王鳳剛，凌賢長，2，徐訓(xùn)，張鋒，趙瑩瑩

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150090；2.中國科學(xué)院寒區(qū)旱區(qū)環(huán)境與工程研究所凍土工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅蘭州730000）

基于全量補(bǔ)償算法的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別

王鳳剛1，凌賢長1，2，徐訓(xùn)1，張鋒1，趙瑩瑩1

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150090；2.中國科學(xué)院寒區(qū)旱區(qū)環(huán)境與工程研究所凍土工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅蘭州730000）

頻率和振型是反應(yīng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的主要模態(tài)參數(shù)，文中對(duì)損傷結(jié)構(gòu)的頻率和振型進(jìn)行了研究。通過實(shí)測損傷結(jié)構(gòu)的頻率和振型，利用矩陣?yán)碚撔拚碚撚邢拊Ｐ?，使之與實(shí)測損傷結(jié)構(gòu)的頻率和振型一致；將修正的理論有限元模型表達(dá)成單元?jiǎng)偠染仃嚺c損傷因子的線性組合，把損傷識(shí)別問題轉(zhuǎn)化為組合系數(shù)的識(shí)別問題。給定損傷因子的合理取值范圍，用優(yōu)化方法求解損傷因子。通過對(duì)十跨桁架結(jié)構(gòu)的數(shù)值仿真，僅用結(jié)構(gòu)的前5階頻率和振型就能很好的識(shí)別結(jié)構(gòu)的損傷，且該方法不需要對(duì)實(shí)測振型進(jìn)行歸一化處理，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

補(bǔ)償算法；損傷識(shí)別；頻率；振型；模態(tài)參數(shù)；損傷因子；歸一化

土木工程結(jié)構(gòu)隨著服役時(shí)間的增加、材料性能的退化及環(huán)境荷載的改變，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效的可能性越來越大。為保證結(jié)構(gòu)安全，減少經(jīng)濟(jì)損失，在20世紀(jì)70年代就開展了結(jié)構(gòu)損傷診斷技術(shù)的研究工作［1］。結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別是找出結(jié)構(gòu)損傷并給出損傷程度及位置［2］，為后續(xù)評(píng)估結(jié)構(gòu)安全提供依據(jù)，是健康監(jiān)測技術(shù)的關(guān)鍵。由于結(jié)構(gòu)振動(dòng)信息易于提取，且結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性反應(yīng)的是結(jié)構(gòu)全局信息，因此，基于振動(dòng)信號(hào)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別得到廣泛研究。

基于振動(dòng)特性的系統(tǒng)損傷識(shí)別可分為無反演方法和反演方法。無反演方法一般是通過頻率、振型及其衍生量的動(dòng)力指紋［3-5］來判斷結(jié)構(gòu)有無損傷。文獻(xiàn)［6］利用模態(tài)曲率的改變率，對(duì)500 kV輸電塔的損傷進(jìn)行了識(shí)別。單元模態(tài)應(yīng)變能損傷指標(biāo)對(duì)開裂損傷和支座損傷有較好的識(shí)別效果［7］。楊棟等［8］定義了遞歸矩陣奇異值熵作為結(jié)構(gòu)的損傷特征指標(biāo)。這一類方法難以進(jìn)行損傷定位及損傷程度的確定。反演方法一般是通過優(yōu)化［9-10］或智能算法［11-13］等方法對(duì)結(jié)構(gòu)損傷進(jìn)行判定，定位及損傷程度確定。結(jié)構(gòu)監(jiān)測只能監(jiān)測部分測點(diǎn)，隨機(jī)損傷定位向量法對(duì)桁架橋梁［14］和鋼框架結(jié)構(gòu)［15］有較好的識(shí)別效果。針對(duì)對(duì)稱結(jié)構(gòu)、對(duì)稱損傷識(shí)別不準(zhǔn)的問題，文獻(xiàn)［16］提出了移動(dòng)附加質(zhì)量的方法來改變結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性。對(duì)于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，測量信息嚴(yán)重不足，導(dǎo)致對(duì)結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的結(jié)果不可靠，侯吉林等［17］提出了局部主頻率子結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法。結(jié)構(gòu)模型和測量響應(yīng)均存在噪聲，噪聲的存在使結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別存在數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，Tikhonov正則化方法是改善矩陣病態(tài)常用的方法，文獻(xiàn)［18］通過在Tikhonov罰函數(shù)中引入光滑函數(shù)的方法，改善了噪聲對(duì)結(jié)構(gòu)損傷的影響。用概率的方法來研究噪聲對(duì)結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的影響是一種有效的方法。文獻(xiàn)［19］提出了基于Bayesian理論的信息融合技術(shù)來提高結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別結(jié)果的準(zhǔn)確性。

