王志浩，胡永輝，侯雷，吳華兵，葛君霞

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二次多項(xiàng)式模型和灰色理論模型在接收機(jī)鐘差預(yù)報(bào)中的應(yīng)用和比較

王志浩1,2,3，胡永輝1,2，侯雷1,2，吳華兵1,2,3，葛君霞1,2,3

（1. 中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心，西安 710600；2. 中國(guó)科學(xué)院精密導(dǎo)航定位與定時(shí)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710600；3. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

為了更好地對(duì)接收機(jī)鐘差作科學(xué)、準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，基于實(shí)驗(yàn)室解算出的接收機(jī)鐘差數(shù)據(jù), 分別采用二次多項(xiàng)式模型和灰色理論模型對(duì)接收機(jī)鐘差進(jìn)行了預(yù)報(bào)和分析。預(yù)報(bào)結(jié)果及其比較表明，對(duì)于需要用少量接收機(jī)鐘差數(shù)據(jù)建立預(yù)報(bào)模型時(shí)，灰色理論模型預(yù)報(bào)不論是單點(diǎn)預(yù)報(bào)還是多點(diǎn)（30個(gè)點(diǎn)）預(yù)報(bào)，其預(yù)報(bào)精度都優(yōu)于二次多項(xiàng)式預(yù)報(bào)模型，可以在實(shí)際工作中應(yīng)用。

接收機(jī)鐘差；二次多項(xiàng)式模型；灰色理論模型

0 引言

根據(jù)衛(wèi)星導(dǎo)航定位理論，接收機(jī)同時(shí)觀測(cè)4顆以上的導(dǎo)航定位衛(wèi)星，可以實(shí)現(xiàn)定位，并且可以解算出接收機(jī)的鐘差。當(dāng)接收機(jī)在城市街道、高樓附近或者森林等遮擋物較多的環(huán)境工作時(shí)，由于衛(wèi)星信號(hào)被遮擋，接收機(jī)短時(shí)間內(nèi)能收到的衛(wèi)星數(shù)可能少于4顆。在僅收到3顆衛(wèi)星信號(hào)時(shí)，可以將接收機(jī)鐘差模型預(yù)測(cè)出的下一時(shí)刻鐘差當(dāng)成一個(gè)已知參數(shù)，再根據(jù)偽距觀測(cè)方程進(jìn)行接收機(jī)的輔助定位。此外，接收機(jī)鐘差預(yù)報(bào)在接收機(jī)完備性檢測(cè)、弱信號(hào)環(huán)境下信號(hào)的快速捕獲等方面均有十分重要的意義。

目前接收機(jī)鐘差預(yù)報(bào)方法主要以多項(xiàng)式模型及其改進(jìn)模型為主。文獻(xiàn)[1]提出采用滑動(dòng)窗的方式建立參數(shù)實(shí)時(shí)更新的接收機(jī)鐘差改進(jìn)模型，即對(duì)擬合所用的采樣數(shù)據(jù)集設(shè)置一定長(zhǎng)度，同時(shí)把新的采樣數(shù)據(jù)引入擬合模型，并剔除最舊數(shù)據(jù)，然后重新估計(jì)模型參數(shù)再用于預(yù)報(bào)，從而建立參數(shù)實(shí)時(shí)更新的鐘差模型；文獻(xiàn)[2]針對(duì)最小二乘鐘差預(yù)報(bào)算法會(huì)造成數(shù)據(jù)飽和的不足，將遺忘因子引入最小二乘預(yù)報(bào)算法，減弱了老數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)報(bào)值的影響，防止了數(shù)據(jù)飽和；文獻(xiàn)[3]針對(duì)GPS/INS深組合系統(tǒng)中GPS接收機(jī)誤差狀態(tài)模型難以確定的問(wèn)題，提出一種自適應(yīng)的時(shí)鐘誤差模型，該模型可以根據(jù)GPS接收機(jī)鐘差的變化規(guī)律而自適應(yīng)地調(diào)節(jié)模型參數(shù)。

灰色系統(tǒng)是指部分信息已知、部分信息未知的系統(tǒng)?；疑到y(tǒng)理論以“部分信息已知，部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”的不確定系統(tǒng)為研究對(duì)象，通過(guò)對(duì)“部分”已知信息的生成、開(kāi)發(fā)，提取有價(jià)值的信息，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行行為的正確認(rèn)識(shí)和有效控制。灰色預(yù)報(bào)基于人們對(duì)系統(tǒng)演化不確定性特征的認(rèn)識(shí)，運(yùn)用序列算子對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行生成、處理，挖掘系統(tǒng)演化規(guī)律，建立灰色系統(tǒng)模型，對(duì)系統(tǒng)的未來(lái)狀態(tài)做出科學(xué)的定量預(yù)報(bào)[4]。

解算出的接收機(jī)的鐘差變化受到各種因素的影響，除衛(wèi)星坐標(biāo)誤差、對(duì)流層延遲以及電離層延遲等因素外，接收機(jī)鐘差變化還與其內(nèi)部的晶體振蕩器有關(guān)。無(wú)論是星載鐘、地面原子鐘還是普通晶體振蕩器，都是非常敏感的，極易受到外界環(huán)境及自身因素的影響，很難掌握其復(fù)雜細(xì)致的變化規(guī)律，因此可將鐘差的變化視為灰色系統(tǒng)[5]。

