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        矩陣的中心化子及其維數(shù)

        2014-06-17 05:55:36夏衛(wèi)東吳月柱
        關(guān)鍵詞:方陣復(fù)數(shù)維數(shù)

        夏衛(wèi)東,吳月柱

        (常熟理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,江蘇 常熟 215500)

        1 引言

        Mn(C)表示復(fù)數(shù)域C上所有n×n矩陣的全體.Mn(C)對(duì)數(shù)與矩陣的乘法及矩陣的乘法構(gòu)成線性空間.

        定義1.1 給定一個(gè)n階方陣A,稱(chēng)C(A)={B ∈Mn(C)BA=AB} 為矩陣 A 的中心化子.

        容易驗(yàn)證,C(A)是Mn(C)的一個(gè)子空間.本文將確定C(A),給出C(A)的基及維數(shù).

        矩陣的中心化子是有趣的問(wèn)題,它不僅與古典矩陣對(duì)的相似標(biāo)準(zhǔn)形問(wèn)題密切相關(guān)[1-3],而且在表示論中起著非常重要的作用.在文獻(xiàn)[3]中,作者利用Weyr矩陣得到了矩陣中心化子的基底及其維數(shù).本文將在第二節(jié)給出Jordan矩陣中心化子的基及維數(shù),在第三節(jié)利用相似變換確定一般方陣的中心化子及其維數(shù).

        首先回憶Jordan塊及Jordan矩陣的定義.

        定義2.1 形如的矩陣稱(chēng)為Jordan塊,其中λ是復(fù)數(shù).

        定義2.2 由若干個(gè)Jordan塊組成的準(zhǔn)對(duì)角矩陣稱(chēng)為Jordan矩陣,即形如的矩陣,其中為Jordan塊.

        為確定Jordan矩陣的中心化子及其維數(shù),需要下面的兩個(gè)引理.

        2 Jordan矩陣的中心化子及其維數(shù)

        引理2.3 設(shè)Jn為n階Jordan塊,則

        進(jìn)而dim C(Jn)=n.

        證明設(shè) A=(aij)為與Jn交換的任意n階方陣,即 A Jn=JnA.

        計(jì)算可得

        上式中對(duì)應(yīng)的元素相等,可得:

        引理2.4 設(shè)Jn、Jm為兩個(gè)Jordan塊,A為m×n矩陣.令S={A-A Jn=JmA}. 則dim S=min{m ,n}.更確切地,

        (1)若 m

        進(jìn)而dim S=m.

        (2)若 m>n,則

        證明設(shè)A=()aijm×n為滿(mǎn)足 A Jn=JmA 的矩陣

        (1)當(dāng)m

        計(jì)算可得

        上式中對(duì)應(yīng)的元素相等,可得:

        容易驗(yàn)證 β1(m,n),β2(m,n),…,βn(m,n)是S的一組基.所以dim S=m.

        (2)當(dāng)m>n 時(shí),由 Am×nJn=JmAm×n,可得

        計(jì)算可得

        上式中對(duì)應(yīng)的元素相等,可得:

        因此

        記容易驗(yàn)證 γ1(m,n),γ2(m,n),…,γn(m,n)是S的一組基.所以dim S=n.

        綜上所述,dim S=min{m,n.}

        定理2.5 設(shè)為Jordan矩陣.則

        證明設(shè)與J交換.由 XJ=JX,得

        上式中對(duì)應(yīng)的子塊相等,可得

        下面分情況確定滿(mǎn)足(*)式的Xij.

        當(dāng)i>j,此時(shí) ki

        當(dāng)ikj.由引理2.4得

        3 方陣的中心化子及其維數(shù)

        定義3.1 設(shè) A ,B為n階矩陣,如果存在n階可逆矩陣P,使得P-1AP=B,則稱(chēng) A 與B相似,記為A~B.

        眾所周知,復(fù)數(shù)域C上任一方陣A都與一個(gè)Jordan矩陣相似.本節(jié)將確定復(fù)數(shù)域上任意方陣的中心化子及其維數(shù),為此需要下面的引理.

        引理3.2 若 A,B相似,即存在可逆矩陣 P ,使得 P-1AP=B.則 P-1C(A) P=C(B).進(jìn)而dim C(A)=dim C(B).

        由上面的引理及定理2.5可得下面的定理.

        定理3.3 設(shè) A為復(fù)數(shù)域上任意n階方陣.設(shè) P為可逆矩陣滿(mǎn)足 A=P-1JP,其中則

        (1)C(A)=P-1C(J) P;

        [1]徐運(yùn)閣,馬曉靜.矩陣對(duì)的相似標(biāo)準(zhǔn)形[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2008,24(1):104-107.

        [2]章超.矩陣中心化子[J].湖北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009(4):325-328.

        [3]Sergeichuk V V.Canonical matrices for basic matrix problems[J].Linear algebra and its applications,2002,317(1-3):53-102.

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