被連續(xù)運行20次.表3給出了在最大迭代次數內，各種算法分別在20次優(yōu)化計算時所得到的最優(yōu)適應度值和最差適應度值，適應度值以函數值表示.其中，PSO＿cf＿local和FIPS的數據來自文獻［18］，PSO＿w、FDR＿PSO 以及CLPSO的數據來自文獻［19］，DAPSO 和DAPSO＿ex的數據來自本文試驗.

由表3可知，在最大迭代次數內，DAPSO＿ex對上述4個函數的優(yōu)化均取得了最好的求解精度.對于f1和f3，本文算法在20次試驗中均能收斂于全局最優(yōu)解；對于f2，新算法能收斂于精度較高的局部最優(yōu)點8.881 8×10-16，僅有1次陷入較差的19.950 4；對于f4，本文算法能收斂于精度較高的局部最優(yōu)點1.272 8×10-4.試驗結果表明，新算法的求解精度和穩(wěn)定性明顯高于其他PSO 變種算法.

3 基于PSO 算法的汽輪機組給水回熱分配模型

3.1 循環(huán)熱效率的計算

對于一般的大型汽輪機組一次再熱給水回熱系統(tǒng)（見圖1），由于系統(tǒng)熱經濟性的優(yōu)劣可用循環(huán)熱效率η來評價，所以建立數學優(yōu)化模型的基礎工作是進行機組循環(huán)熱效率的計算.

表3 測試函數試驗結果Tab.3 Experimental results of the test functions

圖1 現代大型汽輪機組一次再熱給水回熱系統(tǒng)示意圖Fig.1 Typical single-reheat feedwater heating system of a large steam turbine unit

η可按式（10）計算：

式中：w為單位工質的循環(huán)做功量；q為單位工質的循環(huán)吸熱量；h0為初蒸汽焓；hc為汽輪機排汽焓；hfw為鍋爐給水焓；qrh為工質在再熱器內的焓升；αj為汽輪機各抽汽流量份額；hj為汽輪機各抽汽焓；αrh為汽輪機再熱蒸汽份額，αrh＝1-α1-α2-…-αr；r為再熱前的抽汽流個數；z為汽輪機抽汽個數.

由式（10）可知，計算η時需要首先確定汽輪機各抽汽焓hj和汽輪機各抽汽流量份額αj.

3.2 hj 的計算

根據汽輪機汽態(tài)膨脹線，可得hj的遞推公式：

當j＝r＋1 時，有p′＝（1-δp）pr，h′＝fp，t→h（p′，t′）.

式中：ηj為各級組的等熵效率；pj為各級抽汽壓力；δp為再熱壓損系數；t′為再熱溫度；p′和h′為中壓缸進汽壓力和焓；fs，p→h、fh，p→s、fp，t→h分別為已知熵和壓力求焓、已知焓和壓力求熵、已知壓力和溫度求焓的函數關系式，可以由國際水和水蒸氣性質協(xié)會提供的1997年工業(yè)用計算模型（IAPWS-IF97）確定.

所以hj可以表示為pj的函數，記為hj＝fjp→h（p1，p2，…，pj）.

3.3 αj 的計算

對于不同的回熱加熱器形式（見圖2），有如下定義［4］：

圖2 不同回熱加熱器形式Fig.2 Definition for different types of regenerative heaters

疏水放流式加熱器：

匯集式加熱器：

式中：hw，j為加熱器出口水焓；hs，j為加熱器疏水焓.

根據加熱器疏水利用的不同方式，利用加熱器的上端差和下端差，可將τj、qj、γj計算公式中加熱器出口水焓hw，j和疏水焓hs，j轉化為加熱器內飽和水焓hb，j的函數.

當加熱器不設置疏水冷卻器時

當加熱器設置疏水冷卻器時

式中：θj和φj分別為用焓表示的加熱器上端差和下端差.

考慮抽汽管路壓損系數δpj后，可以求得加熱器內的飽和水壓力pb，j＝（1-δpj）pj，即可以確定出加熱器內飽和水焓hb，j＝fpb→hb（pb），其中fpb→hb為IAPWS-IF97中已知壓力求飽和水焓的函數關系式.

根據各加熱器熱量平衡和質量平衡推出下式

式中：A為z階下三角矩陣；qf為主系統(tǒng)外的能量流，包括附加汽水能量流和給水泵焓升等，其書寫規(guī)則詳見文獻［20］.

