鐘世萍 楊光俊

(云南大學(xué) 數(shù)學(xué)系，昆明 650091)

自相似性是分形幾何的一個(gè)基本特征，分形的自相似性是指分形的某一個(gè)局部在各個(gè)方向上按相同的比例放大后其形態(tài)和整體相似。無論怎樣壓縮尺度，這一局部總是存在更精細(xì)的結(jié)構(gòu)，并且其構(gòu)造總是與整體相似。自相似性的產(chǎn)生是由于分形的構(gòu)造過程可簡單地歸為“從初始元變?yōu)樯稍钡倪^程，那么當(dāng)壓縮是相似壓縮時(shí)，得到的分形就具有自相似性。用解釋的語言來說，就是迭代函數(shù)系 (IFS)。Huchinson［1－2］中對此已經(jīng)做了詳細(xì)闡述。

Kiko Kawamura［3］考慮了兩個(gè)自相似壓縮所得到的二－自相似集的一種分類，并且給出了很多相關(guān)性質(zhì)。當(dāng)三個(gè)自相似壓縮的系數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，很多學(xué)者考慮其相關(guān)的性質(zhì)，詳細(xì)見文獻(xiàn) ［4－12］。

本文從泛函方程的角度上，考慮三個(gè)自相似壓縮所得到的三－自相似集，根據(jù)三個(gè)自相似壓縮取共軛的個(gè)數(shù)，給出三－自相似集的一種分類，并利用小數(shù)進(jìn)位制展開的方法，得到各種情形的一種解析表達(dá)。

1 三－自相似集的一種分類

定義1 集合X為三 -自相似集，當(dāng)且僅當(dāng)非空緊集X?C滿足

X= ψ1(X)∪ ψ2(X)∪ ψ3(X)，

其中ψ1，ψ2，ψ3是復(fù)數(shù)C上的相似壓縮。

相似壓縮的定義如下:

設(shè)一個(gè)映射ψ:Rn→Rn是相似壓縮［13］當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)L(ψ)∈(0，1)，使得

根據(jù)三個(gè)自相似壓縮取共軛的個(gè)數(shù)，三－自相似集主要可以分成以下四種不同情況。第一種情況是三個(gè)都不取共軛;第二種是三個(gè)都取共軛;第三種是三個(gè)中有二個(gè)取共軛;第四種是三個(gè)中有一個(gè)取共軛。在這里，為了研究方便，在考慮三個(gè)取二個(gè)共軛時(shí)，我們只考慮第一和第三個(gè)取共軛;在考慮三個(gè)取一個(gè)共軛時(shí)，我們只考慮第二個(gè)取共軛。具體如下:

其中復(fù)參數(shù)α，β滿足|α|＜1，|β-α|＜1，|β|＜1。

現(xiàn)在，我們引入下列四個(gè)泛函方程。

將上述四個(gè)泛函方程 (5)～(8)分別等價(jià)于下列泛函方程。

我們注意到 H．Okamoto 和 M．Wunsch［4－5］研究了下列泛函方程

其中 ψ1，ψ2，ψ3滿足式(1)。

Okamoto注意到，F(xiàn)α，β(x)在區(qū)間上［0，1］上連續(xù)，且當(dāng)α，β取不同的值時(shí)，F(xiàn)α，β(x)可以與一些著名的函數(shù)聯(lián)系起來。比如說，當(dāng)和時(shí)，F(xiàn)α，β(x)分別是 Perkins［7］和 Bourbaki［8］定義的處處不可微函數(shù)(如圖1和圖2示)。同時(shí)，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)α，β(x)是 Cantor－ Lebesgue奇異函數(shù)(如圖3示)。

圖1 perkins函數(shù)

圖2 Bourbaki函數(shù)

圖3 Cantor－Lebesgue函數(shù)

設(shè) x∈［0，1］，將［0，1］之間的數(shù)用0px1x2…xk…(xk∈ {0，1，2，…，p-1})的形式表示出來就叫做 x的p進(jìn)位表示。事實(shí)上，所謂p進(jìn)位小數(shù)展開就是將x∈［0，1］表示成級數(shù)形式，即

其中，p稱為小數(shù)進(jìn)位制的“基”，x的第k位小數(shù)xk為該基上的展開系數(shù)。

例如，當(dāng)p=3時(shí)，x的3進(jìn)位寫成級數(shù)形式為

其中，xk∈ {0，1，2}。

我們記:αR是α的實(shí)部，αⅠ是α的虛部。類似地，記βR和βⅠ分別為β的實(shí)部和虛部。pn=#{xi=0:i=

引理 1 設(shè) xi，xi'∈ {0，1，2}，i=1，2，…，n。

(1)當(dāng) x1'=0，xi'=xi-1，i≥2 時(shí)，

(2)當(dāng) x1'=1，xi'=xi-1，i≥2 時(shí)，

(3)當(dāng) x1'=2，xi'=xi-1，i≥2 時(shí)，

證明:(1)當(dāng)i=1 時(shí)，則x1'=0，p1'=1;當(dāng)i≥2 時(shí)，則pi'=#{xk'=0:k=1，2，…，i}=1+#{xk-1=0:k=2，3，…，i}=1+#{xk=0:k=1，3，…，i-1}=1+pi-1。其余 pi'，ri'，γi'的定義即可得到。(2)、(3)類似可證。

定理2 滿足泛函方程(5)的解是唯一的，并且是有界的，其解析解可以寫為

對于第二個(gè)方程，根據(jù)引理1(2)，類擬有

對于第三個(gè)方程，根據(jù)引理1(3)，類擬有

接下來，我們來證明唯一性。設(shè)B(Ⅰ)為定義在區(qū)間Ⅰ實(shí)有界函數(shù)所組成的Bananch空間，其范數(shù)為。設(shè)

T:B(Ⅰ)→ Ⅰ，g → T(g)，

其中T(g)滿足

因此，T是壓縮因子為c:=max{α，β-α，1-β}的壓縮映射。事實(shí)上，我們記hi:=T(gi)，?qi∈B(Ⅰ)，i=1，2，我們?nèi)菀子?jì)算有

根據(jù)壓縮映射原理知，T在Ⅰ上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。因此，我們有唯一的有界解(x)滿足此泛函方程。

我們考慮滿足泛函方程(7)的一種解析表達(dá)式。

因此，我們得到下面定理。

定理3 滿足泛函方程 (7)的解是唯一的，并且是有界的，其解析解可以寫為

采用類似的方法，我們也能得到G4α，β(x)的解析表達(dá)式。

定理4 滿足泛函方程 (8)存在唯一的，并且是有界的，其解析解可以寫為

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