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        基于COMSOL Multiphysics求解KdV方程

        2014-06-17 05:55:40糜凱華
        關(guān)鍵詞:有限元法三階方程組

        糜凱華

        (昆明理工大學(xué) 電力工程學(xué)院,云南 昆明 650500)

        很多物理現(xiàn)象都可以抽象成數(shù)學(xué)模型,建立起相應(yīng)的偏微分方程即數(shù)學(xué)物理方程.然后對(duì)這些偏微分方程組求解得到真實(shí)世界的描述.Korteweg-deVires方程式由Korteweg和Vires于1895年對(duì)水波建模得到的,方程不考慮消耗并且波是永遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)的.孤立波是一種傳播過程中形狀、幅度和速度都保持不變的脈沖行波.它有內(nèi)似粒子的性質(zhì),也叫孤立子.從物理學(xué)的觀點(diǎn)看,孤立波是物質(zhì)非線性效應(yīng)的一種特殊產(chǎn)物,而從數(shù)學(xué)上看,它是某些非線性偏微分方程的一類穩(wěn)定的、能量有限的非彌散解.孤立波在相互碰撞后,仍能保持各自的形狀和速度不變.不僅在淺水波中有孤立波現(xiàn)象,在光纖通信、金屬相變和神經(jīng)傳播等許多領(lǐng)域都有孤立波現(xiàn)象,即某種現(xiàn)象或信息以幾乎恒定的脈沖形態(tài)傳播.由于其具有這種特殊的性質(zhì),所以在等離子物理學(xué)、高能電磁學(xué)、流體力學(xué)和非線性光學(xué)等領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用.由于非線性科研的發(fā)展,求解非線性方程的方法層出不窮,如:有限元法[1]、影射法[2]、非線性變換法[3]、同倫分析法[4]、雙Jacobi橢圓函數(shù)展開法[5]、齊次平衡法[6]、試探函數(shù)法[7].而COMSOL Multiphysics的優(yōu)點(diǎn)是求解偏微分方程或方程組,本文利用基于有限單元法的COMSOL Multiphysics有限元軟件對(duì)KdV方程進(jìn)行數(shù)值求解.

        1 KdV方程及仿真模型的建立

        1.1 KdV方程的建立

        本文研究的KdV方程由Korteweg和他的學(xué)生deVires于1895年對(duì)水波建模得到.KdV方程經(jīng)過變換可得到各種不同的形式.為了方便,本文取KdV方程表達(dá)式為

        此KdV方程是一個(gè)典型的一維三階偏微分方程.假設(shè)該孤立波在Ω=[ ]-8,+8的范圍內(nèi)周期性變化,其表達(dá)式為

        初始條件的表達(dá)式為

        以上三式即構(gòu)成一個(gè)初邊值問題.式(1)的解析解為

        將初始條件式(3)與式(4)比較,可知兩式并不一致.因此,就會(huì)在初始時(shí)刻產(chǎn)生兩個(gè)迭加在一起的不同振幅和速度的孤立波.

        1.2 仿真模型的建立

        根據(jù)上述所建立的KdV方程,采用基于有限單元法的COMSOL Multiphysics軟件建立有限元模型,其控制方程(也即物理場(chǎng))選擇Δu數(shù)學(xué)模塊中Δu偏微分方程接口.因通常情況下,常見的有限元軟件只能計(jì)算二階偏微分方程或偏微分方程組,在COMSOL Multiphysics中,常規(guī)的應(yīng)用也是二階方程表述的模式.所以如何求解高階偏微分方程是一個(gè)很棘手的問題.值得注意的是COMSOL Multiphysics軟件具有強(qiáng)耦合[8]的計(jì)算功能,可以為高階偏微分方程提供一種合理的求解方法.