近年來(lái)隨著灰色理論的發(fā)展，對(duì)于衛(wèi)星鐘差和接收機(jī)鐘差的處理越來(lái)越多地使用灰色理論。文獻(xiàn)[6] 對(duì)灰色理論的鐘差模型詳述了病態(tài)矩陣與判別方法，并對(duì)鐘差預(yù)報(bào)模型的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[5]采用了灰色系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的混合模型來(lái)實(shí)現(xiàn)星載鐘差的預(yù)報(bào)。

本文通過(guò)采用實(shí)驗(yàn)室解算出的接收機(jī)鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，根據(jù)二次多項(xiàng)式模型和灰色理論模型，對(duì)接收機(jī)鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)和分析比較。

1 接收機(jī)鐘差的求解

衛(wèi)星導(dǎo)航定位理論中，偽距觀測(cè)方程式為

由式（2）可以看出，求得的GPS接收機(jī)的鐘差精度水平主要取決于接收機(jī)的偽距測(cè)量精度、接收機(jī)的坐標(biāo)精度、衛(wèi)星的位置精度、衛(wèi)星鐘差的精度、對(duì)流層延遲改正以及電離層延遲改正的精度等。

接收機(jī)的鐘差一般與位置信息一并解算，故認(rèn)為各觀測(cè)瞬間的接收機(jī)的鐘差是相互獨(dú)立的，因此可以根據(jù)以往測(cè)得的接收機(jī)鐘差數(shù)據(jù)建立相應(yīng)的鐘差模型，得到未來(lái)某個(gè)時(shí)刻的鐘差數(shù)據(jù)。

2 接收機(jī)鐘差模型的建立

2.1 二次多項(xiàng)式模型的建立

二次多項(xiàng)式模型是用二次多項(xiàng)式作為擬合的目標(biāo)函數(shù)，對(duì)接收機(jī)的原始鐘差進(jìn)行建模：

我們可以直接套用矩陣方程的最小二乘法解的公式，得到方程（4）的最小二乘法解為

利用該模型求得的未來(lái)任意時(shí)刻的鐘差數(shù)值為

2.2 灰色理論模型的建立

對(duì)接收機(jī)的原始鐘差序列進(jìn)行建模時(shí)，必須保證鐘差序列中符號(hào)保持一致[7]，若不一致，需要給每個(gè)元素都加上一個(gè)常數(shù)。在此基礎(chǔ)上才可以建立鐘差灰色理論模型，完成最后解算過(guò)程后重新減去此常數(shù)即可得到預(yù)報(bào)的鐘差數(shù)據(jù)。

對(duì)式（9）進(jìn)行展開(kāi)，得到：

將式（10）寫為矩陣形式，得

式（14）的離散形式為

將式（15）代入式（16）中，化簡(jiǎn)得到：

3 預(yù)報(bào)和分析

為驗(yàn)證上述兩種模型的可行性，本文采用實(shí)驗(yàn)室解算出的接收機(jī)鐘差數(shù)據(jù)作為實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)分析。為了在預(yù)報(bào)過(guò)程中保證模型參數(shù)的可靠性，同時(shí)考慮到接收機(jī)實(shí)際應(yīng)用中存儲(chǔ)數(shù)據(jù)量不會(huì)太多，一般只存儲(chǔ)大約幾十個(gè)到幾百個(gè)接收機(jī)鐘差值，因此本文采用60個(gè)鐘差數(shù)據(jù)（每秒1個(gè)數(shù)據(jù)，起始時(shí)間段為：2013年9月29日08:00:00至08:01:00）建立鐘差模型，采用滑動(dòng)的形式不斷剔除最前面的舊數(shù)據(jù)，同時(shí)引入新的接收機(jī)鐘差數(shù)據(jù)。在本文中，單點(diǎn)預(yù)報(bào)為每次預(yù)報(bào)下一秒的接收機(jī)鐘差（預(yù)報(bào)時(shí)間段為：2013年9月29日08:01:01至08:45:00）；多點(diǎn)預(yù)報(bào)為每次預(yù)報(bào)隨后30s的30個(gè)接收機(jī)鐘差（預(yù)報(bào)時(shí)間段為：2013年9月29日08:01:01至08:45:00）。

二次多項(xiàng)式模型單點(diǎn)預(yù)報(bào)結(jié)果及其與實(shí)測(cè)值之差分別如圖1和圖2所示，灰色理論模型單點(diǎn)預(yù)報(bào)結(jié)果及其與實(shí)測(cè)值之差分別如圖3和圖4所示。