頻率和振型是結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，能反應(yīng)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，是一種全局變量。本文利用損傷結(jié)構(gòu)的部分頻率和振型信息，發(fā)展了一種基于優(yōu)化的損傷識(shí)別反演算法。

1 全量補(bǔ)償算法理論分析

1.1 結(jié)構(gòu)特征方程

理論有限元模型的無阻尼自由振動(dòng)特征方程為

式中：M為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣，K為結(jié)構(gòu)剛度矩陣，Φ＝[φ1，…，φi，…，φN]為結(jié)構(gòu)的振型矩陣，Λ＝diag(，…，，…，)為結(jié)構(gòu)的頻率平方組成的對(duì)角陣。令

則式（1）可寫為

1.2 理論有限元模型的頻率修正

結(jié)構(gòu)損傷后，結(jié)構(gòu)頻率發(fā)生變化，通過修正理論有限元模型，使得修正后的理論有限元模型的頻率值和損傷結(jié)構(gòu)的頻率值相同。將式（3）寫成分量形式并做等價(jià)變形有：

式中：λdi為損傷結(jié)構(gòu)的頻率。

將式（4）寫成矩陣形式有

式中：Λd＝diag(，…，…，)，是由損傷模型的頻率的平方組成的對(duì)角陣。

若僅已知一部分損傷結(jié)構(gòu)頻率，假定為n階頻率，則用損傷結(jié)構(gòu)的n階頻率替換理論模型的n階頻率，即

式中：λj為理論模型的頻率。令L＝SQ。則式（5）可表示為

式（8）是通過頻率對(duì)理論有限元模型的第一次修正，此時(shí)理論有限元模型已有n階頻率和實(shí)測損傷結(jié)構(gòu)的n階頻率相等。

1.3 理論有限元模型的振型修正

在用頻率修正理論有限元模型的基礎(chǔ)上，再次通過振型修正理論有限元模型，使其有n階振型和實(shí)測損傷結(jié)構(gòu)已知的n階振型相等。

根據(jù)矩陣?yán)碚摚嗨凭仃囉邢嗤奶卣髦?。假設(shè)L和R是相似矩陣，即存在一個(gè)N×N階的可逆矩陣P，使L和R滿足：

下面構(gòu)造N×N階的可逆矩陣P。對(duì)式（8）進(jìn)行等價(jià)變形有

式中：Φd＝[φd1，…，φdi，…，φdN]是損傷模型的振型矩陣，φdi表示損傷模型的第i階振型。

式（10）左右兩邊同時(shí)乘以P，將式（11）入式（10）有

式（9）代入式（12）有：

式中：損傷結(jié)構(gòu)振型矩陣Φd僅已知一部分振型，Φd中未知振型用理論模型的振型矩陣Φ中對(duì)應(yīng)振型替代，即

式中：φj表示理論模型的第j階振型。由式（13）可求得通過頻率和振型修正的系統(tǒng)矩陣R：

由式（15）可知，用損傷結(jié)構(gòu)不做歸一化處理的實(shí)測振型修正理論有限元模型的振型，與用損傷結(jié)構(gòu)歸一化處理的實(shí)測振型修正理論有限元模型的結(jié)果一致，說明對(duì)損傷結(jié)構(gòu)實(shí)測振型不做歸一化處理，對(duì)理論有限元模型的修正無影響。在對(duì)損傷結(jié)構(gòu)振型的測試過程中，得到的振型往往不是歸一化的振型，上述對(duì)理論有限元模型振型的修正不要求振型歸一化，為對(duì)實(shí)測數(shù)據(jù)的處理帶來很大方便。