        對(duì)于我們所研究的三階KdV方程,可以向方程中引入一些中間變量,通過變量代換的方式進(jìn)行降階,從一個(gè)三階方程降階得到一組存在耦合關(guān)系的二階偏微分方程組,減少三階偏微分方程求解的難度.為此,在選擇控制方程時(shí)需要輸入因變量個(gè)數(shù)為2,分別定義為u1和u2,并令中間變量u2=uxx,然后將u改為u1,即將所建立的KdV方程修改為一個(gè)偏微分方程組相應(yīng)的初始條件也變?yōu)槿缦路匠探M

        周期性邊界條件變?yōu)槿缦卤磉_(dá)式為

        1.3 幾何模型和有限元模型

        所研究的問題屬于一維情況,故在COM?SOL Multiphysics中建立的幾何模型即是KdV方程中求解域Ω=[ ]-8,+8表示的一條線段.為了降低計(jì)算機(jī)的計(jì)算成本,加快模型的求解速度,同時(shí)也保證有一定的精度,劃分求解域的最大單元尺寸為0.1,單元的劃分總數(shù)為160個(gè)單元,其幾何模型和有限元網(wǎng)格如圖1和圖2所示.

        圖1 KdV方程的幾何模型

        圖2 KdV方程的有限元模型

        1.4 初始條件和邊界條件的設(shè)定

        在COMSOL Multiphysics中直接將KdV方程的初始值式(6)輸入初始值對(duì)話框.而周期性邊界條件則需要選擇幾何模型中線段的兩個(gè)端點(diǎn),該條件保證兩端邊界解的連續(xù)性.所設(shè)置的初始值和周期性邊界條件對(duì)應(yīng)于上述推導(dǎo)得到的新的KdV偏微分方程組和定解條件,分別如式(5)、式(6)和式(7)所示.其控制方程描述如下:

        2 數(shù)值結(jié)果與分析

        通過上述所建立的有限元模型,在設(shè)定瞬態(tài)求解器的求解時(shí)間范圍為0~2 s,時(shí)間間隔為0.025 s的條件下進(jìn)行全局計(jì)算.通過求解,得到指定時(shí)間段內(nèi)的波形分布,如圖 3所示,分別表示第 0.0 s、0.3 s、0.7 s、1.1 s和1.2 s時(shí)的波形.為了更全面地了解碰撞過程,將所有時(shí)刻的波形分布用三維圖的形式表示,如圖4所示.

        此外,為了更為清晰地分析數(shù)值模擬得出的孤立波傳播特性是否與行波解所表達(dá)的物理意義相符.本文另取孤立波的形式為

        周期性邊界條件與式(2)一樣.式(9)的孤波解為

        圖3 孤立波在時(shí)間t=0 s、0.3 s、0.7 s、1.1 s、1.2 s的分布

        式中c和x0是由初始條件決定的常數(shù),x0為孤波的初始位置,為傳播速度.

        從圖3可以清晰地看出:兩個(gè)不同速度和振幅的孤子相互碰撞,相互穿過,相互之間沒有影響.而且該孤立波不會(huì)發(fā)生消散.孤立波向右傳播過程中,大波追趕小波,從而引起碰撞.

        從圖4可以看出:孤立子在一定的空間內(nèi)會(huì)發(fā)生碰撞和重現(xiàn),兩個(gè)迭加在一起的孤立波以不同的速度傳播,速度快的波穿越速度慢的波.

        從圖5和圖6的比較中可發(fā)現(xiàn),圖5中孤立波的傳播速度小于圖6,即c越大,移動(dòng)速度越快,波高越大,但寬度越窄.顯然這和行波解表達(dá)的物理意義是相符的,即波高為c 2,波寬反比于.由此不難發(fā)現(xiàn)本文對(duì)KdV方程的數(shù)值模擬方法是正確的.

        圖4 孤立波波形在所有時(shí)刻的三維表示

        3 結(jié)論

        本文針對(duì)一類三階KdV方程通過基于有限元法的COM?SOL Multiphysics軟件進(jìn)行求解,從數(shù)值計(jì)算結(jié)果可仿真模擬出孤立波的傳播特性.有限單元法在求解偏微分方程中已有廣泛的應(yīng)用,傳統(tǒng)方法都是建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行精確求解,計(jì)算量大而且比較復(fù)雜.相比之下采用有限元法進(jìn)行數(shù)值求解可以在很大程度上提高科研的效率,節(jié)省大量的人力、物力.對(duì)于高階偏微分方程在COMSOL Multiphysics軟件中很容易通過變量代換進(jìn)行降階的方式來求解.通過對(duì)孤立波的數(shù)值模型仿真分析證實(shí)本文的數(shù)值模擬方法是有效的.

        圖5 孤立波在時(shí)間t=0.0 s、0.4 s的分布

        圖6 孤立波在時(shí)間t=0.0 s、0.4 s的分布

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