A中元素ai，j（i為行、j為列）滿足以下規(guī)則：當i＜j時，ai，j＝0；當i＝j時，ai，j＝qi；當i＞j時，如果i號加熱器接受j號加熱器疏水，則ai，j＝γi，否則ai，j＝τi.

對于圖1所示的一般性回熱系統(tǒng)，式（16）可以展開成如下形式：

式中：k表示第k號加熱器為除氧器；l表示小汽輪機與第l號加熱器共汽源；（τfw）（k-1）表示τfw項位于qf中的第k-1項；τfw為給水泵焓升；αq為小汽輪機流量份額.

由式（17）得到的αj可以表示為pj的函數，記為αj＝fjp→α（p1，p2，…，pj＋1）.

3.4 汽輪機組給水回熱分配問題的優(yōu)化數學模型

由式（10）、式（11）和式（16）可知，在其他設計條件（主蒸汽參數、終端參數、再熱蒸汽溫度、管道壓損、加熱器端差、排汽干度和加熱器個數等）一定的條件下，以抽汽壓力為優(yōu)化變量，機組循環(huán)熱效率為尋優(yōu)目標，可以建立如下數學模型

約束 條件為：pc＜pj＜p0

式中：p0和pc分別為汽輪機組初壓和排汽壓力的設計值.

4 應用實例

某1 000MW 汽輪機組給水回熱系統(tǒng)連接形式見圖3.

圖3 某1 000 MW 汽輪機組給水回熱系統(tǒng)圖Fig.3 Feedwater heating system of a 1 000 MW steam turbine unit

初始條件：主蒸汽壓力p0＝25 MPa，溫度t0＝600 ℃，再熱蒸汽溫度tr＝600 ℃，汽輪機排汽壓力pc＝0.004 9 MPa，排汽干度為0.905，汽輪機抽汽個數z＝8，各抽汽管路壓損系數δpj＝3%，小汽輪機和除氧器共用第4號抽汽（即l＝k＝4）.各加熱器的上、下端差見表4，各附加汽水能量流參數見表5.

選取種群規(guī)模為20，迭代次數為500，分別采用遺傳算法（GA）［7］、基本粒子群算法（PSO）和本文改進粒子群算法（DAPSO＿ex）各經過50次重復優(yōu)化計算，得到3種算法的最佳適應度值進化曲線（見圖4）.

表4 各加熱器的端差Tab.4 Terminal temperature difference of various feedwater heaters

表5 附加汽水來源及份額Tab.5 Sources and shares of additional steam

由圖4可知，無論從求解精度方面或收斂速度方面，DAPSO＿ex都優(yōu)于GA算法和PSO算法.DAPSO＿ex所得的優(yōu)化結果與機組原設計值的比較見表6.

圖4 最佳適應度值進化曲線Fig.4 Best fitness trend line for the optimization

表6 優(yōu)化結果與原設計值的比較Tab.6 Comparisons between optimization results and original design values

如表6所示，在本優(yōu)化實例中只針對1號、2號外的加熱器所對應的抽汽壓力進行優(yōu)化，原因是1號、2號加熱器抽汽壓力分別影響給水溫度和再熱蒸汽壓力，如果1 號、2 號加熱器抽汽壓力發(fā)生改變，汽輪機回熱系統(tǒng)外的其他設備（如省煤器和再熱器等）的選材和布置都需要進行重新設計和考慮.

由表6可以看出，優(yōu)化后的機組循環(huán)熱效率比原設計值相對提高了0.23%，若機組發(fā)電標準煤耗率以280g／（kW·h）計，年利用小時數以5 500h計，一臺機組每年可以節(jié)約標準煤約3 526.38t，經濟效益可觀.

所提出的基于改進PSO 算法的給水回熱分配優(yōu)化方法比傳統(tǒng)方法簡捷、易實現、收斂精度更高，對回熱系統(tǒng)或設備不需要進行任何假設（如假設沒有再熱和所有加熱器都是混合型加熱器等），便于考慮實際系統(tǒng)中各種具體因素，可以實現更加合理的最佳設計方案.

5 結 論

對基于進化狀態(tài)的自適應粒子群算法中的聚集度描述進行了改進，試驗證明改進的PSO 算法具有良好的性能.構造了通用性給水回熱分配優(yōu)化的數學模型，并將改進PSO 算法應用于汽輪機組給水回熱分配問題.實例計算結果表明，該方法能迅速、準確地求得最優(yōu)解.該方法可以推廣應用于其他形式的機組，對大型汽輪機組熱力系統(tǒng)挖掘節(jié)能潛力和優(yōu)化設計具有一定的指導意義.

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