所謂“備課”，簡單說就是對“上課”的準備過程，這種準備過程應當是教師主動思考和學習的過程，是腦力勞動，而不是體力勞動。在與一線小學教師共同備課的時候，筆者發(fā)現他們對備課的認識存在著誤解。

一、備課的誤解

第一個誤解是把“寫教案”等同于“備課”。有學校把定期檢查教師的教案作為管理教學質量的手段，認為教案的質量等同于教學質量，導致一些教師養(yǎng)成了為應付檢查而寫教案的習慣，使得備課成為被動的“抄寫”活動，失去了主動的思考和學習，備課并沒有成為上課的準備，而成為了“不得已而為之”的負擔，備課沒有成為主動的腦力勞動，而成了被動的體力勞動。

事實上，教案就是對課堂教學的一個計劃和安排（Lesson Plan），應當是對備課中思考和學習的一個記錄。這個記錄可以寫出來，也可以不寫出來；可以寫得很詳細，也可以寫得很簡略，甚至也可以不寫出來。教案是為教師自身教學所使用的，因此寫出來還是不寫出來、寫得詳細還是粗略，應當由教師依據自身情況和需要自由決定，而不應當按照某一種模式硬性地統(tǒng)一要求。備課的質量是由教師主動“思考和學習”的質量決定的，而不是由寫不寫教案或者教案寫成什么樣子決定的。備課的水平決定了教學質量，而教學質量最終是靠培養(yǎng)出來的學生的質量來檢驗的。因此，試圖通過檢查教案的方式檢驗教師的教學質量，顯然是不妥的。

第二個誤解是備課內容追求全面，其結果是備課中需要思考的內容變得“復雜化”和“形式化”。比如，要求書寫格式必須包括“課題名稱、教學目標、重點難點、教學過程、板書設計”等，其中“教學目標”必須包括所謂的“三維目標”。一些地區(qū)開展的說課比賽中，組織者更是規(guī)定了“八股文”式的模板，規(guī)定說課內容要包括“指導思想與理論依據，教材分析與學情分析，教學目標與重點難點，教學流程與教具學具，教學評價與方式方法，教學特色與教學反思”，其中的“教材分析”必須包括多個版本教科書的對比分析，“學情分析”必須通過所謂的“前測”來進行。試想，在日常教學中，教師準備40分鐘的一節(jié)課，怎么可能去認真思考如此煩瑣的內容？在這樣的模板下，教師的備課不是獨立地思考和學習，而是在揣摩“檢查者”或“評委”想法的基礎上的“東抄西抄”，當然也就談不上發(fā)揮教師的主動性和創(chuàng)造性了。這種追求全面的備課要求實質上是“把簡單問題復雜化”，使人無法聚焦重點，自然就不能使得思考深入，只能是“用華麗的詞匯掩蓋空虛的內容”。

第三個誤解是備課中的思維方式模式化。在不同地區(qū)、不同學校經常聽到一些模式化的說法。比如，“必須要有生活情境，必須要有直觀模型”，等等。無論是“生活情境”還是“直觀模型”都屬于教學的方法與手段，方法與手段是為內容和目的服務的。不同的內容和目的所適用的方法和手段可能是不同的。這些模式化的思維方式可能是來源于一線教師對所謂“專家”的迷信，認為專家說的都是正確的。中國教育的一個特點是眾多的沒有做過中小學教師的專家在指導著中小學教育教學。這樣的指導可以說是利弊參半，最不可取的指導有兩種類型，一種是把外國人的話變成晦澀的中文灌輸給教師，使得教師誤認為“外國的就是先進的”“聽不懂的就是高深的”理論；第二種是“有想法、沒辦法”的所謂指導，這種“眼高手低”的指導給人的感覺是高高在上、可望而不可即，空談理念和意義，對于教育教學中的實際問題說不出解決辦法。這樣“沒錯且沒用”的指導只會使得一線教師慢慢習慣于高談闊論式的教學研究，而對于教育教學中的實際問題卻視而不見。

第四個誤解是只關注教學內容，而忽視課堂組織形式的設計。什么樣的任務適合獨立思考？什么樣的任務適合同伴交流？什么樣的任務適合小組合作？每一個學習任務需要安排多少時間？完成任務后應當如何組織匯報？學生匯報過程中如何組織其他學生的傾聽與交流？這些問題其實都是需要在備課過程中認真思考并有所安排的。

綜上，備課作為教師上課前的準備活動，應當是一個個性化的活動，并沒有統(tǒng)一的模式。備課永遠不會有最好的模式，每一位教師都可以創(chuàng)造出最適合自己以及自己學生的備課方式。從某種意義上說，這也是“教無定法”的一種體現。