1.4 剛度矩陣對(duì)稱性修正

通過對(duì)理論有限元模型的頻率修正和振型修正，使修正后的結(jié)構(gòu)R有n階頻率和振型與損傷結(jié)構(gòu)的實(shí)測n階頻率和振型精確相等。修正后結(jié)構(gòu)的頻率為Λd，振型為Φd。若假定實(shí)際結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣和理論有限元分析一致，則對(duì)理論有限元模型修正后結(jié)構(gòu)的剛度矩陣為

Km為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣，必須滿足對(duì)稱性的要求，令

1.5 構(gòu)造優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣由單元?jiǎng)偠染仃嚲€性組合。α＝(α1，…，αi，…，αN)為組合系數(shù)。αi的取值在[01]。當(dāng)αi＝0，表示第i個(gè)單元完全損傷；當(dāng)αi＝1，表示第i個(gè)單元完好。為了求解組合系數(shù)α，構(gòu)造優(yōu)化函數(shù)，使式（17）的Km與損傷結(jié)構(gòu)剛度矩陣真值Kd的差值的Frobenius范數(shù)最小。損傷結(jié)構(gòu)的剛度矩陣Kd可表示為

令ε為Km和Kd之間的誤差函數(shù)，以誤差函數(shù)ε達(dá)到最小建立目標(biāo)函數(shù)：

約束條件為

ubi和tbi為αi的上下界限值，若能大概估計(jì)單元?jiǎng)偠染仃嚨淖兓秶?，則對(duì)αi的搜索范圍變小，減小計(jì)算量，對(duì)識(shí)別結(jié)果的精度也有提高。

1.6 算法終止條件

設(shè)α＝(α1，…，αi，…，αN)為滿足式（19）和式（20）的解，若下式成立：

式中：εd[]為誤差限值。由式（21）有

式中：為損傷結(jié)構(gòu)剛度矩陣Kd的一個(gè)最優(yōu)估計(jì)。若式（21）不成立，則令

將式（23）計(jì)算出來的K代回式（1）重新計(jì)算Φ和Λ，直至式（21）滿足或達(dá)到預(yù)設(shè)的循環(huán)次數(shù)退出迭代。以迭代循環(huán)次數(shù)中min(ε)對(duì)應(yīng)的α＝(α1，…，αi，…，αN)值作為損傷結(jié)構(gòu)剛度矩陣的最優(yōu)識(shí)別值，識(shí)別的損傷結(jié)構(gòu)剛度矩陣用式（22）計(jì)算。

2 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證上述算法的有效性，建立了一個(gè)十跨平面桁架的數(shù)值模型（圖1）。圖1中節(jié)點(diǎn)處數(shù)字表示節(jié)點(diǎn)編號(hào)，共20個(gè)節(jié)點(diǎn)；括號(hào)中數(shù)字表示桁架桿件單元編號(hào)，共37根桿件單元。該平面桁架結(jié)構(gòu)有36個(gè)自由度。表1給出了平面桁架結(jié)構(gòu)桿件的線剛度、線密度及單元桿件與x軸的夾角。

圖1 平面桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算模型Fig.1 The calculation model of plane truss structure

桁架結(jié)構(gòu)單元損傷通過折減單元線剛度來模擬，假定所有桿件均有不同程度的損傷，單元損傷參數(shù)如表2所示。通過測量結(jié)構(gòu)響應(yīng)，用隨機(jī)子空間［20］方法獲取損傷結(jié)構(gòu)前5階頻率及振型，頻率如表3所示，圖2為損傷結(jié)構(gòu)振型。算法誤差限值[εd]設(shè)為1，最大循環(huán)次數(shù)為500次，通過誤差限值[εd]和最大循環(huán)次數(shù)避免程序陷入死循環(huán)。若程序是由循環(huán)次數(shù)控制退出循環(huán)，在500次循環(huán)中，找出誤差值ε最小時(shí)對(duì)應(yīng)的識(shí)別剛度作為最終識(shí)別值。

