周振華，王 茂，王學(xué)翰

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)研究中心，150001哈爾濱；2.大慶油田電力集團(tuán)燃機(jī)電廠，230604黑龍江大慶）

離散廣義分段仿射系統(tǒng)彈性H∞濾波器的設(shè)計(jì)

周振華1，王 茂1，王學(xué)翰2

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)研究中心，150001哈爾濱；2.大慶油田電力集團(tuán)燃機(jī)電廠，230604黑龍江大慶）

為消除未知情況下外部干擾和測量噪聲對控制系統(tǒng)性能的不利影響，以一類參數(shù)不確定性體現(xiàn)為范數(shù)有界形式的離散廣義分段仿射系統(tǒng)為模型，研究具有H∞性能指標(biāo)漸近穩(wěn)定彈性濾波器的設(shè)計(jì)問題.通過采用廣義分段仿射Lyapunov函數(shù)、投影定理以及幾個(gè)基本引理，提出了對于由所設(shè)計(jì)彈性濾波器構(gòu)成的濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)滿足魯棒H∞性能指標(biāo)的反饋控制器設(shè)計(jì)方法.通過求解一組包含參變量的LMIs，可以得到保證廣義分段仿射系統(tǒng)具有H∞性能的反饋控制器增益和漸近穩(wěn)定彈性濾波器的待定系統(tǒng)矩陣，仿真結(jié)果證明了所提設(shè)計(jì)方法的有效性.

廣義分段仿射系統(tǒng)；彈性濾波器；分段Lyapunov函數(shù)；LMIs

目前，具有范數(shù)有界時(shí)變參數(shù)不確定性廣義分段仿射系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題越來越受到人們的關(guān)注［1-3］，但關(guān)于系統(tǒng)“軟測量技術(shù)”的研究鮮有報(bào)道.這樣的系統(tǒng)不但要求具有魯棒穩(wěn)定性，同時(shí)也需要利用系統(tǒng)的輸入輸出信息來重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)向量［4］，這種處理方法的目的在于尋求一個(gè)漸近穩(wěn)定濾波器，使得由此構(gòu)成的濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，而且要求系統(tǒng)滿足一定的H∞性能指標(biāo)［5-7］.

隨著廣義系統(tǒng)魯棒控制問題研究的深入，對其進(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)的相關(guān)研究也相繼取得了一些成果［8-10］，所做研究大多局限于連續(xù)系統(tǒng)，采用的方法主要是基于分段Lyapunov函數(shù)法以及一些相應(yīng)線性矩陣不等式的處理方法［11-13］.然而，關(guān)于離散廣義分段仿射系統(tǒng)H∞濾波器設(shè)計(jì)方法的研究卻未見報(bào)道.王茂等［14］研究了一類具有參數(shù)不確定離散廣義分段仿射系統(tǒng)的靜態(tài)輸出反饋控制問題，將結(jié)果轉(zhuǎn)換為包含參變量的LMIs約束條件，得到欲尋求使閉環(huán)系統(tǒng)容許的反饋控制器增益.本文基于分段Lyapunov函數(shù)，投影定理以及幾個(gè)基本引理，在前人的基礎(chǔ)上引入彈性H∞濾波器設(shè)計(jì)方法對離散廣義分段仿射系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)魯棒H∞濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng).

本文特點(diǎn)在于將一類參數(shù)不確定性體現(xiàn)為范數(shù)有界形式的離散廣義分段仿射系統(tǒng)的彈性H∞濾波器設(shè)計(jì)方法進(jìn)行考慮，以一些線性矩陣處理方法的基本引理為基礎(chǔ)，同時(shí)采用投影定理對系統(tǒng)的保守性進(jìn)一步降低，使得由引入此濾波器而構(gòu)成的濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)滿足魯棒H∞性能指標(biāo).