“變教為學”的教學從知識安排的角度說，強調突出本質和實現關聯，所謂“突出本質”就是明晰知識屬性，由此可以確定其學習的過程與方法。[1]“實現關聯”的一個重要方面是把“新”內容與學生已經熟悉的內容建立聯系，實現“化未知為已知”。為此，備課中需要思考和研究的一個重要問題就是辨別“新”知識。

二、辨別“新”知識

辨別新知識是確定學習目標的基礎。這樣的思考關注哪些內容對學生的學習來說是“新”的、哪些是學生已經熟悉的，這將成為設計“怎樣學”的依據。下面以“小數乘法”和“小數除法”為例說明?！靶党朔ā笔窃趯W習了“整數乘法”“小數的認識”以及“小數加減法”之后的內容，應當說是以上內容的重新組合，從數學的角度看，這種“重組”并沒有出現什么新知識。但從學生的學習來說，就可能存在著學生所不熟悉的“新”內容。

學生之前對“乘法”的認識是“相同加數求和”，如果把這種認識用于對小數乘法的理解就會產生困難。比如，小數乘整數的“0.5×3”，可以理解為是“3個0.5相加”，也就是“0.5+0.5+0.5”，但是反過來“0.5個3相加”就不好理解了。類似地小數乘小數“0.5×0.3”，用“相同加數求和”也很難理解其含義。

“小數除法”也是類似，學生過去所熟悉的整數除法算式一般有兩種理解方式，比如對于“24÷4”，第一種理解是“24中包含有多少個4”；第二種理解是“把24平均分為4份，每份是多少”。不妨把第一種理解簡稱為“包含除”，第二種簡稱為“等分除”。對于“22.4÷4”如果用“包含除”理解，那就是問“22.4中包含有多少個4”。這樣的理解對于如圖1的豎式計算過程就難以解釋了。

圖1計算過程實際上分為兩步，用“包含除”的語言說，第一步算出了“22中包含有5個4”，剩余部分是“2.4”，比除數4小，就無法用“包含除”的語言繼續(xù)解釋下面的“2.4÷4”了。只能用“等分除”的語言敘述為“把2.4平均分為4份，每份是多少”，如果除數也是小數，同時被除數小于除數，那么無論是用“包含除”還是“等分除”都很難解釋除法算式的含義。比如“0.1÷0.2”，既不能說成“0.1中包含有多少個0.2”，也不能說成“把0.1平均分為0.2份，每份是多少”。

另外，學生學習“整數乘法”和“整數除法”后會不自覺地形成兩種認識，第一種認識是“乘法使得結果變大”“除法使得結果變小”。[2]第二種認識是做除法的時候“被除數總是大于除數”的。這兩種認識在學習小數乘除法的時候都發(fā)生了變化。因此，在學習小數乘法和小數除法之前，首先需要學習的“新”知識不是程序化的“算法”，而是針對小數乘法算式和除法算式含義的理解。

三、為新、舊知識搭橋

辨明對學生來說可能的新知識后，需要思考的重要問題是如何把“新”知識變成“舊”知識，也就是把新知識與學生已經熟悉的知識或者經驗建立聯系。

對于“小數乘法”，一種較為普遍的學習方式是借助長方形的面積。圖2正方形ABCD的邊長為1，所以面積為1。

在圖2正方形的AB邊上截取0.5長度，AD邊上截取0.3長度，那么長方形AEFG的面積就可以用“0.5×0.3”表示。類似于這樣的方法在國內外小學數學教科書中普遍采用，比如人民教育出版社出版的《義務教育課程標準實驗教科書數學》五年級上冊中對小數乘法的引入，就采用了求面積引入小數乘法。

在國外的數學教學中把用長方形面積展示小數乘法過程叫作小數乘法的“直觀化（Visualization）”，比如對于“5.7×1.4”的計算過程和結果，就可以用下面的圖形直觀地展示出來。[3]

圖4 小數乘法示意圖

用長方形面積直觀理解小數乘法，實際上是默認了一個前提，就是邊長為小數的長方形面積可以用“長×寬”計算，這一點與學生之前的經驗并不相符。所謂“長×寬”的長方形面積公式，學生最初是用“數方格”的辦法學習的，數字“1”對應的是一個方格，邊長都是整數。而在圖4中數字“1”對應的是一個“大方格”，其中還包含了100個“小方格”，實際上是把小數變成整數進行理解，并沒有揭示小數乘法的真正含義，仍然會對學生理解小數乘法構成困難。