圖1 二次多項(xiàng)式模型預(yù)報(bào)的鐘差（單點(diǎn)預(yù)報(bào)）

圖2 二次多項(xiàng)式模型預(yù)報(bào)的鐘差值與實(shí)測(cè)值之差（單點(diǎn)預(yù)報(bào)）

圖3 灰色理論模型預(yù)報(bào)的鐘差（單點(diǎn)預(yù)報(bào)）

圖4 灰色理論模型預(yù)報(bào)的鐘差值與實(shí)測(cè)值之差（單點(diǎn)預(yù)報(bào)）

二次多項(xiàng)式模型多點(diǎn)預(yù)報(bào)結(jié)果及其與實(shí)測(cè)值之差分別如圖5和圖6所示，灰色理論模型多點(diǎn)預(yù)報(bào)結(jié)果及其與實(shí)測(cè)值之差分別如圖7和圖8所示。

圖5 二次多項(xiàng)式模型預(yù)報(bào)的鐘差（多點(diǎn)預(yù)報(bào)）

圖6 二次多項(xiàng)式模型預(yù)報(bào)的鐘差值與實(shí)測(cè)值之差（多點(diǎn)預(yù)報(bào)）

圖7 灰色理論模型預(yù)報(bào)的鐘差（多點(diǎn)預(yù)報(bào)）

圖8 灰色理論模型預(yù)報(bào)的鐘差值與實(shí)測(cè)值之差（多點(diǎn)預(yù)報(bào)）

對(duì)于分別采用二次多項(xiàng)式模型和灰色理論模型進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)所得到的預(yù)報(bào)值與實(shí)測(cè)值之間的差值，它們的最大值、最小值、平均值和均方根值列于表1。

表1 鐘差預(yù)報(bào)值與實(shí)測(cè)值之差的最大值、最小值、平均值和均方根值 ns

采用二次多項(xiàng)式模型進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)的特點(diǎn)是方法比較簡(jiǎn)單，計(jì)算步驟較少。由表1可見(jiàn)，二次多項(xiàng)式模型單點(diǎn)預(yù)報(bào)時(shí)預(yù)報(bào)值與實(shí)測(cè)值之差的均方根值為2.2984ns，效果較好；但在多點(diǎn)預(yù)報(bào)中，此均方根值上升，為3.8165ns。灰色理論模型更能反映由不確定因素引起的鐘差變化，其計(jì)算步驟也不繁瑣。表1表明，灰色理論模型單點(diǎn)預(yù)報(bào)時(shí)和多點(diǎn)預(yù)報(bào)時(shí)預(yù)報(bào)值與實(shí)測(cè)值之差的均方根值分別為2.2196ns和2.4202ns。不論是單點(diǎn)預(yù)報(bào)還是多點(diǎn)預(yù)報(bào)，灰色理論模型的預(yù)報(bào)誤差均小于二次多項(xiàng)式模型的預(yù)報(bào)誤差。由此表明，灰色理論模型預(yù)報(bào)值比二次多項(xiàng)式模型預(yù)報(bào)值更貼近實(shí)測(cè)值。

4 結(jié)語(yǔ)

在實(shí)際接收機(jī)使用中，當(dāng)接收機(jī)時(shí)鐘頻率保持穩(wěn)定時(shí)，可以根據(jù)近期接收機(jī)鐘差的數(shù)據(jù)建立模型并預(yù)報(bào)后續(xù)時(shí)刻的接收機(jī)鐘差。當(dāng)需要基于少量接收機(jī)鐘差數(shù)據(jù)建立鐘差預(yù)報(bào)模型并進(jìn)行預(yù)報(bào)時(shí)，灰色理論模型預(yù)報(bào)精度無(wú)論是單點(diǎn)預(yù)報(bào)還是多點(diǎn)預(yù)報(bào)都優(yōu)于二次多項(xiàng)式預(yù)報(bào)模型。因此，灰色理論預(yù)報(bào)模型更適用于基于少量接收機(jī)鐘差數(shù)據(jù)的鐘差預(yù)報(bào)，可以應(yīng)用在實(shí)際工作中。

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Application and comparison of quadratic polynomial modeland grey theory model in prediction of receiver clock bias

WANG Zhi-hao1,2,3, HU Yong-hui1,2, HOU Lei1,2, WU Hua-bing1,2,3, GE Jun-xia1,2,3

(1.National Time Service Center, Chinese Academy of Sciences, Xi′an 710600, China;2. Key Laboratory of Precision Navigation and Timing Technology, National Time Service Center,Chinese Academy of Sciences, Xi′an 710600, China;3. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

In order to make a more scientific and accurate prediction of the receiver clock bias, we adopted the quadratic polynomial model and the grey theory model respectively to predict and analyze the receiver clock bias based on the calculated clock bias data obtained from the laboratory. The prediction and comparison show that in case of needing establishing the prediction model with a small amount of receiver clock bias data, the forecast precision of grey theory model is better than that of quadratic polynomial model, for both of single point prediction and multipoint (30 points) prediction, and the grey theory model can be used in practical work.

receiver clock bias; quadratic polynomial model; grey theory model

P228

A

1674-0637(2014)03-0157-07

10.13875/j.issn.1674-0637.2014-03-0157-07

2013-09-04

中國(guó)科學(xué)院“西部之光”人才培養(yǎng)計(jì)劃重點(diǎn)資助項(xiàng)目（2009ZD02）

王志浩，男，碩士，主要從事GNSS接收機(jī)的研究設(shè)計(jì)。