1 問題描述及基礎(chǔ)知識

本文考慮的是一類參數(shù)不確定性體現(xiàn)為范數(shù)有界形式的時(shí)變參數(shù)廣義分段仿射系統(tǒng)：

式中：χ（k）∈Rnχ為系統(tǒng)狀態(tài)變量；u（k）∈Rnu為控制輸入向量；y（k）∈Rny為系統(tǒng)輸出向量；z（k）∈Rnz為可控輸出向量；w（k）∈Rnw且w（k）∈l2［0，∞）為擾動(dòng)輸入；Ai，Bi，Ci，Di1，Di2，Li，bi，E為第i個(gè)子系統(tǒng)的已知定常系數(shù)矩陣；Ebi是偏置項(xiàng)；索引集合是I＝｛1，2，…，N｝；E∈Rnχ×nχ是廣義矩陣，且rank（E）＝r≤nχ；ΔAi和Δbi代表系統(tǒng)的不確定項(xiàng)，且滿足如下形式：

式中：Wi1，Ei1和Ei2是預(yù)先指定的定常實(shí)數(shù)矩陣，Δi（t）：Z＋→Rs1×s2是一個(gè)未知的實(shí)值時(shí)變矩陣函數(shù)，并且包含Lebesgue可測量元素，具有如下形式：

如果式（2）和式（3）成立，則稱系統(tǒng)具有容許的參數(shù)不確定性.

在子系統(tǒng)中，將多面體區(qū)域Ri過渡到區(qū)域Rj的集合用Ω表示，可以描述為

本文假設(shè)多面體區(qū)域Ri，i∈I具有形式：

該多面體區(qū)域可以進(jìn)一步描述為一個(gè)橢圓集合，其中Fi＝2Ci／（βi-αi），fi＝-（βi＋αi）／（βi-αi），εi＝｛χ｜‖F(xiàn)iχ＋fi‖≤1｝，i∈I．

對于每個(gè)橢圓區(qū)域，可以得到：

進(jìn)一步將狀態(tài)空間分為兩類區(qū)域I＝I0∪I1，I0代表包含原點(diǎn)的fTifi-1≤0索引集合區(qū)域，I1則代表其余的索引集合區(qū)域．

定義1［15］考慮參數(shù)不確定體現(xiàn)為范數(shù)有界形式的離散廣義分段仿射系統(tǒng)（1），其中u（k）＝0．

i.如果存在z∈C使得det（zE-Ai）≠0，則稱廣義系統(tǒng)（1）是正則的，i∈I；

ii.如果deg（det（zE-Ai））＝rank（E），i∈I則稱系統(tǒng)（1）是因果廣義系統(tǒng)；

iii.用λ（E，Ai）表示離散廣義系統(tǒng)（1）的所有特征根，如果λ（E，Ai）?Dint（0，1），則稱（1）是穩(wěn)定的廣義系統(tǒng)；

iv.如果稱廣義系統(tǒng)（1）是容許的，則系統(tǒng)（1）必定正則、因果，而且是穩(wěn)定的；

v.用ν1表示矩陣束（E，Ai）的一階向量，且非零向量ν1滿足Eν1＝0，對于滿足Eνk＝Aivk-1的非零特征向量νk（k≥2），則稱為矩陣束（E，Ai）的k階特征向量．

引理1 對于適當(dāng)維數(shù)實(shí)矩陣M＝MT、S、N和Δ（t），若滿足ΔT（t）Δ（t）≤I，則當(dāng)且僅當(dāng)存在某個(gè)標(biāo)量ε＞0時(shí)：M＋SΔ（t）N＋NTΔT（t）ST＜0等價(jià)于M＋εSST＋ε-1NTN＜0．

引理2［16］（投影定理）：給定矩陣h＝hT∈Rn×n，u∈Rk×n和v∈Rm×n，則關(guān)于變量Δ的矩陣不等式h＋uTΔTv＋vTΔu＜0是LMI可解的，當(dāng)且僅當(dāng)：