對小數乘法算式真正的理解需要借助分數的思維方式，用分數的眼光看待小數及其乘法運算。比如0.5可以看作是或者，把0.3看作是。那么“0.5×0.3”就可以理解為“0.5的”或者“0.3的”。兩者的相等關系可以從下面的圖5中看出：

0.5的：

0.3的：

圖5 0.5×0.3的理解圖示

在實際的購物問題中就可能出現類似的計算，比如，“一個物品的價格是0.3元，買半個多少元？”這個問題可以用“0.5×0.3”來計算，實質上是用求“0.3的”進行思考的。行程問題中，如果一個人的步行速度是平均每分鐘0.12千米，那么半分鐘步行距離就可以用“0.12×0.5”來計算，也是運用了“求一個數的幾分之幾”的思維方式。

在這樣理解的基礎上，應當可以對小數乘法的

結果進行口算或估計。比如，“0.5×0.3”是“0.3的”，因此結果應當是“0.15”。再比如，“5.7×1.4”，由于“5.7”接近5的和6，“1.4”接近1.5。因此，可以知道“5.7×1.4”應當比“5的一倍半”大，比“6的一倍半”小，也就是這個結果應當介于7.5和9之間，在沒有精確計算的時候，利用分數的思維方式已經估計出了準確結果所在的范圍，這對將來算法的學習是十分有益的。

對于小數除法來說，最難理解的情況是“除數是整數部分為0的小數，并且被除數小于除數”，對于這樣的情況可以利用“比和比例”的思維方式進行理解。比如，一個物品單價為0.2元，如果某顧客只有0.1元，可以買多少？這個問題可以通過計算“0.1÷0.2=0.5”來解決。這樣的方法實質上是利用了“總價”與“數量”成正比例，也就是說“0.2元與0.1元之間的倍數關系”與“1個物品和0.5個物品之間的倍數關系”是一樣的。這樣的關系可以從圖6的表格中明顯看出：

總價（元） 0.2 0.1 …

數量（個） 1 0.5 …

圖6 總價、數量關系圖

這個時候“0.1÷0.2”既不是“等分除”，也不是“包含除”，而表達的是0.1與0.2之間的倍數關系，這實際上就是“比和比例”的思維方式。再比如，中國古代重量的計量單位有“斤”和“兩”，兩者的關系為1斤等于16兩。因此有一個成語叫作“半斤八兩”，表示勢均力敵、不相上下的意思。如果在已知“半斤”等于“八兩”的基礎上問“0.2斤等于多少兩”？其間的數量關系可以用圖7的表格展示出來：

斤 0.5 0.2 ……

兩 8 ？ ……

圖7 半斤八兩示意圖

此時用“0.2÷0.5”得到的“0.4”就是0.2與0.5之間的倍數關系，由于“？”與“8”也符合這樣的倍數關系，所以0.2斤對應的就是“8×0.4=3.2（兩）”。

因此，對于小數乘、除法一種有效的理解方式是充分利用計量單位之間的比例關系。小學階段含有這種計量單位的“量（magnitude）”主要包括描述物體“大小”的長度、面積、體積；描述物體“輕重”的重量（質量）；描述價值“貴賤”的人民幣；描述經歷“長短”的時間；描述“冷熱”的溫度；描述“快慢”的速度；描述旋轉或者“張開程度”的角。凡此都可以成為理解小數乘、除法算式的素材，成為溝通新、舊知識的橋梁。雖然比、比例以及正、反比例等都屬于六年級的課程內容，但相關的方法和思維方式是在數學課程中貫穿始終的。

以上關于“小數乘、除法”的課程內容具有“似舊不舊”的特點，也就是表面看沒有新內容，而實際上存在著與學生已有知識和經驗不同甚至相悖的內容。因此，備課中應當著力挖掘其中蘊含著的“新”內容，這些新內容將成為學生學習的重點和難點。

四、似新未必新

數學課程中還有一類與“似舊不舊”相對的課程內容，可以叫作“似新不新”，也就是表面看是新知識，而實際上學生之前對其已經具有了相當豐富的知識和經驗。備課中一個重要工作就是把“似新”的內容與學生已經熟悉的內容溝通聯系，使之成為“不新”的內容。“圓的面積”通常被認為是難教并且難學的課程內容。事實上如果溝通了圓與三角形的關系，學生完全可以自己推導出圓的面積公式。[4]如圖8，首先把一個半徑為r的圓面內部畫出若干同心圓：

