汪慧玲

(咸寧職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北 咸寧 437100)

引 言

隨著科技的發(fā)展，機(jī)器人時代到來了。機(jī)器人的工作效率的提高與機(jī)器人行走時如何避開障礙物，選擇最短路徑緊密相關(guān)。給出如下場景：除了障礙物以外指定一點為機(jī)器人要到達(dá)的目標(biāo)點，其中障礙物與目標(biāo)點的距離至少超過L個單位。同時機(jī)器人的行走路徑由圓弧和直線段組成，其中機(jī)器人轉(zhuǎn)彎時走的是圓弧，因為不能走折線轉(zhuǎn)彎，所以轉(zhuǎn)彎時由直線和與其相切的一段圓弧構(gòu)成，也可以由多個相切的圓弧相連接組成，但每個圓弧的半徑最小為l個單位。機(jī)器人在行走時，與障礙物之間的距離至少為l個單位，否則發(fā)生碰撞，一旦發(fā)生碰撞，機(jī)器人就不能完成正常行走。針對這個具體問題，筆者進(jìn)行了一些探討。

一、機(jī)器人轉(zhuǎn)彎時，沿最小半徑的圓的切線走才為最短路徑

1.猜想：如圖1

圖1

用MATLAB數(shù)學(xué)軟件擬合得到圖形2

圖2

2.機(jī)器人避障問題實例分析1：O→A的最短路徑求解

如圖3(簡化圖形)，以P(80,210)的圓心，l=10個單位為半徑做圓，點P是正方形的左上頂點，A(300，300).做圓P的切線OE與圓P相交于點E(x1,y1)，做圓P的切線AF與圓P相交于點F(x2,y2)。

圖3

利用簡單的幾何知識可列出以下等式：

通過MATLAB求解得出

解得直線AF的解析式為y=0.36x+191.76

起點坐標(biāo)終點坐標(biāo)路徑長度線段一(0,0)(70.51,213.14)224.50弧長一(70.51,213.14)(76.61,219.41)9.05線段二(76.61,219.41)(300,300)237.49

所以總的路徑長為224.50+9.05+237.49=471.04。則編號為6的三角形的右下頂點到線段AF的最短距離為22.06可以通過，EF的弧長為9.05，線段OE的長為224.50，線段AF的長為237.49。則點O運(yùn)動到點A的路徑長為471.04。

二、機(jī)器人從一點出發(fā)經(jīng)過某一點到達(dá)另外一點的最短路徑

1.機(jī)器人由A點出發(fā)經(jīng)過M點后再到B點，因為機(jī)器人不可以走折線，經(jīng)過M點時候,使M點位于半徑為 的動圓的圓周上變動，如圖4

圖4

通過建立一個非線性規(guī)劃模型，可以求出變動圓的圓心c(xc,yc)為：

2.機(jī)器人避障問題實例分析2：求O→A→B→C→O的最短路徑的求解，

根據(jù)以上對從一點出發(fā)經(jīng)過某一點到達(dá)另外一點的最短路徑的求證，可以作出機(jī)器人行走的路徑方式，每個經(jīng)過的中間點都位于以10個單位為半徑的圓周上。

類似實例一的計算方法，結(jié)合以上非線性規(guī)劃模型，可以得到每一段直線和相應(yīng)的圓弧的長度，從而得到機(jī)器人行走的最短路徑。詳細(xì)數(shù)據(jù)列舉如下

起點坐標(biāo)終點坐標(biāo)路線長度直線一(0,0)(69.96,207.73)224.5圓弧一(69.96,207.73)(69.91,211.87)9.54直線二(69.91,211.87)(76.07,219.75)236.36圓弧二(76.07,219.75)(300.07,300.07)14.34

總的路徑長為2828.18，因此O→A→B→C→O的最短路徑長為2715.12.

三、結(jié)論

本文主要是在直線與圓相切而銜接的結(jié)構(gòu)中，通過MATLAB數(shù)學(xué)軟件作圖證明得出機(jī)器人轉(zhuǎn)彎時，沿最小半徑的圓的切線走才為最短路徑。利用解析幾何的知識求出各個切點的坐標(biāo)，結(jié)合兩點之間的距離公式以及弧長公式分別算出線段和圓弧的長度，從而求得機(jī)器人避開障礙物由起點行走到另外一點的最短路徑。針對機(jī)器人由起點行走經(jīng)過途中若干個指定點最后到達(dá)終點的情況，在動圓半徑不變的情況下，為了求的最短路徑，建立了非線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型求解。都通過MATLAB數(shù)學(xué)軟件計算，給計算帶來了快速便捷。試想將機(jī)器人在平面場景中行走的問題拓展到空間區(qū)域中。

參考文獻(xiàn)：

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