1）若v⊥＝0，u⊥≠0，則uT⊥hu⊥＜0；

2）若u⊥＝0，v⊥≠0，則vT⊥hv⊥＜0；

3）若u⊥≠0，v⊥≠0，則uT⊥hu⊥＜0，vT⊥hv⊥＜0同時(shí)成立，u⊥，v⊥代表u和v的右正交核空間．

引理3［17］若ψ0（ξ），ψ1（ξ），…，ψp（ξ）為ξ∈Rn的二次仿射函數(shù)，其中ψi（ξ）＝ξTQiξ，i＝0，1，…，p，且Qi＝QTi．對于一組正數(shù)μ1，μ2，…，μp≥0，若對任意ξ∈Rn，式0成立，則對于滿足ψ1（ξ）≥0，ψ2（ξ）≥0，…，ψp（ξ）≥0的所有ξ∈Rn，有ψ0（ξ）≥0．

本文針對給定常數(shù)γ＞0，取z（k）為待估計(jì)信號向量，設(shè)計(jì)一個(gè)漸近穩(wěn)定的彈性H∞濾波器：

式中Af，Bf，Cf，Df為彈性濾波器的待定系數(shù)矩陣．漸近穩(wěn)定彈性H∞濾波器反饋環(huán)節(jié)不確定性BiΔKi＝Wi1Δi（t）Ei3，i∈I．

定義 ?χT（k）＝［χT（k）＾χT（k）］，則濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)方程如下：

式中：Ki為反饋控制增益，則本文所考慮彈性H∞濾波器設(shè)計(jì)問題是尋求濾波器（5），使得濾波動(dòng)態(tài)誤差系統(tǒng)（6）是漸近穩(wěn)定的，且擾動(dòng)w到估計(jì)誤差?z（k）＝z（k）-＾z（k）傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)小于給定的常數(shù)γ．

2 主要結(jié)果

在本文中，假設(shè)系統(tǒng)輸入矩陣Bi，i∈I是列滿秩的，做此假設(shè)后，則可以找到一組轉(zhuǎn)換矩陣TBi∈Rnχ×nχ，i∈I，滿足：

式中TBi∈Rnχ×nχ非奇異，以下彈性H∞濾波器就是基于該假設(shè)進(jìn)行設(shè)計(jì)的．

定理1 考慮參數(shù)不確定離散廣義分段仿射系統(tǒng)（1），若存在對稱正定矩陣另有對稱矩陣標(biāo)量（i，j）∈Ω｝，實(shí)數(shù)γ∈R，∈Ω｝，以及濾波器待定參數(shù)矩陣，使得：

成立，則存在H∞漸近穩(wěn)定彈性濾波器（5），使得濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（6）是容許的，且擾動(dòng)w到估計(jì)誤差傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)小于給定的常數(shù)γ．

證明 首先，通過濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（6）的系統(tǒng)描述尋求適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù).選取廣義分段仿射Lyapunov函數(shù)：

進(jìn)一步構(gòu)造ΔV（k）：

基于Lyapunov函數(shù)的定義，在零初始條件下，對于任意非零w（k）∈l2［0，∞），為使具有魯棒H∞性能指標(biāo)γ的濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（6）是漸近穩(wěn)定的，則只需保證以下不等式成立：

其中估計(jì)誤差?z（k）＝z（k）-＾z（k），根據(jù)系統(tǒng)（1）和線性濾波器（5）的定義，估計(jì)誤差可進(jìn)一步寫成：

考慮濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（6），對于任意非零w（k）∈l2［0，∞），式（8）可進(jìn)一步等價(jià)于：

用矩陣形式將式（9）改寫，可進(jìn)一步得到：

從式（10）可以得到：

假設(shè)矩陣束（ˉE，ˉA）是非因果的．用一階特征向量ν1和它的Hermitian矩陣ν1?分別左乘和右乘式（11）得ν1?ˉATPjˉAν1-ν1?ˉETPiˉEν1＜0．