然后想象將這些同心圓逐一取出：

接下來想象將圖9中所有同心圓從某處剪開并拉直，依次擺放在一起：

這樣就形成了一個兩條直角邊分別為半徑“r”和圓周長“2πr”的直角三角形。

所有變換過程并沒有使得面積發(fā)生改變，因此圖11三角形的面積與原來圖8圓形面積相等，因此利用三角形面積公式就可以求出圓的面積為πr2了。這樣的過程與之前學生所熟悉的將“平行四邊形”轉化為“長方形”求出平行四邊形面積公式的過程是一樣的。[5]另外，這樣的過程實質上是利用了微積分中所謂“分割、求和、取極限”的方法，也是利用“離散量”研究“連續(xù)量”的過程。[6]

“變教為學”主旨在于讓學生自己經歷知識的發(fā)現與發(fā)明，這就要求教師備課中需要認真研究并且辨別新知識，進而溝通其與舊知識的聯系，在此基礎上為學生設計有效的學習任務和學習活動。

參考文獻：

[1] 郜舒竹. “變教為學”說備課[J]. 教學月刊小學版（數學）. 2014，（1/2）.

[2] Anna O. Graeber and Dina Tirosh. Insights Fourth and Fifth Graders Bring to Multiplication and Division with Decimals[J]. Educational Studies in Mathematics， Vol. 21， No. 6 （Dec.， 1990）， pp. 565-588.

[3] Margaret Rathouz.Visualizing Decimal Mulyiplication with Drea Models：Oppor Tuniies and Challengesc.[J]. IUMPST： The Journal. Vol 2 （Pedagogy）， August， 2011. [www.k-12prep.math.ttu.edu].

[4]郜舒竹，夏寶霞. “幾何直觀”觀什么[J]. 教學月刊小學版（數學）. 2013，（4）.

[5]郜舒竹. 由此及彼，探索規(guī)律[[J]. 教學月刊小學版（數學）. 2013，（12）.

[6]郜舒竹. 為教師的微積分[M]. 北京：首都師范大學出版社，2012.

（首都師范大學初等教育學院 100048）

然后想象將這些同心圓逐一取出：

接下來想象將圖9中所有同心圓從某處剪開并拉直，依次擺放在一起：

這樣就形成了一個兩條直角邊分別為半徑“r”和圓周長“2πr”的直角三角形。

所有變換過程并沒有使得面積發(fā)生改變，因此圖11三角形的面積與原來圖8圓形面積相等，因此利用三角形面積公式就可以求出圓的面積為πr2了。這樣的過程與之前學生所熟悉的將“平行四邊形”轉化為“長方形”求出平行四邊形面積公式的過程是一樣的。[5]另外，這樣的過程實質上是利用了微積分中所謂“分割、求和、取極限”的方法，也是利用“離散量”研究“連續(xù)量”的過程。[6]

“變教為學”主旨在于讓學生自己經歷知識的發(fā)現與發(fā)明，這就要求教師備課中需要認真研究并且辨別新知識，進而溝通其與舊知識的聯系，在此基礎上為學生設計有效的學習任務和學習活動。

參考文獻：

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[5]郜舒竹. 由此及彼，探索規(guī)律[[J]. 教學月刊小學版（數學）. 2013，（12）.

[6]郜舒竹. 為教師的微積分[M]. 北京：首都師范大學出版社，2012.

（首都師范大學初等教育學院 100048）

然后想象將這些同心圓逐一取出：

接下來想象將圖9中所有同心圓從某處剪開并拉直，依次擺放在一起：

這樣就形成了一個兩條直角邊分別為半徑“r”和圓周長“2πr”的直角三角形。

所有變換過程并沒有使得面積發(fā)生改變，因此圖11三角形的面積與原來圖8圓形面積相等，因此利用三角形面積公式就可以求出圓的面積為πr2了。這樣的過程與之前學生所熟悉的將“平行四邊形”轉化為“長方形”求出平行四邊形面積公式的過程是一樣的。[5]另外，這樣的過程實質上是利用了微積分中所謂“分割、求和、取極限”的方法，也是利用“離散量”研究“連續(xù)量”的過程。[6]

“變教為學”主旨在于讓學生自己經歷知識的發(fā)現與發(fā)明，這就要求教師備課中需要認真研究并且辨別新知識，進而溝通其與舊知識的聯系，在此基礎上為學生設計有效的學習任務和學習活動。

參考文獻：

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[4]郜舒竹，夏寶霞. “幾何直觀”觀什么[J]. 教學月刊小學版（數學）. 2013，（4）.

[5]郜舒竹. 由此及彼，探索規(guī)律[[J]. 教學月刊小學版（數學）. 2013，（12）.

[6]郜舒竹. 為教師的微積分[M]. 北京：首都師范大學出版社，2012.

（首都師范大學初等教育學院 100048）