在表2的損傷工況下，結(jié)構(gòu)頻率變化能達(dá)到10%左右，說明頻率對(duì)結(jié)構(gòu)損傷較為敏感。圖2給出了完好結(jié)構(gòu)和損傷結(jié)構(gòu)的前5階振型，從圖中可以看出，振型的變化率沒有頻率變化率明顯。表4給出了損傷結(jié)構(gòu)線剛度真值和識(shí)別值。從表4中可以看出，最大識(shí)別誤差不超過3%。

表1 桁架結(jié)構(gòu)材料參數(shù)和幾何參數(shù)Table 1 Material and geometrical properties of the truss

表2 結(jié)構(gòu)損傷工況Table 2 Damage case of the truss

表3 結(jié)構(gòu)自振頻率Table 3 The frequency of the truss

圖2 損傷結(jié)構(gòu)模態(tài)振型Fig.2 The mode shape of the damaged structure

表4 損傷結(jié)構(gòu)線剛度真值及識(shí)別值Table 4 True value and identification value of damaged structure linear stiffness

3 結(jié)論

本文提出了基于全量補(bǔ)償?shù)膿p傷識(shí)別方法，通過十跨桁架結(jié)構(gòu)驗(yàn)證了算法的有效性，并得到如下主要結(jié)論：

1）振型對(duì)損傷的敏感程度比頻率低，為保證結(jié)果的準(zhǔn)確性，結(jié)構(gòu)損傷達(dá)10%以上識(shí)別效果較好；

2）數(shù)值仿真假定了結(jié)構(gòu)所有桿件均有不同程度的損傷，識(shí)別的最大誤差不超過3%，表明算法對(duì)損傷桿件數(shù)目無限制；

3）對(duì)頻率和振型的修正采用的是矩陣?yán)碚撝袠?gòu)造特征值和特征向量的方法修正，在這過程中無誤差引入，因此，即使頻率和振型對(duì)損傷不太敏感也能取得較好的識(shí)別效果；

4）數(shù)值仿真僅利用了結(jié)構(gòu)的前5階頻率和振型，對(duì)于實(shí)際問題，結(jié)構(gòu)的前幾階頻率和振型比較容易獲取，且前幾階頻率和振型比較準(zhǔn)確；

5）算法對(duì)振型不要求歸一化處理，對(duì)于實(shí)際問題很難對(duì)振型進(jìn)行歸一化處理，因此，該方法具有較強(qiáng)的實(shí)際操作性。

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Damage identification of a structure based on the total compensation method

WANG Fenggang1，LING Xianzhang1，2，XU Xun1，ZHANG Feng1，ZHAO Yingying1
（1.Civil Engineering Department，Harbin Institute of Technology，Harbin 150090，China；2.State Key Laboratory of Frozen Soil Engineering，Cold and Arid Regions Environmental and Engineering Research Institute，China Academy of Sciences，Lanzhou 730000，China）

The frequency and vibration mode were the main modal parameters representing dynamic characteristics of structure，and the frequency and vibration mode of the damaged structure were studied in this paper.First，through measuring the frequency and vibration modes of the damaged structure，a correction theory of matrix was used was used to modify the finite element model，which was consistent with the frequency and vibration modes measured from the damaged structure.Secondly，the finite element model（FEM）of the revision theory can be expressed by a linear combination of the element stiffness matrix and the damage factor.The damage identification problem transformed into the solution of the combination coefficients.Next，the range of reasonable values of damage factors was given and the damage factors could be solved by the optimization method.Through the numerical simulation of a ten-span truss structure，the structural damage could be identified significantly by merely using frequencies and vibration modes of the first five orders.Furthermore，the method does not need to normalize the measured vibration modes，but has strong applicability.

compensation method；damage identification；frequency；vibration mode；modal parameter；damage factor；normalization

10.3969／j.issn.1006-7043.201308018

http：／／www.cnki.net／kcms／detail／23.1390.U.20141204.1513.001.html

TU435；TU317

A

1006-7043（2014）12-1519-05

2013-08-09.網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2014-12-04.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51174261，51078111）.

王鳳剛（1975-），男，博士研究生；凌賢長（1963-），男，教授，博士生導(dǎo)師.

王鳳剛，E-mail：wang_fenggang＠163.com.