接下來根據(jù)定義1，再用ˉEν2代替ˉAν1，并注意到ˉEν1＝0，可以得到ν2?ˉETPiˉEν2＜0．其與條件（7）相矛盾.所以矩陣束（ˉE，ˉA）是因果的．顯然，證明因果性的同時(shí)也證明了矩陣束（ˉE，ˉA）的正則性．

考慮區(qū)域信息，即將式（4）帶入式（10）并應(yīng)用引理3，其中λij＜0，i∈I1，（i，j）∈Ω，得到：

對式（12）中各個(gè)矩陣進(jìn)行合并，并先后應(yīng)用2次Schur補(bǔ)引理，從式（13）可以得到：

另一方面，由于本文所考慮的廣義分段仿射系統(tǒng)具有參數(shù)不確定性，為消除不確定性給求解過程帶來的影響，將式（13）中的不確定性ΔAi和EΔbi分離出來，下面可以將式（13）改寫為

其中做了如下定義：

進(jìn)一步得到：

定理得證.

定理2 考慮參數(shù)不確定離散廣義分段仿射系統(tǒng)（1），若存在對稱矩陣H1，H3∈Rnχ×nχ，標(biāo)量

I1，使得式（7）成立，且滿足以下不等式：成立，則存在H∞漸近穩(wěn)定彈性濾波器（5），使得濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（6）是容許的，且閉環(huán)系統(tǒng)（6）具有魯棒H∞性能．

對任意矩陣N，

H∞濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)反饋控制器增益：

證明 首先，注意到作為定理1結(jié)論的線性矩陣不等式中，濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的Lyapunov矩陣和系統(tǒng)矩陣相互耦合在一起，結(jié)合schur補(bǔ)引理，將式（14）改寫：

其中：

接下來應(yīng)用投影定理消除式中Lyapuno矩陣和系統(tǒng)矩陣的耦合，這樣處理后的結(jié)果將不對濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣進(jìn)行分解，將式（17）改寫為

基于投影定理，做如下變量替換：

應(yīng)用引理2的投影定理，得到：

對矩陣Mi∈Rnχ×（3nχ＋nz＋nw＋nu＋1＋s1），i∈I1進(jìn)行分塊：

將式（19）帶到式（18）中，并結(jié)合所有給定矩陣的定義，最終得到式（16）．可以看到條件（16）在Ebi＝0時(shí)，就是條件（15），所以不失一般性，此處只證明式（16）成立即可，第一部分證明結(jié)束．

3 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證本文所提彈性H∞濾波器設(shè)計(jì)方法的實(shí)用性，以及定理2使得閉環(huán)系統(tǒng)保守性更小的結(jié)論，下面考慮一個(gè)實(shí)際物理映射，并將通過對其彈性H∞濾波器待定參數(shù)矩陣以及反饋控制增益的求取來證明結(jié)論．

以隧道二極管電路為例［18］，電容電壓用χ1（k）表示，電感電流用χ2（k）表示，流過隧道二極管的電流用χ3（k）表示．將擾動(dòng)輸入取為隨時(shí)間延續(xù)不斷衰減的信號：w（k）＝e-5k，則離散化得到系統(tǒng)模型：

式中取系統(tǒng)狀態(tài)初始值為χ（0）＝（2.5，1，-1），其他參數(shù)取值如下：

橢圓體系數(shù)矩陣通過以下公式可計(jì)算得到：

式中：α1＝3，β1＝10，α2＝4，β2＝9．

應(yīng)用定理1得到一組使濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（6）容許的彈性H∞濾波器反饋控制增益：

H∞干擾抑制度γ＝28.699 2．彈性H∞濾波器待定系數(shù)矩陣如下：

圖1為根據(jù)定理1得到的由彈性H∞濾波器所構(gòu)成濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（6）的狀態(tài)響應(yīng)曲線：

圖1 根據(jù)定理1得到的系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線

應(yīng)用定理2得到另一組使濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（6）容許的彈性H∞濾波器反饋控制增益：

H∞干擾抑制度γ＝9.145 9．彈性H∞濾波器待定系數(shù)矩陣如下：

圖2為根據(jù)定理2得到的由彈性H∞濾波器所構(gòu)成濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（6）的狀態(tài)響應(yīng)曲線．

圖2 根據(jù)定理2得到的系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線

將之前給定的系統(tǒng)矩陣參數(shù)A1，A2再次進(jìn)行賦值，其他參數(shù)不變，并重復(fù)之前步驟進(jìn)行數(shù)值仿真，A1，A2取值如下：

仿真結(jié)果表明，基于定理1的控制方法不能使系統(tǒng)鎮(zhèn)定，即找不到相應(yīng)的彈性H∞濾波器待定系數(shù)矩陣以及反饋控制增益使得濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（6）容許．而通過應(yīng)用定理2，得到反饋增益

從仿真所得數(shù)據(jù)可以看到基于定理2的控制器設(shè)計(jì)方法在某些情況下確實(shí)使得系統(tǒng)保守性有所下降，原因在于系統(tǒng)矩陣和Lyapunov矩陣的耦合關(guān)系得以消除，使得這種處理方法不對系統(tǒng)矩陣進(jìn)行分解，從而獲得了保守性更小的濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（6），所以相比較而言，在某些情況下，可以得到最優(yōu)解.

4 結(jié) 語

本文首先構(gòu)造廣義分段仿射Lyapunov函數(shù)，接下來應(yīng)用投影定理以及幾個(gè)處理LMIs的基本引理，針對參數(shù)不確定體現(xiàn)為范數(shù)有界形式的離散時(shí)間廣義分段仿射系統(tǒng)設(shè)計(jì)了使其閉環(huán)系統(tǒng)容許的彈性H∞濾波器，保證了由此構(gòu)成的濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)具有一定的魯棒性能.算法最終轉(zhuǎn)化為LMIs，討論了彈性H∞濾波器得以存在的LMIs約束條件，此種算法不對系統(tǒng)矩陣進(jìn)行分解，并且消除與Lyapunov矩陣的耦合關(guān)系，達(dá)到減低算法保守性的目的，最后數(shù)值仿真給出了所涉及彈性H∞濾波器的最優(yōu)解，同時(shí)得到濾波器控制增益.數(shù)值仿真證明了該設(shè)計(jì)方法的有效性.

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（編輯 張 宏）

Design of resilient H∞filter for discrete?time piecewise?affine singular systems

ZHOU Zhenhua1，WANG Mao1，WANG Xuehan2

（1.Space Control and Inertial Technology Research Center，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China；2.Gas turbine power plant，Daqing oilfield electric，230604 Daqing，Heilongjiang，China）

This paper investigates the robust admissibility analysis and resilient filter controller synthesis for a class of discrete?time piecewise affine singular systems with asymptotic stability which possesses H∞performance is considered in this paper，in order to eliminate the adverse effects of external disturbances and measurement noise of control system performance.By using the piecewise?affine singular Lyapunov functions combined with Projection lemma and some basic lemmas，an approach of designing robust H∞feedback controller is given，the conclusions ensure resilient filtering error dynamic system possessing H∞performance. It is shown that the controller gains can be obtained by solving a family of LMIs parameterized by scalar variables.The feedback controller gain and resilient filter system matrix can ensure the stability of systems and guarantee the H∞performance of the piecewise?affine singular systems.Finally，the practicability of the proposed methodologies is confirmed via some simulation examples.

piecewise?affine singular systems；resilient filter；piecewise Lyapunov function；LMIs

TH13

：A

：0367-6234（2014）01-0008-09

2013-11-29.

國家自然科學(xué)基金（61004038）.

周振華（1983—），男，博士研究生；王 茂（1965—），男，教授，博士生導(dǎo)師.

周振華，zhouzhenhua99＠gmail.com.